第5章 不确定性与消费者行为
一、名词解释
1期望效用（对外经济贸易大学2010研）
答：期望效用是指消费者在不确定条件下可能获得的各种结果的效用的加权平均数。如果用P和1－P表示两种结果W和Q发生的概率，则期望效用函数可记作：EU＝P·U（W）＋1－P·U（Q）。可以看出，消费者的期望效用就是消费者在不确定条件下可能得到的各种结果的效用的加权平均数。由于期望效用函数的建立，于是，对不确定条件下的消费者面临风险的行为的分析，就成了对消费者追求期望效用最大化的行为的分析。
2风险溢价（risk premium）（西安交通大学2012研；对外经济贸易大学2012研；厦门大学2009研）
答：风险溢价（risk premium）是风险规避者为规避风险而愿意付出的最大货币额。通常来说，风险溢价的大小取决于他面临的风险性选择。
图5-1 风险溢价
如图5-1所示，风险溢价CF，表示一个人为了在风险性选择和确定性选择之间保持无差异而愿意放弃的收入额。这里，风险溢价为4000美元，因为一份16000美元（位于C点）的确定性收入与一份期望收入为20000美元的不确定性收入（0.5的概率位于A点，0.5的概率位于E点）给该人带来的效用相等（都为14）。
风险溢价通常依赖于风险状况，风险越大，风险溢价越高，反之就越低。用期望值和方差的概念来表述，就是在期望值相等的情况下，方差越大，风险溢价越高。
二、简答题
1试画出这样一条效用函数曲线：对于小额赌博，它显示的是风险偏好行为；而对于大额赌博，它显示的是风险规避行为。（厦门大学2012研；北京交通大学2009研）
答：风险规避者的期望效用函数是凹的，风险偏好者的期望效用函数是凸的，因此效用函数曲线可以用图5-2表示。
图5-2 效用函数曲线
当收入较小时，即小额赌博时，效用曲线的斜率递增，表明他是风险偏好的；达到一定收入时，转变为大额赌博，此时效用曲线的斜率递减，表明此时他是风险规避的。
2经济学中如何区分经济活动者对待风险的厌恶、热衷和中立态度？如何解释背水一战现象？（清华大学2011研）
答：（1）经济学中将经济活动者对待风险的态度分为三类：风险厌恶、风险爱好和风险中立。这三类风险态度是根据经济活动者的效用函数的特征来区分的。
（2）假定经济活动者的效用函数为U＝U（W），其中W为货币财富量，且效用函数为增函数。风险厌恶者的效用函数是严格向上的（即是严格凹函数），此时它的二阶导数小于零。这说明此人认为在无风险条件下持有一笔确定货币财富量的效用大于在风险条件下持有彩票的期望效用。风险爱好者的效用函数是严格向下的（即是严格凸函数），此时它的二阶导数大于零。这说明此人认为在无风险条件下持有一笔确定货币财富量的效用小于在风险条件下持有彩票的期望效用。风险中立者的效用函数是线性的，此时它的二阶导数等于零。这说明此人认为在无风险条件下持有一笔确定货币财富量的效用等于在风险条件下持有彩票的期望效用。
（3）背水一战现象是典型的风险爱好者的行为，因为决策者认为冒险一拼的预期效益（或者期望效用）比安全性的撤退要大，因此背水一战现象是典型的风险爱好者的行为。
三、计算题
1假设张三是一家服装商店的老板，目前面临秋季新装订货量的决策，条件如下：如订购100套，每套成本为200元；如订购50套，每套成本为240元。张三预计标出的售价为每套400元，但不确定衣服的最终销量如何。季末张三可以将未销出的衣服退还给厂家，但只能得到进价的一半价钱。在没有足够信息的情况下，张三简单地认定销售100套和50套的概率各为0.5。假设张三是风险中性的，请问：
（1）张三决定订购多少套秋装？为什么？
（2）如果前期市场调研能够获得对销量的准确预测，则张三目前的市场调研投入最高为多少？（厦门大学2011研）
解：（1）在没有足够信息的情况下，先看张三订购100套的情况，此时成本为100×200＝20000（元），销量为50套时的收益为50×400＝20000（元），以每套100元的价格退回厂商50套时，因此一共回收成本50×100＝5000（元），利润为5000元，这种情况发生的概率为0.5；销量为100套时的收益为100×400＝40000（元），利润为40000－20000＝20000（元），这种情况发生的概率也为0.5。因此张三订购100套的期望利润为0.5×5000＋0.5×20000＝12500（元）。
再看张三订购50套的情况，此时成本为50×240＝12000（元），销量为50套时的收益为50×400＝20000（元），利润为8000元，销量100套时的收益依然为50×400＝20000（元），利润为8000元，两种情况发生的概率各为0.5，因此此时的期望利润就是固定利润，为0.5×8000＋0.5×8000＝8000（元）。
因此张三订购100套的期望利润大于订购50套的期望利润（固定利润），又因为张三是风险中性的，所以张三决定订购100套。
（2）在完全信息的条件下，张三可以做出正确的订货选择。如果销量为50套，则他订购50套，利润将为50×400－50×240＝8000（元）；如果销量为100套，则他订购100套，利润将为100×400－100×200＝20000（元）。因为两种情况发生的可能性相等，因此在完全信息的条件下张三的期望利润为8000×0.5＋20000×0.5＝14000（元）。
为了得到准确的信息，张三目前的市场调研投入最高值就等于完全信息下的期望利润14000元减去不确定下的期望利润12500元，即1500元。
2某人每个月的收入x是不确定的，获得400元收入的概率是25%，获得1600元收入的概率为75%。假定他的效用函数为：
（1）求该人每月的预期收入及预期效用。
（2）与上述的不确定的收入相对应，另一种情况是“每月可以得到y元的确定性收入”，为了使其得到他更加喜欢的确定性收入，y至少不应低于什么水平？（西安交通大学2005研）
解：（1）该人每月的期望收入为：E（x）＝25%×400＋75%×1600＝1300（元）。
预期效用为：
（2）当每月可以得到y元的确定性收入时，若为了得到他更加喜欢的确定性收入，就必须使确定性收入所带来的效用至少要等于不确定性收入所带来的期望效用。即有：u（y）≥35，解得：y≥1225。即当确定性收入至少等于1225元时，该人才会更加喜欢确定性收入。
3给出某人的效用函数U＝lnx（x为收入）。
（1）判断风险偏好类型；
（2）此人现有固定薪水工作，每月5000元，他面临一个新工作机会，可以0.5的概率获得收入10000元，以概率0.5获得收入2000元，请问他会选择此新工作吗？
（3）承第二问，此人会为新工作购买保险吗？如果会，最大保险额是多少（设保险费率为公平费率）？（清华大学2004研）
解：（1）效用函数为x的高阶函数为风险偏好，为x的同阶函数为风险中性，为x的低阶函数为风险规避。因此，可以判断出该人是风险规避型的。
（2）现有工作的效用：U1＝ln5000≈8.52。
新工作带来的期望效用：U2＝0.5×ln10000＋0.5×ln2000≈8.41。因为U2＜U1时，所以他不会选择此新工作。
（3）此人会为新工作购买保险。理由是：
新工作预期收入为：E（g）＝（10000＋2000）/2＝6000＞5000。
即如果保险费合理，此人会通过购买保险以寻求风险规避，从而达到一个更高的收入水平。
设保险额为y，保险费率为z，因为保险费率是公平费率，所以该保险等同于是公平保险。由yz/2＋（yz－y）/2＝0，解得公平保险费率为：z＝0.5。
则购买保险后的预期效用为：
U3＝1/2×[ln（10000－zy）＋ln（2000＋y－zy）]＝1/2×ln[（10000－0.5y）（2000＋0.5y）]
为使投保后效用最大，对U3求关于y的导数，令其为零可得：
解得最大投保额为：y*＝8000。此时，U3＝ln6000≈8.7＞U1。即在此保额下，投保优于不投保，符合题设要求，也论证了上述会投保的结论。
4一个投资者正面临风险投资决策，3种风险产品的概率和回报如下：
（1）请写下该投资者的期望效用函数。
（2）这3项不确定性投资回报的期望值是多少？（中山大学2007研）
解：（1）效用函数可以表示为：u（c1，c2，c3，π1，π2，π3）＝π1v（c1）＋π2v（c2）＋π3v（c3），c为回报，π为概率，从而该投资者的期望效用函数为：u＝0.2v（c1）＋0.4v（c2）＋0.4v（c3）。
（2）投资回报的期望值为：E（X）＝0.2×100＋0.4×50＋0.4×（－25）＝30。
5设某福利彩票的中奖概率如表5-1所示，每张售价1元。
表5-1 福利彩票的中奖概率
（1）试求该种彩票的预期收益和标准差。
（2）如张三是风险规避者，他会购买彩票吗？如他是风险中性者呢？
（3）设张三的预期效用函数为u（E）＝PE2，P为E发生的概率，他是什么类型的风险偏好者？他是否会购买彩票？（厦门大学2010研）
解：（1）彩票的预期收益为：
E（X）＝0.7×0＋0.15×1.0＋0.1×2.0＋0.05×10＝0.85
彩票预期收益的方差为：
σ2＝0.7×（0－0.85）2＋0.15×（1－0.85）2＋0.1×（2－0.85）2＋0.05×（10－0.85）2≈4.8275
从而标准差为：
（2）由于预期收益小于彩票的购买价格，所以无论张三是风险规避者还是风险中性者都不会购买彩票。
（3）张三购买彩票的期望效用为：
E（u）＝0.7×（0.7×02）＋0.15×（0.15×12）＋0.1×（0.1×22）＋0.05×（0.05×102）＝0.3125
彩票的预期收益的效用为：u（E）＝E2＝0.852＝0.7225。E（u）＜u（E），即张三的期望值效用大于效用的期望值，所以他是风险规避者，因此不会购买彩票。
6假定某居民具有期望效用函数，其效用函数为u（w）＝lnw，他有机会参与掷硬币，头面朝上的概率为π。如果他下注x元，若头面朝上，他会拥有w＋x；反之，若背面朝上，则他拥有w－x。
（1）请解出居民作为π的函数的最优赌注x量。
（2）当π＝1/2时，什么是他的关于x的最优选择？为什么会有这个结果？（厦门大学2009研）
解：（1）对于消费者而言，最优的赌注就意味着在此赌注下，他的期望效用达到最大。消费者期望效用函数为：E（u）＝πln（w＋x）＋（1－π）ln（w－x）。
期望效用最大化的一阶条件为：
π/（w＋x）－（1－π）/（w－x）＝（2wπ－w－x）/[（w＋x）（w－x）]＝0
下面分两种情况讨论上式：
①如果0≤π≤1/2，那么对任意的x≥0，都有：
这就意味着消费者的期望效用关于赌注的数量是递减的，所以他的最优选择就是不下赌注，即x*＝0。
②如果π＞1/2，那么x*＝2wπ－w＞0。
综上可知消费者的最优赌注为：
（2）当π＝1/2时，x*＝0，即他选择不赌博。从该居民的效用函数u（w）＝lnw可看成该居民是一个风险规避者。作为风险规避者，如果参与赌博获得的期望财富（w＋x）/2＋（w－x）/2跟不赌博时拥有的财富值w一样，当然会选择不赌博。
7小红的效用函数为U＝I1/2。她参加一项游戏活动，该活动通过投掷骰子来决定中奖结果。如果她两次掷出的数字之和为3、4、6、8，则奖金为400；其他情况下奖金为100。
（1）求奖金的期望值。
（2）求小红的期望效用。
（3）如果给她169元的固定奖金，她愿意放弃不确定奖金吗？
（4）固定奖金至少要多少才能使她选择固定奖金？（清华大学2007研）
解：（1）设小红两次投掷出的点数分别为X和Y，则一对骰子可能的结果及其概率如表5-2所示。
表5-2 一对骰子可能的结果及其概率
从表5-2可知，她两次掷出的数字之和X＋Y为3、4、6、8的概率，即中400元奖金的概率为：15/36＝5/12。
她中100元奖金的概率为：1－15/36＝7/12。
因此，小红所获奖金的期望值为：E（X）＝5/12×400＋7/12×100＝225。
（2）小红的期望效用为：
（3）如果给她169元的固定奖金，小红不愿意放弃不确定奖金。理由是：给小红169元的固定奖金，她的效用：
即小于不确定奖金的效用期望，故小红不愿意放弃不确定奖金。
（4）固定奖金应当大于或等于小红的期望效用值所带来的不确定奖金，即至少要为（85/6）2。