2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1极限（　　）。

A．1

B．e

C．e^a－b

D．e^b－a

【答案】C

【考点】极限的性质，等价替换

【解析】

而

因为

则利用等价替换得

2设函数z＝z（x，y）由方程F（y/x，z/x）＝0确定，其中F为可微函数，且F₂′≠0，则x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝（　　）。

A．x

B．z

C．－x

D．－z

【答案】B

【考点】复合函数的偏导公式

【解析】在F（y/x，z/x）＝0两边对x求导得

再在F（y/x，z/x）＝0两边对y求导得

故x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝z。

3设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性（　　）。

A．仅与m的取值有关

B．仅与n的取值有关

C．与m，n的取值都有关

D．与m，n的取值都无关

【答案】D

【考点】反常积分的性质，收敛性判别

【解析】分析过程如下

①对进行讨论：被积函数只在x→0^＋时无界，因为

又反常积分收敛，所以收敛。

②对进行讨论：被积函数只在x→1^－时无界，因为

又反常积分收敛，所以收敛。

综上，无论正整数m和n取何值，反常积分都收敛，故选D。

4（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】积分的定义

【解析】

5设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（　　）。

A．r（A）＝m，r（B）＝m

B．r（A）＝m，r（B）＝n

C．r（A）＝n，r（B）＝m

D．r（A）＝n，r（B）＝n

【答案】A

【考点】矩阵的秩的性质

【解析】由题设可知m＝r（E）＝r（AB）≤min（r（A），r（B）），即r（A）≥m，r（B）≥m。又A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，故r（A）≤m，r（B）≤m。于是r（A）＝m，r（B）＝m。

6设A为四阶实对称矩阵，且A²＋A＝O，若A的秩为3，则A相似于（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】对称矩阵必可对角化，矩阵特征值的求法

【解析】由于A为四阶实对称矩阵，则A必可相似对角化，且A的特征值全为实数。设λ为A的特征值，则λ²＋λ＝0⇒λ＝0，λ＝－1，又A的秩为3，则A的特征值为－1，－1，－1，0。

7设随机变量X的分布函数为

则P{X＝1}＝（　　）。

A．0

B．1/2

C．1/2－e^－1

D．1－e^－1

【答案】C

【考点】分布函数的定义

【解析】P＝{X＝1}＝F（1）－F（1－0）＝1－e^－1－1/2＝1/2－e^－1。

8设f₁（x）是标准正态分布的概率密度函数，f₂（x）是[－1，3]上均匀分布的概率密度，且

为概率密度，则a，b应满足（　　）。

A．2a＋3b＝4

B．3a＋2b＝4

C．a＋b＝1

D．a＋b＝2

【答案】A

【考点】概率密度函数的性质

【解析】由

得

即2a＋3b＝4。

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）

9设x＝e^－t，

则______。

【答案】0

【考点】复合函数的求导法则

【解析】dx/dt＝－e^－t，dy/dt＝ln（1＋t²），于是dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝ln（1＋t²）/（－e^－t）＝－e^tln（1＋t²）。

故

10______。

【答案】－4π

【考点】利用变量代换及分部积分法求积分

【解析】

11已知曲线L的方程为y＝1－|x|（x∈[－1，1]），起点为（－1，0），终点为（1，0），则曲线积分______。

【答案】0

【考点】第一型曲线积分的求法

【解析】

于是

12设Ω＝{（x，y，z）|x²＋y²≤z≤1}，则Ω的形心竖坐标z(＿)＝______。

【答案】2/3

【考点】形心的定义及求法，三重积分的球坐标变换法

【解析】

13设a₁＝（1，2，－1，0）^T，a₂＝（1，1，0，2）^T，a₃＝（2，1，1，a）^T，若由a₁，a₂，a₃所形成的向量空间的维数为2，则a＝______。

【答案】6

【考点】向量组的秩与其组成的向量空间的维数的关系，向量组的秩的求法

【解析】若由a₁，a₂，a₃所形成的向量空间的维数为2，则a₁，a₂，a₃的秩为2，于是

14设随机变量X的概率分布为P（X＝k）＝C/k!（k＝0，1，2，…），则EX²＝______。

【答案】2

【考点】概率的性质，泊松分布的定义和性质

【解析】

所以X服从参数为1的泊松分布。故EX²＝DX＋（EX）²＝1＋1＝2。

三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15（本题满分10分）

求微分方程y″－3y′＋2y＝2xe^x的通解。

【考点】微分方程的求解

解：由题意知，y″－3y′＋2y＝2xe^x对应的齐次方程为y″－3y′＋2y＝0，其特征方程为λ²－3λ＋2＝0⇒λ＝1，λ＝2，于是通解为y＝C₁e^x＋C₂e^2x，C₁，C₂为任意常数。

由于λ＝1为特征单根，故设特解为y^*＝（Ax＋B）xe^x，则

y^*′＝[Ax²＋（2A＋B）x＋B]e^x

y^*″＝[Ax²＋（4A＋B）x＋2A＋2B]e^x

代入原方程有

所以y^*＝－x（x＋2）e^x。故原方程的通解为y＝C₁e^x＋C₂e^2x－（x＋2）xe^x，C₁，C₂为任意常数。

16（本题满分10分）

求函数的单调区间与极值。

【考点】函数的单调性，单调区间和极值的求法

解：函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）。由于

令f′（x）＝0⇒x＝0，x＝±1。

以x＝0，x＝±1为分割点列表如表2：

表2

综上，f（x）的单调减少区间为（－∞，－1）和（0，1）；单调增加区间为（－1，0）和（1，＋∞）。

f（x）在x＝±1处取得极小值f（±1）＝0；f（x）在x＝0处取得极大值

17（本题满分10分）

（Ⅰ）比较与（n＝1，2，…）的大小，说明理由。

（Ⅱ）记

求极限。

【考点】定积分的性质和数列极限的求法

解：（Ⅰ）令f（t）＝[ln（1＋t）]ⁿ－tⁿ（0≤t≤1）。

当n＝1时，f′（t）＝1/（1＋t）－1＜0，故f（t）＝ln（1＋t）－t＜f（0）＝0，即0≤ln（1＋t）≤t，故0≤[ln（1＋t）]ⁿ≤tⁿ（0≤t≤1），则f（t）＝[ln（1＋t）]ⁿ－tⁿ＜0，即|lnt|[ln（1＋t）]ⁿ＜tⁿ|lnt|。

故由定积分比较定理可得，

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果有

又

故由夹逼定理得

18（本题满分10分）

求幂级数的收敛域与和函数。

【考点】幂级数的收敛域及和函数，级数的收敛性

解：记

令

于是可得幂级数在（－1，1）绝对收敛。

当x＝±1时，原幂级数为，由莱布尼茨交错级数判敛法则可知此级数收敛，故幂级数的收敛域为[－1，1]。

当x∈[－1，1]时，有

19（本题满分10分）

设P为椭球面S：x²＋y²＋z²－yz＝1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分

其中∑是椭球面S位于C上方的部分。

【考点】切平面，两平面垂直的定义及曲面积分的求法

解：设椭球面S上一动点P（x₀，y₀，z₀），S在P处的切平面方程为2x₀（x－x₀）＋（2y₀－z₀）（y－y₀）＋（2z₀－y₀）（z－z₀）＝0，因为切平面与xOy面垂直，所以2x₀·0＋（2y₀－z₀）·0＋（2z₀－y₀）·1＝0⇒2z₀－y₀＝0，P为椭球面S上的动点，所以C的方程为

即

取D＝{（x，y）|x²＋3y²/4≤1}，记∑为z（x，y）（（x，y）∈D）。

由于

故

20（本题满分11分）

设

已知线性方程组Ax＝b有两个不同的解。

（Ⅰ）求λ，a；

（Ⅱ）求方程Ax＝b的通解。

【考点】方程组解的判定方法及求通解的方法

解：因为线性方程组Ax＝b有两个不同的解，则

当λ＝1时，

则r（A）＝1≠2＝r（A(＿)），即λ＝1不成立。

当λ＝－1时，

因为Ax＝b有解，所以a＋2＝0⇒a＝－2。

（Ⅰ）综上，λ＝－1，a＝－2。

（Ⅱ）原方程与以下方程组同解

故原方程的通解为

21（本题满分11分）

已知二次型f（x₁，x₂，x₃）＝x^TAx在正交变换x＝Qy下的标准型为y₁²＋y₂²，且Q的第3列为

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）证明矩阵A＋E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

【考点】用正交变换化二次型为标准型的方法，特征值、特征向量的性质及矩阵的乘法公式

解：由题设A的特征值为1，1，0，且（1，0，1）^T为A的属于特征值0的一个特征向量。

设X＝（x₁，x₂，x₃）^T为A的属于特征值1的特征向量，因为A的属于不同特征值的特征向量正交，所以X（1，0，1）^T＝x₁＋x₃＝0，取，（0，1，0）^T为A的属于特征值1的相互正交的单位特征向量。

令

则有

（Ⅰ）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A的特征值为1，1，0，则A＋E的特征值为2，2，1，均大于零，又A＋E为实对称矩阵，故A＋E为正定矩阵。

22（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求常数A及条件概率密度f_Y|X（y|x）。

【考点】概率密度函数的性质，条件概率的定义和求法

解：由概率密度函数的性质得

故A＝1/π。

于是

X的边缘概率密度为

于是当－∞＜x＜＋∞时，条件概率密度

23（本题满分11分）

设总体x的概率分布如表3所示。

表3

其中0＜θ＜1未知，以N_i表示来自总体X的随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i＝1，2，3），试求常数a₁，a₂，a₃，使为θ的无偏估计量，并求T的方差。

【考点】考查无偏估计的定义及方差的定义和性质

解：

由题设可知，N₁～B（n，1－θ），N₂～B（n，θ－θ²），N₃～B（n，θ²）。

故EN₁＝n（1－θ），EN₂＝n（θ－θ²），EN₃＝nθ²。于是要使为θ的无偏估计量，则必有

于是

故

即DT＝D（1－N₁/n）＝DN₁/n²＝n（1－θ）θ/n²＝（1－θ）θ/n。