7　从零点分布到素数定理

素数定理自高斯与勒让德以经验公式的形式提出（详见第3章）以来，许多数学家对此做过研究。其中一个比较重要的结果是由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）做出的。早在1850年，切比雪夫就证明了对于足够大的x，素数分布π（x）与素数定理给出的分布Li（x）之间的相对误差不会超过11%。20

但在黎曼1859年的研究以前，数学家们对素数分布的研究主要局限在实分析手段上。从这个意义上讲，即使撇开具体的结果不论，黎曼建立在复变函数之上的研究仅就其方法而言，也是对素数分布研究的重大突破。这一方法上的突破为素数定理的最终证明铺平了道路。21

在第5章的末尾我们曾经提到，黎曼对素数分布的研究之所以没能直接导致素数定理的证明，是因为人们对黎曼ζ函数非平凡零点的分布还知道得太少。那么，为了证明素数定理，我们起码要知道多少有关黎曼ζ函数非平凡零点分布的信息呢？这一问题的答案到了1895年随着曼戈尔特对黎曼论文的深入研究而变得明朗起来。曼戈尔特的研究我们在第5章中已经提到过，正是他证明了黎曼关于J（x）的公式。但曼戈尔特那项研究的价值比仅仅证明黎曼关于J（x）的公式要深远得多。

曼戈尔特在研究中使用了一个比黎曼的J（x）更简单有效的辅助函数Ψ（x），它的定义为

其中Λ（n）被称为曼戈尔特函数（von Mangoldt function），它对于n=pk（p为素数，k为自然数）取值为ln（p）；对于其他n取值为0。应用Ψ（x），曼戈尔特证明了一个本质上与黎曼关于J（x）的公式相等价的公式：

其中有关ρ的求和与黎曼的J（x）中的求和一样，也是先将ρ与1-ρ配对，再依Im（ρ）从小到大的顺序进行。

很明显，曼戈尔特的Ψ（x）表达式比黎曼的J（x）简单多了。时至今日，Ψ（x）在解析数论的研究中差不多已完全取代了黎曼的J（x）。引进Ψ（x）的另一个重大好处是早在几年前，上文提到的切比雪夫就已经证明了素数定理π（x）～Li（x）等价于Ψ（x）～x。为了纪念切比雪夫的贡献，曼戈尔特函数也被称为第二切比雪夫函数（second Chebyshevfunction）。

将这一点与曼戈尔特有关Ψ（x）的那个本质上与黎曼关于J（x）的公式相等价的公式联系在一起，不难看到素数定理成立的条件是。这一条件启示我们考虑xρ-1在x→∞时趋于零的情形。而要让xρ-1在x→∞时趋于零，Re（ρ）必须小于1。换句话说黎曼ζ函数在直线Re（s）=1上必须没有非平凡零点。这就是我们为证明素数定理而必须知道的有关黎曼ζ函数非平凡零点分布的信息。22由于黎曼ζ函数的非平凡零点是以ρ与1-ρ成对的方式出现的，因此这一信息等价于0＜Re（s）＜1。

读者们大概还记得，在第5章中我们曾经提到过（证明参阅附录A），黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于0≤Re（s）≤1的区域内。因此为了证明素数定理，我们所需知道的有关黎曼ζ函数非平凡零点分布的信息要比我们已知的（也是当时数学家们已知的）略多一些（但仍大大少于黎曼猜想所要求的）。这样，在经过了切比雪夫、黎曼、阿达马和曼戈尔特等人的卓越努力之后，我们离素数定理的证明终于只剩下了最后一小步：即把已知的零点分布规律中那个小小的等号去掉。23这一小步虽也绝非轻而易举，却已难不住在黎曼峰上攀登了三十几个年头，为素数定理完整证明的到来等待了一个世纪的数学家们。曼戈尔特的结果发表后的第二年（即1896年），阿达马与普森就几乎同时独立地给出了对这最后一小步的证明，从而完成了自高斯以来数学界的一个重大心愿。那时斯蒂尔切斯已经去世两年了。24

经过素数定理的证明，人们对于黎曼ζ函数非平凡零点分布的了解又推进了一步，那就是证明了黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上0＜Re（s）＜1的区域内。在黎曼猜想的研究中数学家们把这个区域称为临界带（critical strip）。

素数定理的证明——尤其是以一种与黎曼的论文如此密切相关的方式所实现的证明——让数学界把更多的注意力放到了黎曼猜想上来。四年后（即1900年）的一个夏日，两百多位当时最杰出的数学家会聚到了巴黎，一位38岁的德国数学家走上了讲台，作了一次永载数学史册的伟大演讲。演讲的题目叫做《数学问题》，演讲者的名字叫做希尔伯特（David Hilbert，1862—1943），他恰好来自高斯与黎曼的学术故乡——群星璀璨的哥廷根大学。他是哥廷根数学精神的伟大继承者，一位与高斯及黎曼齐名的数学巨匠。希尔伯特在演讲稿中列出了23个对后世产生深远影响的数学问题，黎曼猜想被列为其中第八个问题的一部分，从此成为整个数学界瞩目的难题之一。

20世纪的数学大幕在希尔伯特的演讲声中徐徐拉开，黎曼猜想也迎来了一段新的百年征程。