1.3 曲率

方程（1-1）中的拉普拉斯方程里面的R为气泡的半径，往往称为“曲率半径”，其倒数代表曲率，故此拉普拉斯方程描述的是内外压差与表面张力、曲率之间的关系。顾名思义，曲率是表征曲线或者曲面弯曲程度的物理量，曲率越大，表明曲线或者曲面弯曲得越厉害。如果是直线，是没有曲率的。如图1-8所示的平面直角坐标系中，一条平面曲线上的任意一点处的弧长表示为s，则其微元ds对应的曲率半径为ρ，对应的扇形夹角为dθ。因此可以定义曲线上任意一点的曲率为

那么进一步，如何定义一个空间回转体的曲率？如图1-9所示，假想在空间回转体上某一点处沿法线方向扎上一根针，然后沿着针的方向在两个相互垂直的平面内各砍上一刀：一个平面为纸平面，另外一个为与纸平面相垂直的平面。在这两个平面内得到的平面曲线在钉扎点处的平面曲率半径分别为R1和R2，则描述该点弯曲的物理量定义为平均曲率

式中右端的两项分别代表钉扎点处的两个主曲率。

图1-8 平面曲线的曲率

图1-9 空间回转体的曲率示意图

拉普拉斯和杨最早推导出的方程为

特别地，考虑一个球形的气泡时，在任意一点处两个方向的主曲率都相等，都等于；同时考虑到气泡液/气界面的双面性，故此可以进一步得到方程（1-1）。如果是一个球形液滴，则拉普拉斯方程可以写为当方程（1-3）中的两个主曲率大小相等、方向相反时，平均曲率的数值为0。如果曲面上每一点的平均曲率都为零，则该曲面就称为“零平均曲率曲面”。实际上，零曲率曲面很容易构造。如图1-10所示，利用两个金属圆环，然后在两个圆环之间涂布一层肥皂液膜，慢慢地将两个圆环平行地沿竖直方向拉开，则该液膜形成一个空间轴对称的曲面。由于曲面的两侧都与空气连通，因此其两侧的压力差为零。根据拉普拉斯方程，曲面上任一点的平均曲率均为零，故此这个曲面就是零曲率曲面。感兴趣的读者可以进一步推导一下，组成零曲率面的每一根经线即为通常所说的悬索线方程。

图1-10 零平均曲率曲面