第一部分　历年真题及详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（　　）。

A．跳跃间断点

B．可去间断点

C．无穷间断点

D．振荡间断点

【答案】B

【考点】函数间断点的类型

【解析】

首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。

第一类间断点：x＝x₀为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x₀为函数f（x）的第一类间断点，其中：

①跳跃型间断点：

②可去型间断点：

第二类间断点：x＝x₀为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x₀为函数f（x）的第二类间断点，其中：

①无穷型间断点：与至少有一个为∞；

②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。

由于题设中g（0）不存在，故x＝0是函数g（x）的可去间断点。

2如图1，曲线段的方程为y＝f（x），函数f（x）在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于（　　）。

图1

A．曲边梯形ABOD的面积

B．梯形ABOD的面积

C．曲边三角形ACD的面积

D．三角形ACD的面积

【答案】C

【考点】积分的几何意义

【解析】

而表示曲边梯形OBAD的面积，故表示曲边三角形ACD的面积。

3已知

则函数在原点偏导数存在的情况是（　　）。

A．f_x′（0，0），f_y′（0，0）都存在

B．f_x′（0，0）不存在，f_y′（0，0）存在

C．f_x′（0，0）存在，f_y′（0，0）不存在

D．f_x′（0，0），f_y′（0，0）都不存在

【答案】B

【考点】二元函数的偏导数的定义

【解析】由偏导数的定义知

不存在；

存在。

4设函数f（x）连续，

其中区域D_uv为图2中阴影部分，则∂F/∂u＝（　　）。

图2

A．vf（u²）

B．vf（u²）/u

C．vf（u）

D．vf（u）/u

【答案】A

【考点】利用极坐标变换计算二重积分

【解析】利用极坐标，得

所以∂F/∂u＝vf（u²）。

5设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A³＝O，则（　　）。

A．E－A不可逆，E＋A不可逆

B．E－A不可逆，E＋A可逆

C．E－A可逆，E＋A可逆

D．E－A可逆，E＋A不可逆

【答案】C

【考点】矩阵可逆的判定

【解析】A³＝O⇒A³＋E＝E⇒（A＋E）（A²－A＋E）＝E，则A＋E可逆，A³＝O⇒A³－E＝－E⇒（E－A）（A²＋A＋E）＝E，即E－A可逆。

6设，则实数域上与A合同的矩阵是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】矩阵合同的判定

【解析】由题意易知为实对称矩阵，进而得A的特征值为－1，3，则x^TAx的正负惯性指数分别为1，1。可以求出选项中各矩阵的特征值，的特征值为－1，－3；的特征值为1，3；的特征值为1，3；的特征值为－1，3，知只有D项中矩阵符合。

7设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（　　）。

A．F²（x）

B．F（x）F（y）

C．1－[1－F（x）]²

D．[1－F（x）][1－F（y）]

【答案】A

【考点】求分布函数

【解析】由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为F_Z（x），则

F_Z（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F²（x）

8随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），相关系数ρ_XY＝1，则（　　）。

A．P{Y＝－2X－1}＝1

B．P{Y＝2X－1}＝1

C．P{Y＝－2X＋1}＝1

D．P{Y＝2X＋1}＝1

【答案】D

【考点】相关系数及其性质

【解析】方法一：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρ_XY＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝aX＋b}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1，而

得a＝2，故应选D项。

方法二：本题利用排除法。由ρ_XY＝1，可知X，Y正相关，排除A、C、B项。若Y＝2X－1，由EX＝0，得到EY＝－1，排除B，可知应选D。

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）

9设函数

在（－∞，＋∞）上连续，则c＝______。

【答案】1

【考点】函数连续性的判定

【解析】由题意知，

f（c）＝c²＋1，若

则c＝1。

10设函数f[x＋（1/x）]＝（x＋x³）/（1＋x⁴），则______。

【答案】（ln3）/2

【考点】积分的计算方法

【解析】由

得

11设D＝{（x，y）|x²＋y²≤1}，则______。

【答案】π/4

【考点】二重积分的计算

【解析】由于积分区域D关于x轴，y轴对称，所以有

12微分方程为xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解y＝______。

【答案】1/x

【考点】微分方程的求解

【解析】由题意得，xy′＋y＝0⇒y′/y＝－1/x，两边积分得y＝C/x，C为待定常数，将y（1）＝1代入得C＝1，即y＝1/x。

13设三阶矩阵A的特征值是1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A^－1－E|＝______。

【答案】3

【考点】矩阵的特征值与行列式之间的关系

【解析】由于A^－1的特征值是1，1/2，1/2，从而4A^－1－E的特征值是3，1，1，即|4A^－1－E|＝3×1×1＝3。

14设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX²}＝______。

【答案】1/（2e）

【考点】泊松分布及其概率分布

【解析】服从参数为1的泊松分布的概率分布为：P{X＝i}＝e^－1/i！。又EX²＝DX＋（EX）²＝1＋1＝2，故P{X＝EX²}＝P{X＝2}＝（e^－1）/2＝1/（2e）。

三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15（本题满分9分）

计算

【考点】极限的求解方法（洛必达法则）

解：利用下列等价无穷小

由

16（本题满分10分）

设x＝z（x，y）是由方程x²＋y²－z＝φ（x＋y＋z）所确定的函数，其中φ具有二阶导数，且φ′≠1。

（Ⅰ）求dz；

（Ⅱ）记u（x，y）＝（∂z/∂x－∂z/∂y）/（x－y），求∂u/∂x。

【考点】多元函数的微分计算

解：（Ⅰ）在方程x²＋y²－z＝φ（x＋y＋z）两端求微分得2xdx＋2ydy－dz＝φ′（x＋y＋z）（dx＋dy＋dz），即dz＝[（2x－φ′）dx＋（2y－φ′）dy]/（φ′＋1）。

（Ⅱ）

17（本题满分11分）

计算，其中D＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}。

【考点】二重积分的计算

解：曲线xy＝1将区域D分成如图3所示的两个区域D₁和D₂。则有

图3

18（本题满分10分）

设f（x）是周期为2的连续函数。

（Ⅰ）证明：对任意的实数t，有

（Ⅱ）证明：

是周期为2的周期函数。

【考点】积分函数的计算

证明：（Ⅰ）对任意实数t都有

而

又因为

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知任意实数t都有

记

则

则对任意的z，有

故G（x）是周期为2的周期函数。

19（本题满分10分）

设银行存款的年利率为r＝0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10＋9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？

【考点】级数的求和

解：设A_n为用于第n年提取（10＋9n）万元的贴现值，则A_n＝（1＋r）^－n（10＋9n），故

设

x∈（－1，1），

所以S[1/（1＋r）]＝S（1/1.05）＝420（万元）。故A＝200＋9×420＝3980（万元），即至少应存入3980万元。

20（本题满分12分）

设n元线性方程组Ax＝b，其中矩阵

x＝（x₁，x₂，…，x_n）^T，b＝（1，0，…，0）^T。

（Ⅰ）证明行列式|A|＝（n＋1）aⁿ；

（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x₁；

（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

【考点】行列式的计算，方程组有解的判定及其解的情况

解：（Ⅰ）由题意知

现用数学归纳法证明|A|＝（n＋1）aⁿ：

当n＝2时，

显然成立；

假设n≤k时，D_k＝（k＋1）a^k，则当n＝k＋1时，有D_k＋1＝2aD_k－a²D_k－1＝2a（k＋1）a^k－a²ka^k－1＝（k＋2）a^k＋1。

综上可得，|A|＝（n＋1）aⁿ。

（Ⅱ）|A|＝（n＋1）aⁿ≠0，即a≠0，方程组有唯一解，设将A的第一列用b替换后所得矩阵为A₁，根据克莱姆法则，得x₁＝|A₁|/A₁＝D_n－1/[（n＋1）aⁿ]＝na^n－1/[（n＋1）aⁿ]＝n/[（n＋1）a]。

（Ⅲ）当a＝0时，方程组有无穷多解，此时

则Ax＝0的同解方程组为

易求得Ax＝0的基础解系为（1，0，…，0）^T。又

则（0，1，…，0）^T是Ax＝b的特解，从而Ax＝b的通解为x＝k（1，0，…，0）^T＋（0，1，…，0）^T，其中k为任意常数。

21（本题满分10分）

设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃＝α₂＋α₃。

（Ⅰ）证明：α₁，α₂，α₃线性无关；

（Ⅱ）令P＝（α₁，α₂，α₃），求P^－1AP。

【考点】向量组的相关性判定和矩阵的运算

解：（Ⅰ）设存在数k₁，k₂，k₃，使得k₁α₁＋k₂α₂＋k₃α₃＝0①。由已知条件知Aα₁＝－α₁，Aα₂＝α₂。用矩阵A分别乘式①的左右两边，得－k₁α₁＋k₂α₂＋k₃（α₂＋α₃）＝0②。式①－②得2k₁α₁－k₃α₂＝0。

由于α₁，α₂为A的分别属于－1，1的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，即k₁＝k₃＝0，代入①得k₂α₂＝0。因为α₂是A的特征向量，α₂≠0，得k₂＝0，即k₁＝k₂＝k₃＝0，所以α₁，α₂，α₃线性无关。

（Ⅱ）由题意有

因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以矩阵P可逆，得

22（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1），Y的概率密度为

记Z＝X＋Y。

（Ⅰ）求P{Z≤1/2|X＝0}；

（Ⅱ）求Z的概率密度f_Z（z）。

【考点】求概率和概率密度函数

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）设Z的分布函数为F（z），则其值域非零时z的区间为[－1，2]。

当z＜－1时，F_Z（z）＝0；

当z＞2时，F_Z（z）＝1；

当－1≤z＜2时，F_Z（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z}＝P{X＋Y≤z︱X＝－1}P{X＝－1}＋P{X＋Y≤z︱X＝0}P{X＝0}＋P{X＋Y≤z︱X＝1}P{X＝1}＝[P{Y≤z＋1}＋P{Y≤z}＋P{Y≤z－1}]/3＝[F_Y（z＋1）＋F_Y（z）＋F_Y（z－1）]/3。

故Z的分布密度函数为

23（本题满分11分）

设X₁，X₂，…，X_n是总体N（μ，σ²）的简单随机样本，记

T＝X(＿)²－S²/n

（Ⅰ）证明T是μ²的无偏估计量；

（Ⅱ）当μ＝0，σ＝1时，求DT。

【考点】参数估计中的无偏估计及方差的计算

解：（Ⅰ）由题意知

故T是μ²的无偏估计量。

（Ⅱ）当μ＝0，σ＝1时，X(＿)～N（0，1/n），即有nX(＿)²～χ²（1），（n－1）S²～χ²（n－1），而D（χ²（n））＝2n。则