第2篇　生产者、消费者与竞争性市场

第3章　消费者行为

一、名词解释

1偏好的可传递性假设（中央财经大学2009研复试）

答：偏好的可传递性假设是指，假如

并且

那么就可假定

换句话说，假如消费者认为x至少与y一样好，y至少与z一样好，那么消费者就认为x至少与z一样好。偏好的可传递性假设保证了消费者偏好的一致性，因而也是理性的。对于任何三个商品组合A、B和C，如果消费者对A的偏好大于对B的偏好，对B的偏好大于对C的偏好，那么，在A、C这两个组合中，必定有消费者对A的偏好大于对C的偏好。

2无差异曲线（东北大学2017研；东北财经大学2016研；浙江大学2009研；北京交通大学2007研）

答：无差异曲线是序数效用论的一种分析方法，是用来表示能带给消费者相同满足程度的所有市场篮子的组合。或者说，它表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合。无差异曲线如图3-1所示。

图3-1　无差异曲线

图3-1中，横轴和纵轴分别表示商品1的数量X₁和商品2的数量X₂。图3-1中的曲线表示商品1和商品2的不同组合给消费者带来的效用水平是相同的。与无差异曲线相对应的效用函数为U＝f（X₁，X₂）＝U₀，其中，X₁、X₂分别为商品1和商品2的消费数量；U₀是常数，表示某个效用水平。

无差异曲线具有以下三个基本特征：①由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线，其中离原点距离远的无差异曲线比离原点距离近的无差异曲线效用大；②在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交；③无差异曲线是凸向原点的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。

3边际替代率（武汉大学2019研；中南财经政法大学2017研；东北财经大学2017研；东北大学2017、2016研；对外经济贸易大学2016研；山东大学2015研；中央财经大学2015研；南京大学2014研）

答：边际替代率（marginal rate of substitution，MRS）即为无差异曲线的斜率的绝对值，它表示的是消费者愿意以某种比率用一种商品替代另一种商品的意愿。商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：MRS₁₂＝－Δx₂/Δx₁。其中，Δx₁、Δx₂分别为商品1和商品2的变化量。如果Δx₁趋于无穷小，那么，边际替代率就是无差异曲线的斜率的绝对值。因此，求无差异曲线上任何一点的边际替代率，只要过该点作切线，这条切线的斜率的绝对值就是该点的边际替代率。

边际替代率递减是消费者偏好所普遍具有的一个特征。这是因为，当人们对某一种商品的拥有量增加后，人们就越来越不愿意减少其他商品来进一步增加这种商品。

4基数效用论和序数效用论（中央财经大学2007研复试）

答：效用是指消费者消费物品或劳务所获得的满足程度，并且这种满足程度纯粹是一种消费者主观心理感觉。效用有基数效用和序数效用之分。

（1）基数效用论认为，效用的大小可以用设想的数字来表示，并加以计算和比较，如消费者消费第一个包子的效用为5，第二个包子的效用为4，因此第一个包子比第二个包子的效用大1。序数效用论认为，效用仅仅是次序概念，而不是数量概念，因此在分析商品效用时，无法用具体数字来描述商品效用，只能用第一、第二等序数来说明各种商品效用谁大谁小或相等。

（2）虽然基数效用论和序数效用论在效用的认识方法上存在差异，但是它们说明的问题和得出的结论却是一致的。它们都认为边际效用具有递减规律，都能用各自的方法推导出商品需求曲线，只是它们用来表述的工具不同。其中，基数效用论的工具是具体的数字，而序数效用论的工具是无差异曲线。

5预算约束线（东北财经大学2017研；山东大学2016研；厦门大学2007研）

答：预算约束线又称为预算线、消费可能线和价格线，表示在消费者的收入和商品的价格给定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的两种商品的各种组合。假定以I表示消费者的既定收入，以P₁和P₂分别表示商品1和商品2的价格，以X₁和X₂分别表示商品1和商品2的数量，则相应的预算式为：P₁X₁＋P₂X₂＝I。

该式表示：消费者的全部收入等于其购买商品1和商品2的总支出。由该预算式作出的预算约束线为图3-2中的线段AB。

图3-2　预算约束线

图3-2中，预算线的横截距OB和纵截距OA分别表示全部收入用来购买商品1和商品2的数量。预算线AB把平面坐标图划分为三个区域：预算线AB以外的区域中的任何一点，是消费者利用全部收入都不可能实现的商品购买的组合点。预算线AB以内的区域中的任何一点，表示消费者的全部收入在购买该点的商品组合以后还有剩余。唯有预算线AB上的任何一点，才是消费者的全部收入刚好花完所能购买到的商品组合点。

6显示性偏好（浙江大学2007研）

答：显示性偏好（Revealed Preference Theory）是指消费者在一定价格条件下的购买行为暴露了或显示了他内在的偏好倾向，因此可以通过观察消费者的购买行为（如何对价格和收入的变化做出反应）推测人们的偏好。

显示性偏好是萨缪尔森于1948年在《用显示性的偏好论述的消费理论》一文中提出的研究需求理论的一种方法。在通常的消费者理论中，偏好（或效用函数）起着中心的作用，但它是与人们内心活动有关的心理概念，故往往被人们认为是消费者理论的缺陷，同时无差异曲线也无法表达多种商品的选择问题。

显示性偏好理论只是依赖于实际观察到的消费者的购买行为，避免了使用先验的效用概念。只要消费者满足显示偏好的基本公理，就可以得到消费者的无差异曲线及需求函数的一些重要性质，如需求函数的唯一性、零阶齐次性等。显示性偏好公理分为一般性公理、弱公理和强公理，这些公理保证了显示性偏好的可传递性，以保证推导出一条需求曲线。

7消费者均衡（西安交通大学2003研）

答：消费者均衡是指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态，其研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件。这里的均衡指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的一种相对静止的状态。

在基数效用论者那里，消费者实现效用最大化的均衡条件是：如果消费者的货币收入水平是固定不变的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等。或者说，消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等，即MU/P＝λ，其中λ为货币的边际效用。

序数效用论者把无差异曲线和预算线结合在一起说明消费者的均衡。任何一个理性的消费者在用一定的收入购买商品时，其目的是为了从中获得尽可能大的消费满足。消费者偏好决定了消费者的无差异曲线，一个消费者关于任何两种商品的无差异曲线簇可以覆盖整个坐标平面；消费者的收入和商品的价格决定了消费者的预算线，在收入既定和商品价格已知的条件下，一个消费者关于两种商品的预算线只能有一条。那么，当一个消费者面临一条既定的预算线和无数条无差异曲线时，只有既定的预算线和其中一条无差异曲线的切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点，此时满足MRS₁₂＝P₁/P₂。

8边际效用递减规律（中央财经大学2019研；中国地质大学2015研；中南财经政法大学2009研；中国人民大学2002研）

答：边际效用递减规律是指在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的。用公式表示为dMU（q）/dq＜0。例如，在一个人饥饿的时候，吃第一个包子给他带来的效用是很大的。以后，随着这个人所吃的包子数量的连续增加，虽然总效用是不断增加的，但每一个包子给他所带来的效用增量即边际效用却是递减的。当他完全吃饱的时候，包子的总效用达到最大值，而边际效用却降为零。如果他还继续吃包子就会感到不适，这意味着包子的边际效用进一步降为负值，总效用也开始下降。边际效用递减规律是基数效用论的基本定律，又称戈森第一定律。导致边际效用递减的原因，主要是随着商品数量的增加，由于人们生理、心理作用的影响，商品对人们的刺激力和重要程度都有下降的趋势。

二、简答题

1简述微观经济学中消费者偏好的基本假定。（北京交通大学2010研；浙江大学2008研；厦门大学2006研；清华大学2004研）

答：消费者偏好是消费者根据自己的意愿对可能消费的商品组合进行的排列。微观经济学中，消费者偏好的基本假定有以下三个：

（1）完备性（completeness）

偏好是完备的，换言之，消费者可以对所有可能的市场篮子进行比较和排序。所以，对于任何两个市场篮子A和B，消费者要么偏好其中的A，要么偏好其中的B，要么觉得两者无差异。偏好的完备性假定保证消费者总是可以把自己的偏好评价准确地表达出来。

（2）可传递性（transitivity）

偏好是可传递的。可传递性意味着如果消费者在市场篮子A和B中更偏好A，在B和C中更偏好B，那么消费者在A和C中就更偏好A。可传递性通常是消费者保持一致性的必要条件。

（3）越多越好（more is better than less）

该假定指如果两种商品组合的区别仅在于其中一种商品的数量不相同，那么消费者总是会偏好于含有这种商品数量较多的那种商品组合。这也就是说消费者对每种商品的消费没有达到饱和点，这个假定还意味着消费者认为值得拥有的东西都是“好的东西”。在讨论消费者选择时，考虑的是商品（goods）而不是厌恶品（bads），即满足良好性状偏好。这个假定有时被称为偏好的单调性。

2当收入和价格发生变化时，无差异曲线是否会发生改变和移动？请说明理由。（清华大学2004研）

答：当收入和价格发生变化时，无差异曲线不会发生改变和移动。理由如下：无差异曲线的一个重要性质是任意两条无差异曲线不能相交。该性质的核心意义是任意无差异曲线都表示特定效用量。无差异曲线的形状和位置是由消费者的偏好决定的，只要消费者的偏好不发生变化，其无差异曲线就不会变动。

当收入和价格发生变动的时候，消费者的预算线将发生改变和移动，与无差异曲线的切点改变，从而使最终选择发生变化，但这不会引起无差异曲线变动。

3设：消费者所消费的两种商品组合集U⁰（Q_i⁰，Q_j⁰）和U¹（Q_i¹，Q_j¹）分别代表两个不同的效用总量U⁰和U¹（亦即U⁰≠U¹）。求证：这两种组合集所描出的无差异曲线U⁰和U¹在平面（i，j）上不相交。（清华大学2006研；厦门大学2005研）

证明：如图3-3所示，假设这两种组合集所描出的无差异曲线U⁰和U¹在平面（i，j）上相交，相交点为a点。

图3-3　无差异曲线不能相交

根据无差异曲线的定义，由无差异曲线U⁰可得a、b两点的效用水平是相等的，由无差异曲线U¹可得a、c两点的效用水平是相等的。于是，根据偏好可传递性的假定，必定有b和c这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图3-3中b和c这两点的商品组合，可以发现c组合中的每一种商品的数量都多于b组合，于是，根据偏好的非饱和性假定，必定有c点的效用水平大于b点的效用水平。

这样一来，矛盾产生了：该消费者在认为b点和c点无差异的同时，又认为c点要优于b点，这就违背了偏好的完备性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交的画法是错误的。所以，这两种组合集所描出的无差异曲线U⁰和U¹在平面（i，j）上不相交。

4说明当消费者消费的一种商品是定量配给的时候，他们的境况往往会变糟。（西安交通大学2011研；厦门大学2008研）

答：假定消费者消费两种商品X和Y，其价格分别为P_X、P_Y。消费者的收入为I。因此消费者的预算约束线为P_X·X＋P_Y·Y＝I。如图3-4所示，效用最大化的市场篮子必定位于无差异曲线与预算线的切点E点上，此时对商品X的需求量为X₁。

图3-4　配给对消费者选择行为的影响

假定对商品X实行配给，将商品X消费量控制在X₂时，X₂＜X₁，消费者的预算线将由原来的直线AEB变为折线AFC，此时消费者效用最大化的点为F点，经过F点的无差异曲线U₂位于原来无差异曲线U₁的下方，因而消费者获得的效用水平减少，消费者的境况变坏。

但是，如果将商品X的消费量控制在X₁（或者大于X₁）时，消费者的最优选择点仍是E点，消费者获得效用水平不变，此时消费者的境况不变。综上所述，配给可能使消费者的境况变差。

5为什么对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低？（厦门大学2010研）

答：对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低这一悖论就是著名的“钻石与水悖论”，也称为“价值悖论”。

约翰·劳认为水之所以用途大、价值小，是因为世界上水的数量远远超过对它的需求，而用途小的钻石之所以价值大，是因为世界上钻石的数量太少，不能满足人们对它的需求。即物以稀为贵。

马歇尔用供求均衡来解释“价值悖论”。他认为，由于水的供应量极其充足，而需求仅能保持在一个较低的水平，人们对水所愿支付的价格就比较低；可是，钻石的供应量却非常少，而需要的人又多，所以，想得到它的人，就必须付出超出众人的价格。

边际学派试图用“边际效用”来说明价值悖论。按照边际学派的观点，价格取决于商品的边际效用，而不是总效用。由于水源充足，边际效用很小，所以价格也就很便宜。同理，由于钻石稀缺，边际效用很大，其价格也就相应地昂贵。

6基数效用论者是如何推导需求曲线？如果认为货币的边际效用不变，那么需求曲线会具有怎样的形式？（清华大学2010研；西安交通大学2002研）

答：（1）基数效用论者以边际效用递减规律和消费者均衡的条件为基础推导消费者的需求曲线。他们认为商品的需求价格取决于商品的边际效用，从而形成消费者需求的一般特性，即：如果消费者拥有某种商品的数量越多，该商品对他的边际效用就越小，则该消费者愿意为再增加一单位的该商品而支付的价格就越低；如果一定数量的某种商品的边际效用越大，消费者为购买这些数量的商品所愿意支付的价格就越高。由于商品的边际效用递减规律的作用，消费者购买某种商品的数量和价格之间总是呈反方向变动的，即在其他条件不变的前提下，随着消费者对某商品消费数量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，所以，消费者对每增加一单位商品所愿意支付的最高价格（即需求价格）也是递减的，即消费者对该商品的需求曲线是向右下方倾斜的。

（2）在只考虑一种商品的前提下，消费者实现效用最大化的均衡条件是MU/P＝λ。根据货币的边际效用不变的假定，可以从一种产品的边际效用曲线导出其需求曲线，设λ为每元货币的边际效用，则P＝MU/λ。可见，每单位货币所取得的边际效用为商品的边际效用与价格之比。如果货币的边际效用不变，需求曲线完全取决于边际效用曲线。在边际效用递减规律的作用下，由此均衡条件出发，可以计算出需求价格，并推导消费者的向右下方倾斜的需求曲线。

7政府对居民征税一般有两种办法，一种是征收消费税，另一种是征收所得税，不论采取哪一种征税办法，政府征收的税额都是一样，那么哪一种征税办法对居民会更为有利些？（清华大学2010研）

答：假定该消费者只消费两种物品，征税前，该消费者的预算约束p₁x₁＋p₂x₂＝m。但当对物品1征收消费税后，该消费者的预算约束变为：（p₁＋t）x₁＋p₂x₂＝m。消费税的效果在图3-5中表示出来。如果用（x₁^*，x₂^*）表示税后消费水平，则征税所能得到的税收为tx₁^*。

图3-5　产品税与所得税

现在假定要对所得征税以获取同样的税收。消费者的预算约束则变为：p₁x₁＋p₂x₂＝m－tx₁^*。这是条斜率为－p_1/p₂并通过（x₁^*，x₂^*）的直线，如图3-5所示。需要注意的是，这条预算线穿过了通过（x₁^*，x₂^*）的无差异曲线，所以，尽管都能得到同样的税收，但消费者相对于缴纳消费税而言，缴纳所得税能获得更高的效用水平。

对于获取同样的税收而言，消费者被征以消费税比被征以所得税所蒙受的效用损失更大。

81984年，美国实行的食品券计划涉及2100万人，共花费120亿美元。假设某一家庭有资格得到食品券，他每月支付80美元就可以买到150美元的食品。

（1）如果家庭每月的货币收入为250美元，不符合领取食品券的条件，请用图形表示该预算线，要求：横轴表示每月消费的食品数量，纵轴表示每月消费的非食品数量。

（2）在图中画出符合领取食品券条件的家庭的预算线。

（3）说明如果这个家庭得到70美元的现金而非实物食品时，可以达到更高的满足水平。（厦门大学2010研）

答：（1）用货币数量计量商品价格，食品与非食品的价格都为1。家庭每月的货币收入为250美元，不符合领取食品券的条件，此时的预算线如图3-6所示。

图3-6　消费预算线

（2）如图3-7所示，AC为不含食品券的预算线，BC为含食品券的预算线，BC预算线上半部分斜率的绝对值要小于下半部分斜率的绝对值，下半部分的斜率为－1。上半部分的斜率为：－80/150≈－0.53。当家庭把150单位的食品券全部消费完毕后，BC预算线的斜率又变为－1。

图3-7　含食品券的预算线

（3）如图3-8所示，当家庭获得70美元的食物券时，家庭只能将其全部花在食物上，此时家庭获得的补贴只能用于购买食物，最优消费点为A点（是一个角点解），获得最大效用水平为U₁；当家庭获得70美元的现金时，此时家庭获得的补贴不仅可以用于购买部分食物还可以购买其他商品，最优消费点为B点，获得的效用水平U₂高于只发食品券购买食品时的效用水平U₁，可见家庭可以达到更高的满足水平。

图3-8　两种方案的优劣比较

9假定一个学生只消费食品和书本两种商品。在过去的4年中她生活在北京，每月她消费1份食品和2份书本，每份食品的价格为1元，书本的价格为2元，后来她考上了中山大学研究生并到广州生活，在那里每月她消费2份食品和2份书本，每份食品和每份书本的价格为1元，请问：

（1）到广州后她每月的生活水平提高了，还是下降了？为什么？

（2）她的消费行为符合显示偏好弱公理吗？

（3）如果她搬到广州后每月消费的食品多于3份，那么她的消费行为还符合弱公理吗？为什么？

（4）如果她在北京生活时，每月消费4份食品和0.5份书本，那么她搬来广州后生活水平是提高了，还是下降了？为什么？（中山大学2007研）

答：（1）她的生活水平提高了。分析如下：

设食品为x，书本为y。初始预算线为x＋2y＝5，均衡点为（1，2），之后预算线为x＋y＝4，均衡点为（2，2）。因为可以多消费1份食品，而且花费的支出减少了，表示在图3-9中就是U₂＞U₁。

图3-9　消费者选择

（2）她的消费行为符合显示偏好弱公理。

显示偏好弱公理是指如果（x₁，x₂）被直接显示偏好于（y₁，y₂），且（x₁，x₂）和（y₁，y₂）不同，那么，（y₁，y₂）就不可能被直接显示偏好于（x₁，x₂）。换言之，假定一个消费束（x₁，x₂）是按价格（p₁，p₂）购买的，另一个消费束（y₁，y₂）是按价格（p₁，p₂）购买的，那么只要p₁x₁＋p₂x₂≥p₁y₁＋p₂y₂就不可能再有q₁y₁＋q₂y₂≥q₁x₁＋q₂x₂。

对于本题，初始预算x＋2y＝5约束下，选择了（1，2），而（2，2）是无力选择的，后来预算约束为x＋y＝4，选择了（2，2），而没有选择（1，2），说明消费者更偏好（2，2）。

套用公式，在初始价格（1，2）下1×2＋2×2＞1×1＋2×2，而在价格（1，1）下，同样满足1×2＋1×2＞1×1＋1×2，即偏好是一致的，消费者一直偏好（2，2），只不过一开始由于预算约束，无法选择。

（3）她的消费行为符合显示偏好弱公理。

设消费的食品份数为n（n＞3）。对于本题，初始预算x＋2y＝5约束下，选择了（1，2），而（n，2）是无力选择的，后来预算约束为x＋y＝n＋3，选择了（n，2），而没有选择（1，2），说明消费者更偏好（n，2）。

套用公式，在初始价格（1，2）下，1×n＋2×2＞1×1＋2×2（n＞3），而在价格（1，1）下，同样满足1×n＋1×2＞1×1＋2×2，即偏好是一致的，消费者一直偏好（n，2），只不过一开始由于预算约束，无法选择。

（4）她生活水平可能提高了，也可能下降了，不确定。

联立x＋2y＝5，x＋y＝4，可得x＝3，y＝1，所以点（4，0.5）位于预算线下方，如图3-10所示，x₁代表食品，x₂代表书本，初始情况下均衡点为（y₁，y₂）＝（4，0.5），之后，均衡点为（x₁，x₂）＝（2，2）。如果无差异曲线如图3-10所示，她的效用水平提高了，但是如果无差异曲线改变一下，再平缓一点，她的效用水平就降低了，也即（y₁，y₂）处于更高水平的无差异曲线上，所以不确定她的情况是变好还是变坏。

图3-10　消费者选择

10假定货币的边际效用也递减，将高工资者的收入转移给低工资者，能否增加全社会的总效用？并用图说明。（复旦大学2010研）

答：根据货币的边际效用递减规律，将高工资者的收入转移给低收入者，可以增加社会的总效用，其效果相当于“劫富济贫”。

图3-11　收入转移效用分析

如图3-11所示，不失一般性的考虑两个人的情况，假设穷人的初始财富为W₁，富人的初始财富为W₂，总效用为U＝U（W₁）＋U（W₂）。

现从富人处转移ΔW给穷人，此时穷人的财富为W₁′，富人的财富为W₂′，总效用为U＝U（W₁′）＋U（W₂′）。

根据边际效用递减规律ΔU₁＝U（W₁′）－U（W₁）＞ΔU₂＝U（W₂）－U（W₂′），因此在财富转移后，总效用提高了。

11张三与李四在同一家便利店购买牛奶和豆浆。他们对于牛奶和豆浆的偏好不同，收入也不同。他们两种商品都购买，但购买的两种商品的数量不同。对于他们两人的选择来说，牛奶和豆浆的边际替代率有什么关系？作图表示他们的预算约束线和无差异曲线，并解释你的结论。（中山大学2008研）

答：在同一家便利店里，张三和李四购买的牛奶和豆浆的价格分别都是相同的。设牛奶的价格为P₁，豆浆的价格为P₂，A代表张三，B代表李四。当达到均衡时，即消费者实现最优选择时，边际替代率必定等于交换比率，即有：

图3-12　张三和李四的预算约束线和无差异曲线

即对于他们两人的选择来说，牛奶和豆浆的边际替代率相等。

由于两人购买的牛奶和豆浆的价格分别都是相同的，所以两人预算线的斜率是一样的，由于收入不同，所以预算线离原点的距离远近不同，张三和李四的预算线及无差异曲线具体如图3-12所示。预算线AB平行于CD。张三的预算线AB与他的无差异曲线U_A切于E_A点，两种商品的购买量分别为x_A1和x_A2；李四的预算线CD与他的无差异曲线U_B切于E_B点，两种商品的购买量分别为x_B1和x_B2。

12简述无差异曲线及其特点。（北京师范大学2016研；华中科大2016、2007研）

答：（1）无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。或者说，它是表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品的所有组合。相对应的效用函数为：U＝f（x₁，x₂），其中x₁和x₂分别是商品1和商品2的数量。如图3-13所示，横轴与纵轴分别代表A、B两种商品，它们有四种不同的组合，其坐标点分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。Ⅰ表示由1个单位A商品与6个单位B商品组合；Ⅱ表示由2个单位A商品与3个单位B商品组合等等。连接Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形成的曲线L便是无差异曲线。

图3-13　无差异曲线

（2）无差异曲线具有以下三个基本特点：

①由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。所有这些无差异曲线之间的相互关系是：离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。

②在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交。图3-14中，两条无差异曲线相交于a点，这种画法是错误的。其理由在于：根据无差异曲线的定义，由无差异曲线I₁可得a、b两点的效用水平是相等的，由无差异曲线I₂可得a、c两点的效用水平是相等的。于是，根据偏好可传递性的假定，必定有b和c这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图中b和c这两点的商品组合，可以发现c组合中的每一种商品的数量都多于b组合，于是，根据偏好的非饱和性假定，必定有c点效用水平大于b点的效用水平。这样一来，矛盾产生了，该消费者在认为b点和c点无差异的同时，又认为c点要优于b点，这就违背了偏好的完全性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交的画法是错误的。

③无差异曲线是凸向原点的。这就是说，无差异曲线不仅向右下方倾斜，即无差异曲线的斜率为负值，而且，无差异曲线是以凸向原点的形状向右下方倾斜的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。这取决于商品的边际替代率递减规律。

图3-14　违反偏好假定的无差异曲线

三、计算题

1一名大学生即将参加三门功课的期终考试，他能够用来复习功课的时间只有6小时。又设每门功课占用的复习时间和相应会取得的成绩如下表：

请问：为使这三门课的成绩总分最高，他应怎样分配复习时间？此时总分是多少？（厦门大学2007研）

解：由该名大学生的效用表可得出该名大学生复习经济学、数学、统计学所获得的相应的边际效用（对应的是该名大学生复习各门功课取得的成绩），如表3-1所示。

表3-1　该名大学生的边际效用表

按照基数效用论的观点，该名大学生应选择最优的时间组合，使得自己花费在各门功课上最后一个小时所带来的边际效用相等。根据表3-1，经济学用3小时，每小时的边际效用是10分；数学用2小时，每小时的边际效用是10分；统计学用1小时，每小时的边际效用也是10分。而且所用总时间＝3小时＋2小时＋1小时＝6小时。由消费者均衡条件可知，他把6小时作如上的分配时，这三门课的成绩总分最高。

注意，如果经济学用4小时，数学用3小时，统计学用2小时，每小时的边际效用虽也相等，都是8分，但所用总时间＝4小时＋3小时＋2小时＝9小时，超过6小时。所以，此方案不可取。

2如果某消费者的效用函数为：U＝xy³，他会将收入的多少用于商品x上？（西安交通大学2006研）

解：假设商品x的价格为P_x，商品y的价格为P_y，收入为M，则消费者效用最大化可表示为：

构造拉格朗日函数：

L＝xy³－λ（P_xx＋P_yy－M）

效用最大化的一阶条件为：

∂L/∂x＝y³－λP_x＝0

∂L/∂y＝3xy²－λP_y＝0

∂L/∂λ＝M－（P_xx＋P_yy）＝0

解得：y³/P_x＝3xy²/P_y，即3P_xx＝P_yy。

将3P_xx＝P_yy代入预算方程P_xx＋P_yy＝M，可得P_xx＝M/4，所以消费者收入中有1/4用于购买商品x。

3已知消费者对两种商品量q₁和q₂的效用函数U＝q₁q₂及其预算约束方程y＝p₁q₁＋p₂q₂（其中：y为消费者的收入，p₁、p₂分别为两种商品量q₁和q₂的市场价格）。求证：在效用最大化条件下消费者对这两种商品的需求函数分别为q₁＝y/（2p₁）和q₂＝y/（2p₂）。（厦门大学2006研）

证明：作为一位理性的消费者，其目标是在既定的收入下追求效用的最大化。因此，消费者的问题是：

构造拉格朗日辅助函数：L＝q₁q₂＋λ（y－p₁q₁－p₂q₂）。

最优选择必定满足以下三个一阶条件：

∂L/∂q₁＝q₂－λp₁＝0

∂L/∂q₂＝q₁－λp₂＝0

∂L/∂λ＝y－p₁q₁－p₂q₂＝0

由上述三式解得消费者对两种商品的需求函数分别为：q₁＝y/（2p₁），q₂＝y/（2p₂）。

4某消费者开始在北京，有一固定的收入，假定他的效用函数为u（x₁，x₂）＝x₁x₂，已知北京的物价为（p₁^a，p₂^a），上海的物价为（p₁^b，p₂^b）并且p₁^ap₂^a＝p₁^bp₂^b。但是p₁^a≠p₁^b，p₂^a≠p₂^b，又知道广州的物价为（p₁^c，p₂^c）＝[（p₁^a＋p₁^b）/2，（p₂^a＋p₂^b）/2]。问：他应该选择在哪个城市生活？（清华大学2006研）

解：假设消费者的固定收入水平为I，则消费者效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数为：L＝x₁x₂－λ（p₁x₁＋p₂x₂－I）。

一阶条件为：

∂L/∂x₁＝x₂－λp₁＝0

∂L/∂x₂＝x₁－λp₂＝0

∂L/∂λ＝I－p₁x₁－p₂x₂＝0

解得最优消费为：（x₁^*，x₂^*）＝[I/（2p₁），I/（2p₂）]。

因此，消费者的效用函数为：u（x₁，x₂）＝I²/（4p₁p₂）。

即该消费者在北京、上海和广州获得的效用分别为：

u_a＝I²/（4p₁^ap₂^a）

u_b＝I²/（4p₁^bp₂^b）

和

因为p₁^ap₂^a＝p₁^bp₂^b，所以有：u_a＝I²/（4p₁^ap₂^a）＝I²/（4p₁^bp₂^b）＝u_b。即该消费者对于生活在北京和上海无差异，因为生活在北京和上海所获得的效用水平相同。

由于

所以u_c＝I²/（4p₁^cp₂^c）＜u_a。即生活在广州的效用比生活在北京或上海的效用更小。因此，该消费者可能会选择去北京或上海生活，但不会选择去广州生活。

5用户在A网络与B网络之间选择通话时间，其中他消费的A网络通话时间为x，B网络通话时间为y。他的效用函数为u（x，y）＝x＋y。试求A和B网络通话时间各自的需求函数。（清华大学2011研）

解：设A网络通话的单价为P_x，B网络通话的单价为P_y，通话预算为M，则预算约束为P_xx＋P_yy＝M。可知效用函数也是一条直线，而且边际替代率为1，x和y是完全替代商品，于是最优消费点在角点处（即预算线和纵轴、横轴的交点）或整个预算线上获得。

（1）当预算线斜率绝对值P_x/P_y＜1时，也就是当P_x＜P_y时，消费者在预算线与横轴的交点处获得最优消费，如图3-15（a）所示，此时y＝0，x＝M/P_x，这就是B网络和A网络的需求函数。

（2）当预算线斜率绝对值P_x/P_y＞1时，也就是当P_x＞P_y时，消费者在预算线与纵轴的交点处获得最优消费，如图3-15（b）所示，此时x＝0，y＝M/P_y，这就是A网络和B网络的需求函数。

（3）当预算线斜率绝对值P_x/P_y＝1时，预算线和无差异曲线重合的点是最优消费点，此时预算线上所有点都是最优消费点，A网络和B网络的需求函数分别为x＝（M－P_yy）/P_x和y＝（M－P_xx）/P_y。

图3-15　预算一定时的效用最大化

6已知月收入750，P_X＝50，P_Y＝30，给出了效用函数U＝4（XY）^1/2。求：

（1）边际效用函数；预算线；最优配置。

（2）在X实行配给，每月最多只能消费6单位时，求Y的消费量，以及配给对消费行为的影响；计算配给对效用的影响。（厦门大学2017研）

解：（1）X的边际效用函数为：

Y的边际效用函数为：

预算线为：750＝50X＋30Y。

消费者均衡的条件为MU_X/MU_Y＝P_X/P_Y，即Y/X＝5/3。

将其代入预算线得：X＝7.5，Y＝12.5。

（2）对X实行配给意味着消费者的X消费量必须不大于X的配给量，于是，消费者的Y消费量将不小于之前的消费量。在本题中，当X的消费量小于7.5时，Y的消费量会大于12.5，此时MU_X/MU_Y＞P_X/P_Y。

于是，此时消费者增加X的消费量，减少Y的消费量就可以增加其效用。因此，当X实行配给时，消费者会选择他所能消费的最大数量的X，即消费6单位的X。

由预算线750＝50X＋30Y，解得此时Y的消费量为15，消费者此时获得的效用为：

该效用小于未实行配给时消费者的效用：

即配给制使得该消费者获得的效用降低了。

7某消费者消费X和Y两种商品所获得的效用函数U＝XY＋Y，预算约束为P_X·X＋P_Y·Y＝I，求：

（1）X，Y的需求函数。

（2）说明X与Y之间是替代品、互补品还是独立商品。

（3）若P_X＝2元，P_Y＝1元，I＝10元，求最大化的总效用及收入的边际效用。

（4）若P_Y上升到了4元，为保持问题（3）中的总效用不变，消费者需要多花多少钱？（对外经济贸易大学2017研）

解：（1）满足消费者效用最大化的均衡条件是MU_X/MU_Y＝P_X/P_Y，即Y/（X＋1）＝P_X/P_Y。

解得X＝（I－P_X）/（2P_X），Y＝（I＋P_X）/（2P_Y）。

商品X与Y的需求的交叉价格点弹性为：E_XY＝（dQ_X/dP_Y）·（P_Y/Q_X）。

（2）若两种商品的需求的交叉价格弹性系数为正值，则这两种商品之间为替代关系。若为负值，则这两种商品之间为互补关系。若为零，则这两种商品之间无相关关系。

由（1）可得：X＝（I－P_X）/（2P_X）＝（P_X·X＋P_Y·Y－P_X）/（2P_X），则：dQ_X/dP_Y＝Y/（2P_X），E_XY＝Y/（2P_X）·（P_Y/Q_X）＞0，所以X与Y是替代品。

（3）将P_X＝2，P_Y＝1，I＝10代入（1）中解得：X＝2，Y＝6。

则最大化的总效用为：U＝2×6＋6＝18。

将X＝（I－P_X）/（2P_X），Y＝（I＋P_X）/（2P_Y）代入效用函数，得：

U＝XY＋Y＝（I²－P_X²）/（4P_XP_Y）＋（I＋P_X）/（2P_Y）

收入的边际效用为：∂U/∂I＝2I/（4P_XP_Y）＋1/（2P_Y）＝3。

（4）P_Y＝4时，均衡条件仍为MU_X/MU_Y＝P_X/P_Y，即Y/（X＋1）＝P_X/P_Y＝2/4，即：2Y＝X＋1①

若总效用不变，即U＝XY＋Y＝18②

联立①②，解得X＝5，Y＝3。

代入预算约束，得I＝2×5＋4×3＝22。

则消费者需要多花费22－10＝12元。