3.2 课后习题详解
3-1 何谓速度瞬心？相对瞬心与绝对瞬心有何异同点？
解：速度瞬心为互作平面相对运动的两构件上瞬时速度相等的重合点。
绝对瞬心的绝对速度为零，相对瞬心处的绝对速度不为零。
3-2 何谓三心定理？何种情况下的瞬心需用三心定理来确定？
解：三心定理是指三个彼此作平面平行运动的构件的三个瞬心必位于同一直线上。
对于不通过运动副直接相连的两构件间的瞬心位置，可借助三心定理来确定。
3-3 试求图3-2-1所示机构在图示位置时全部瞬心的位置。
图3-2-1（a）
图3-2-1（b）
图3-2-1（c）
图3-2-1（d）
解：利用瞬心定义、三心定理确定瞬心的位置，各机构各瞬心位置如图3-2-2所示。
图3-2-2（a）
图3-2-2（b）
图3-2-2（c）
图3-2-2（d）
3-4 在图3-2-3所示的齿轮一连杆组合机构中，试用瞬心法求齿轮1与3的传动比ω1/ω3。
图3-2-3
解：齿轮1、3的绝对瞬心分别为图3-2-4中P16、P36，根据三心定理，过瞬心P12、P23的连线与过P16、P36的连线的交点P13即为齿轮1、3的等速重合点即相对瞬心。
图3-2-4
因此传动比
3-5 对图3-2-5所示机构，应用公式
可得
所用到的三个瞬心各是什么瞬心？为什么不利用瞬心P24、P23、P34之间的关系？又构件2和4之间的转向关系如何判定？并结合图3-2-5说明如何用速度瞬心法迅速地确定连杆上任一点的速度大小和方向？为什么能使设计者很容易地想像出机构运动的整体情形？
解：（1）如图3-2-5所示，P12、P14为绝对瞬心，P24为构件2、4的相对瞬心。
图3-2-5
（2）因为ω2、ω4分别是构件2相对于A点，构件4相对于D点的角速度，而不是构件2相对于点B、构件4相对于点C的角速度，所以，
不成立。
（3）相对瞬心P24在两绝对瞬心P12、P14的延长线上时，ω2、ω4同向；P24在两绝对瞬心P12、P14之间时，ω2、ω4反向。
（4）瞬心P13为连杆3在图示位置的瞬时转动中心，故有
可得
故连杆上任意一点P的速度
方向垂直于P13P，指向与ω3一致。
（5）由于利用瞬心法可以很容易地确定机构上各点的速度大小和方向，进而使设计者很容易地想象出机构运动的整体情形。
3-6 图3-2-6所示四杆机构中，lAB＝60mm，lCD＝90mm，lAD＝lBC＝120mm，ω2＝10rad/s，试用瞬心法求：
（1）当φ＝165°时，C点的速度vC。
（2）当φ＝165°时，构件3的BC线上（或其延长线上）速度最小的E点的位置及其速度的大小。
（3）当vC＝0时，φ角之值（有两个解）。
图3-2-6
解：（1）根据三心定理确定构件2、4在φ＝165°时的相对瞬心位置P24如图3-2-7（a）所示。
故有
可得
此时C点的速度
vC＝ω4×lCD＝4.5×90mm/s＝405mm/s
其方向垂直于CD，指向与ω4的转向一致。
（2）根据三心定理确定构件1、3的相对瞬心P13位置如图3-2-7（a）所示。由相对瞬心的定义可知构件1、3在此点等速，又因为1为机架，绝对速度为零，因此可将构件3视为绕此点转动。过P13作BC垂线，垂足为E，E点即为构件3的BC线上速度最小的点。
点E的速度
由
得
于是
（3）由（2）的分析可知，当C点与P13重合时，vC＝0，要满足上述条件，只需令A、B、C三点共线。分别以A、D为圆心，AB、CD为半径作圆A和圆D；以A为圆心，分别以BC＋AB和BC－AB为半径作圆，交圆D于C1、C2点，连接C1A、C2A并延长，分别交圆A于B1、B2两点，分别连接A、B1、C1、D和A、B2、C2、D，便得到vC＝0时机构两个位置。如图3-2-7（b）所示，由图中可测量φ1＝25.5°，φ2＝222°。
图3-2-7（a）
图3-2-7（b）
3-7 图3-2-8所示机构中，已知lAC＝lBC＝lCD＝lCE＝lDE＝lEF＝20mm，滑块1及2分别以匀速且v1＝v2＝0.002m/s作反向移动，试求机构在θ3＝45°位置时的速度之比vF/v1的大小。
图3-2-8
解：根据已知条件和机构的几何性质可知，C、F的速度水平向右，构件3与机架的绝对瞬心P37的位置如图3-2-9所示。
图3-2-9
设P37A＝a，构件3的角速度
ω3＝v1/P37A＝v1/a
由几何关系可知
P37C＝a
E点速度
由几何关系知
∠β＝45°－∠α
vD＝vE
可得
所以vF/v1＝4。
3-8 图3-2-10所示的各机构中，设已知各构件的尺寸及B点的速度vB，试作出其在图示位置时的速度多边形。
图3-2-10（a）
图3-2-10（b）
解：（1）图3-2-11（a）所示机构，速度多边形如图3-2-11（a）所示。
（2）图3-2-10（b）所示机构，根据瞬心的定义和三心定理构件3与构件1的绝对瞬心P13，方向竖直向上且位于无穷远处，如图3-2-11（b）所示。而vB水平向左，与P13B垂直，故vE与vC的方向均为水平向左，大小与vB相等。速度多边形如图3-2-11（c）所示。
图3-2-11（a）
图3-2-11（b）
图3-2-11（c）
3-9 既然机构中各构件与其速度图和加速度图之间均存在影像关系，因此整个机构与其速度图和加速度图之间也存在影像关系，对吗？根据对题3-8的演算，你的结论是什么？
解：这种说法是错误的。速度影像和加速度影像原理只适用于构件，即构件的速度图加速度图和其几何形状是相似的，而不适用于整个机构。
根据对题3-8的演算可得
（1）速度影像原理适用于构件；
（2）构件的绝对瞬心位于无穷远处时，构件在速度图中变为一个点。
3-10 当用速度瞬心法和用速度影像法求同一构件，如四杆机构连杆上任一点的速度时，它们的求解条件有何不同？各有何特点？
解：不同：利用速度瞬心法求解四杆机构连杆上任一点的速度时，需找出连杆与机架的速度瞬心并求出连杆的角速度；利用速度影像法求解则需要求出连杆上两点的速度。
特点：利用瞬心法对机构进行速度分析虽然简便，但当某些瞬心位于图纸之外时，给求解带来困难；速度影像法只适用于构件，而不适用于整个机构。
3-11 速度多边形和加速度多边形有哪些特性？试标出图3-2-12中vAB、vBC、vCA及vA、vB、vC的方向？
图3-2-12
解：速度多边形：由极点p向外放射的矢量，代表构件上相应点的绝对速度，而连接两绝对速度矢端的矢量，则代表构件上相应两点间的相对速度。
加速度多边形：由极点p向外放射的矢量，代表构件上相应点的绝对加速度，而连接两绝对速度矢端的矢量，则代表构件上相应两点间的相对加速度。
构件的速度图及加速度图和其几何形状相似。此特性只适用于构件，不适用于整个机构。
vAB、vBC、vCA及vA、vB、vC的方向如图3-2-13所示。
图3-2-13
3-12 图3-2-14所示各机构中，设已知各构件的尺寸，原动件1以等角速度ω1顺时针方向转动，试以图解法求机构在图示位置时构件3上C点的速度及加速度（比例尺任选）。
图3-2-14（a）
图3-2-14（b）
图3-2-14（c）
解：（a）①速度分析
vB＝ω1lAB（垂直AB，指向与ω1一致）
取重合点C2、C3，分别位于构件2和构件3上，构件3上B与C3两点间运动关系为
重合点C2、C3间运动关系为
联立以上两式得
如图3-2-15（a1）所示，由图解法得vC3＝vB＝ω1lAB。
方向垂直AB，指向与ω1转向一致。
②加速度分析
B点加速度aB＝ω12lAB，其方向由B指向A。
根据点C3相对于点B的运动关系可得
由两构件重合点的加速度关系可得
联立以上两式得
如图3-2-15（a2）所示，由图解法得aC3＝0。
图3-2-15（a1）
图3-2-15（a2）
（b）①速度分析
取构件2和构件3上重合点B2、B3，由已知可得B2速度vB2＝vB1＝ω1lAB。（垂直AB，指向与ω1一致）
由两构件重合点的速度关系得
如图3-2-15（b1）所示，由图解法得vB3＝0，则有vC3＝ω3lCD＝0。
②加速度分析
由①可知，
其加速度图如图3-2-15（b2）所示。
图3-2-15（b1）
图3-2-15（b2）
（c）①速度分析
取构件2和构件3上重合点B2B3，点B2的速度vB2＝vB1＝ω1lAB。（垂直AB，指向与ω1转向一致）
由两构件重合点的速度关系得
解得vB3＝vB2＝ω1lAB，其方向与vB2相同。
根据构件3上B3、C3两点间关系得
如图3-2-15（c1）所示，由图解法得
其方向垂直于CD，逆时针方向。
②加速度分析
则
取点P′为加速度图极点，作其加速度图，如图3-2-15（c2）所示。
则有
图3-2-15（c1）
图3-2-15（c2）
3-13 试判断在图3-2-16所示的两机构中，B点是否都存在科氏加速度？又在何位置时其科氏加速度为零？作出相应的机构位置图。并思考下列问题：
（1）在什么条件下存在科氏加速度？
（2）根据上一条，请检查一下所有科氏加速度为零的位置是否已全部找出？
（3）图3-2-16（a）中，
对吗？为什么？
图3-2-16（a）
图3-2-16（b）
解：图3-2-16（a）中存在科氏加速度，图3-2-16（b）中不存在；如图3-2-17所示，机构处于AB1、AB2、AB3、AB4位置时，科氏加速度为零。
图3-2-17
（1）如果机构中两构件可作转动，且两构件组成移动副时，机构中存在科氏加速；如果组成移动副的两构件作平动运动，则因牵连角速度为零，机构中不存在科氏加速度。
（2）由（1）可知，图3-2-16（b）中所有科氏加速度为零的位置都已找出。
（3）正确，因为构件2与3组成移动副，两构件间无相对转动，所以ω2＝ω3。
又因为
所以
成立。
3-14 图3-2-18所示曲柄摇块机构中，已知lAB＝30mm，lAC＝100mm，lBD＝50mm，lDE＝40mm，曲柄以等角速度ω1＝10rad/s回转。试用图解法求机构在φ1＝45°位置时，D点和E点的速度和加速度，以及构件2的角速度和角加速度。
图3-2-18
解：（1）速度分析
B点速度vB＝ω1lAB＝10×0.03m/s＝0.3m/s（垂直AB，指向与ω1一致）。
构件2与构件4的绝对瞬心为P24，如图3-2-19所示，vD的方向垂直于P24D，指向与ω1转向一致。
图3-2-19
B、D同为构件2上的两点，运动关系为
取p作为速度图的极点，选取比例尺uv＝0.01（m/s）/mm作图，如图3-2-19（b）所示。
可得
由于点B、D、E同在构件2上，而vB、vD已知，故可利用速度影像求得vE。e应位于过d点bd线的垂线上，又因为pe垂直P24E，两直线相交，e点位置可以确定，vE＝0.18m/s。
则ω2＝vDE/lDE＝（10×8/40）rad/s＝2rad/s，其方向为顺时针。
（2）加速度分析
B点加速度aB＝aBAn＝ω12lAB＝102×0.03m/s2＝3m/s2（方向由B指向A）。
根据点D相对于点B的运动关系，可得
取点p′为加速度图的极点，选取适当比例尺作图，如图3-2-19（c）所示。
可得aD＝2.63m/s2，利用加速度影像得aE＝2.87m/s2。
则有α2＝aDBt/lDB＝8.36rad/s2（顺时针）。
3-15 图3-2-20所示机构中，已知lAE＝70mm，lAB＝40mm，lEF＝60mm，lDE＝35mm，lCD＝75mm，lBC＝50mm，原动件以等角速度ω1＝10rad/s回转。试以图解法求在φ1＝50°时C点的速度vC和加速度aC。
图3-2-20
解：作φ1＝50°时的机构运动简图，如图3-2-21（a）所示。
图3-2-21（a）
图3-2-21（b）
图3-2-21（c）
（1）速度分析
vB＝ω1lAB＝10×0.04m/s＝0.4m/s（垂直AB，指向与ω1一致）
F1、F5为构件1和构件5上重合点，则有
取p作为速度图的极点，如图3-2-21（b）所示。
则有
vF4＝vF5＝1.54m/s（方向垂直于EF）
可得
ω4＝vF4/lEF＝1.54/0.06rad/s＝25.67rad/s（逆时针）
vD＝ω4lDE＝25.67×0.035m/s＝0.90m/s（垂直于DE，指向与ω4一致）
由同一构件上两点C、D和C、B得
联立以上两式得
解得
（2）加速度分析
aB＝aBn＝ω12lAB＝102×0.04m/s2＝4m/s2（方向由B指向A）
aD＝aDn＝ω42lDE＝25.672×0.035m/s2＝23.1m/s2（方向由D指向E）
根据C点分别相对于B点和D点的运动关系得
其中aCBn＝ω22lBC＝62×0.05m/s2＝1.8m/s2。
其中aCDn＝ω32lCD＝12.322×0.075m/s2＝11.38m/s2。
联立以上两式得
取点p′为加速度图的极点，如图3-2-21（c）所示。
得
3-16 图3-2-22所示凸轮机构中，已知凸轮1以等角速度ω1＝10rad/s转动，凸轮为一偏心圆，其半径R＝25mm，lAB＝15mm，lAD＝50mm，φ1＝90°。试用图解法求构件2的角速度ω2与角加速度α2。
提示：可先将机构进行高副低代，然后对其替代机构进行运动分析。
图3-2-22
解：将该机构进行高副低代，作φ1＝90°的运动简图，如图3-2-23（a）所示。
图3-2-23（a）
图3-2-23（b）
图3-2-23（c）
（1）速度分析
B点速度vB1＝ω1lAB＝10×0.015m/s＝0.15m/s（垂直AB，指向与ω1转向一致）
重合点B2、B4间的运动关系为
取p作为速度图的极点，速度图如图3-2-23（b）所示。
构件2的角速度
（2）加速度分析aB1＝aBAn＝ω12lAB＝102×0.015m/s2＝1.5m/s2（方向由B指向A）
重合点B2、B4间关系为
取点p′为加速度图的极点，如图3-2-23（c）所示。
可得
构件2的角加速度
3-17 图3-2-24所示为一自卸货车的翻转机构。已知各构件的尺寸及液压缸活塞的相对移动速度v21＝常数，求当车厢倾转至30°时车厢的倾转角速度ω5。
图3-2-24
解：根据三心定理可得各瞬心位置，如图3-2-25（a）所示。
图3-2-25（a）
构件1和构件2上重合点B1、B2间的运动关系为
取p作为速度图的极点，适当比例尺，速度图如图3-2-25（b）所示。
图3-2-25（b）
可得
方向由p指向b2。
构件2上B2、C两点间运动关系为
可得
方向由p指向c。
构件3上C、D两点运动关系为
由图解法求解得
则车厢的倾转角速度为
3-18 图3-2-26所示牛头刨床机构中，h＝800mm，h1＝360mm，h2＝120mm，lAB＝200mm，lCD＝960mm，lDE＝160mm。设曲柄以等角速度ω1＝5rad/s逆时针方向回转，试以图解法求机构在φ1＝135°位置时，刨头上C点的速度vC。提示：因此刨床机构为Ⅲ级机构，故三副构件3的位置作图需借助于其模板CBD来确定位置。
图3-2-26
解：机构在φ1＝135°时的位置如图3-2-27（a）所示。
图3-2-27（a）
图3-2-27（b）
设点D的速度大小为νD，方向垂直DE，C、D同为构件3上两点，则有
取p作为速度图的极点，选择合适的速度图比例尺μv，作速度图如图3-2-27（b）所示。
可得
由速度影像原理得
由构件2和构件3的重合点B2、B3间运动关系为
由于vC＝vC3，
且vB2＝vB1＝ω1lAB＝5rad/s×200mm＝1m/s。
可得刨头上C点的速度
vC＝vC3＝1.13vB2＝1.13×1m/s＝1.13m/s（平行于CF）
3-19 图3-2-28所示齿轮一连杆组合机构中，MM为固定齿条，齿轮3的直径为齿轮4的2倍，设已知原动件1以等角速ω1顺时针方向回转，试以图解法求机构在图示位置时E点的速度vE以及齿轮3、4的速度影像。
图3-2-28
解：（1）速度分析
B点速度为νB＝ω1lAB，方向垂直AB，指向与ω1转向一致。
B、C两点同为构件2上的点，运动关系为
取p点为速度图极点，选择合适的比例尺μv，作速度图如图3-2-29所示。
图3-2-29
可得
构件4与构件3上E、C两点间运动关系为
用速度图求解，可得
（2）作齿轮3、4的速度影像
齿轮3与齿条6（即机架）的绝对瞬心为点D，在速度影像图上，D点的速度影像与P点重合。令齿轮3与齿轮4的啮合点为k，根据速度影像原理作△dck相似于△DCK，可求得点k的速度影像。以C为圆心，ck为半径作圆r3，可得齿轮3的速度影像；以e为圆心，ek为半径作圆r4，可得齿轮4的速度影像。
3-20 图3-2-30示摆动式飞剪机用于剪切连续运动中的钢带。设机构的尺寸为lAB＝130mm，lBC＝340mm，lCD＝800mm。试确定剪床相对钢带的安装高度H（两切刀E及E′应同时开始剪切钢带5）；若钢带5以速度v5＝0.5m/s送进时，求曲柄1的角速度ω1应为多少才能做到同步剪切？
图3-2-30
解：选取尺寸比例尺μl＝10mm/mm，根据剪切条件作出两切刀相接触即剪切完成时刻的机构运动简图，如图3-2-31（a）所示。
可得剪床相对铜带的安装高度H＝712.4mm。
速度分析：假设ω1已知，则νB＝ω1×lAB方向垂直AB，指向与ω1转向一致。
B、C两点间运动关系为
取p为速度图的极点，作速度图如图3-2-31（b）所示。
图3-2-31（a）
图3-2-31（b）
利用速度影像原理，作E点的速度影像，即图中
。
νE＝νEt＋νEn，其中νEt＝ν5，则由速度图3-2-31（b）可得
曲柄1的角速度ω1＝vB/lAB＝（0.66m/s）/（130mm）＝5.1rad/s。
3-21 图3-2-32所示为一汽车雨刷机构。其构件1绕固定轴心A转动，齿条2与构件1在B点处铰接，并与绕固定轴心D转动的齿轮3啮合（滚子5用来保证两者始终啮合），固连于轮3上的雨刷3′作往复摆动。设机构的尺寸为lAB＝18mm，轮3的分度圆半径r3＝lCD＝12mm，原动件1以等角速度ω＝1rad/s顺时针回转，试以图解法确定雨刷的摆程角和图示位置时雨刷的角速度。
图3-2-32
解：（1）求雨刷的摆程角θ。
分别作出曲柄AB在极限位置AB1和AB2时的机构运动简图，如图3-2-33（a）所示。C1、C2分别为两位置时齿条与齿轮分度圆的切点，即接触点。
图3-2-33（a）
测量图中B1C1＝70.8mm，B2C2＝37.1mm。
雨刷的摆程角
为了便于进行速度和加速度分析，对其进行高副低代，如图3-2-33（b）所示：
图3-2-33（b）
图3-2-33（c）
（2）速度分析
vB2＝vB1，vB2＝vB1＝ωlAB＝1×18mm/s＝18mm/s
构件2与构件3上的重合点B2、B3间运动关系为
其中，vB2＝vB1。
取p作为速度图的极点，作速度图如图3-2-33（c）所示。
由图解法得
雨刷的角速度
3-22 图3-2-34所示为缝纫机针头及其挑线器机构，设已知机构的尺寸：lAB＝32mm，lBC＝100mm，lBE＝28mm，lFG＝90mm，原动件1以等角速度ω1＝5rad/s逆时针方向回转。试用图解法求机构在图示位置时缝纫机针头和挑线器摆杆FG上G点的速度及加速度。
图3-2-34
解：绘制机构运动简图如图3-2-35（a）所示。
图3-2-35（a）
图3-2-35（b）
图3-2-35（c）
B点速度vB＝ω1lAB＝5rad/s×32mm＝160mm/s，方向垂直AB，指向与ω1转向一致。
（1）速度分析
由构件2上B、C两点关系可得
取p作为速度图的极点，选择合适的比例尺作速度图如图3-2-35（b）所示。
可得
构件2上E2、B之间运动关系为
构件2上E2、C之间运动关系为
联立以上两式得
应用图解法可得e2点。
构件4与构件5上重合点E4、E5间运动关系为
其中νE2＝νE4，作速度图，根据速度影像原理，作△fge5∽△FGE，可得g点，则
（2）加速度分析
B点加速度aB＝ω12lAB＝52×0.032m/s2＝0.8m/s2，方向由B指向A。
构件2上B、C两点间运动关系为
其中，
取点p′为加速度图的极点，选择合适的比例尺作加速度图，如图3-2-35（c）所示。
可得
利用加速度影像求得e2′，利用重合点E建立方程
作出加速度图，如图3-2-35（c）所示，利用影像原理，作△fg′e5′∽△FGE得到g′点，则
3-23 图3-2-36所示为一行程可调的发动机。在此发动机中，已知各构件的尺寸：lAB＝35mm，lBC＝lBE＝65mm，lCE＝35mm，lCD＝lDG＝70mm，lEF＝110mm，调节螺旋的可调范围为lDH＝55～125mm。试以图解法求该发动机的最短行程和最长行程。设机构在图示位置时曲轴的瞬时角速度ω1＝5rad/s2（顺时针方向）及瞬时角加速度α1＝5rad/s2（顺时针方向），求此时活塞5的速度及加速度。
图3-2-36
解：选取适当比例μl，绘制机构简图如图3-2-37（a）所示。
其中，杆件7为调节螺旋，长度可调。
图3-2-37（a）
分别绘制出lDH＝125mm和lDH＝55mm时机构运动的极限位置图，如图3-2-37（b）所示。
图3-2-37（b）
可得发动机在两极限位置时对应的最短行程
（1）速度分析
首先根据三心定理确定构件2和构件8的绝对瞬心P28，如图3-2-37（a）所示，从而确定E点的速度方向垂直P28E。
由同一构件上两点B、E可得
图3-2-37（c1）
图3-2-37（c2）
取p作为速度图的极点，选择合适的比例μv，作速度图如图3-2-37（c1）所示，构件4上E4、F运动关系为
则活塞5的速度
其方向平行于FI。
（2）加速度分析
由速度多边形可知
由构件2上两点B、E2运动关系可得
其中，
aBn＝ω12lAB＝875mm/s2，aBt＝α1lAB＝175mm/s2，aEBn＝ω22lBE＝78.65mm/s2。
由构件4上两点E、F得
取点p′为加速度图的极点，选择合适的比例μa，作加速度图如图3-2-37（c2）所示。
可得
则活塞5的加速度a5＝aF＝176mm/s2（其方向平行于FI）。
3-24 图3-2-38所示为一可倾斜的升降台机构，此升降机有两个液压缸1、4，设已知机构的尺寸为：lBC＝lCD＝lCG＝lFH＝lEF＝750mm，lDE＝2000mm，lEI＝500mm。若两活塞杆的相对移动速度分别为v21＝0.05m/s＝常数和v54＝0.03m/s＝常数。试求当两活塞杆的相对位移分别为s21＝350mm、s54＝260mm时（以升降台位于水平且DE与CF重合时为起始位置），工件重心S处的速度及加速度和工件的角速度及角加速度。
图3-2-38
解：选取适当比例μl绘制机构简图，如图3-2-39（a）所示。
（1）速度分析
由构件1、2重合点B1、B2关系可得
取p作为速度图的极点，选择合适的比例μv，作速度图如图3-2-39（b）所示。
可得
则ω3＝vB3/lBC＝53.8/750rad/s＝0.07rad/s，方向为逆时针。
由构件4、5的重合点H4、H5关系可知
由构件4上两点G、H4关系可知
联立以上两式得
由速度图3-2-39（b）得
则ω6＝vH6/lFH＝24.2/750rad/s＝0.032rad/s，方向为逆时针。
由构件7上两点E、I间关系和构件8上两点D、I间关系可得
由速度图3-2-39（b）得
则ω8＝vID/lID＝31.8/200rad/s＝0.16rad/s，方向为逆时针。
构件8上D、S两点间运动关系为
由速度图3-2-39（b）得s处得速度
图3-2-39（a）
图3-2-39（b）
图3-2-39（c）
（2）加速度分析
aD＝aDn＝ω32lCD＝0.072×750mm/s2＝3.68mm/s2
aE＝aEn＝ω62lEF＝0.0322×750mm/s2＝0.768mm/s2
根据I、D和I、E之间的关系可得
取点p′为加速度图的极点，选择合适的比例μa，作加速度图如图3-2-39（c）所示。
可得
则有α8＝aIDt/lID＝3/200rad/s2＝0.015rad/s2。
由D、S上两点关系可得
由速度图3-2-39（c）得s处的加速度
3-25 图3-2-40所示机构中，已知原动件1以等角速度ω1＝10rad/s逆时针方向转动，lAB＝100mm，lBC＝300mm，e＝30mm。当φ1＝60°、120°、220°时，试用复数矢量法求构件2的转角θ2、角速度ω2和角加速α2，构件3的速度v3和加速度a3。
图3-2-40
解：建立坐标系，各杆矢量和方位角如图3-2-41所示。
图3-2-41
（1）位置分析，求θ2和l4。
由封闭图形ABCDA可得
l(→)1＋l(→)2＝l(→)4＋e(→)①
代入点积式，将实部和虚部分离有
l1cosθ1＋l2cosθ2＝l4
l1sinθ1－l2sinθ2＝e
解得
l4＝[l22－（e－l1sinθ1）2]1/2＋l1cosθ1
θ1＝arctan[（e－l1cosθ1）/（l4－l1cosθ1）]
因此有
当θ1＝φ1＝60°时，l4＝344.6mm，θ2＝－3.9°，在第四象限；
当θ1＝φ1＝120°时，l4＝244.6mm，θ2＝15.2°，在第一象限；
当θ1＝φ1＝220°时，l4＝208.2mm，θ2＝20.5°，在第一象限。
（2）速度分析
将式①对时间求导得
θ(•)1l1e1t＋θ(•)2l2e2t＝l(•)4i②
代入点积式可得
－θ(•)1l1sin（θ1－θ2）＝l(•)4cosθ2，θ(•)1l1sinθ1＋θ(•)2l2sinθ2＝0
联立以上二式，解得l(•)4＝v3＝－[ω1l1sin（θ1－θ2）]/cosθ2，
于是有
当θ1＝60°，θ2＝－3.9°时，v3＝－900.1mm/s，ω2＝1.69rad/s（顺时针）；
当θ1＝120°，θ2＝15.2°时，v3＝－1001.9mm/s，ω2＝1.73rad/s（逆时针）；
当θ1＝220°，θ2＝20.5°时，v3＝356.4mm/s，ω2＝2.73rad/s（逆时针）。
（3）加速度分析
将式②对时间求导θ(••)1l1e1t＋θ(•)12l1e1n＋θ(••)2l2e2t＋θ(•)22l2e2n＝l(••)4i。
代入点积式，解得
θ(••)2＝α2＝－（ω12l1sinθ1＋ω22l2sinθ2）/（l2cosθ2）
l(••)4＝α3＝[－ω12l1cos（θ1－θ2）＋ω22l2]/（cosθ2）
于是有
①当θ1＝60°，θ2＝－3.9°，ω2＝－1.67rad/s时，a3＝－5.25mm/s2，α2＝28.74rad/s2，方向为逆时针方向；
②当θ1＝120°，θ2＝15.2°，ω2＝1.73rad/s时，a3＝1.72mm/s2，α2＝30.73rad/s2，方向为逆时针方向；
③当θ1＝220°，θ2＝20.5°，ω2＝2.73rad/s时，a3＝7.86mm/s2，α2＝20.09rad/s2，方向为逆时针方向。
3-26 图3-2-42所示摆动导杆机构中，已知曲柄AB以等角速度ω1＝10rad/s转动，lAB＝100mm，lAC＝200mm，lCK＝40mm。当φ1＝30°、120°时，试用复数矢量法求构件3的角速度ω3和角加速度α3。
图3-2-42
解：建立坐标系，各杆矢量和方位角如图3-2-43所示。
图3-2-43
由机构的结构可得θK＝θ3＋270°，故未知量为θ3和l3。
（1）位置分析
ABKC为封闭图形，所以有矢量方程：l4＝lK＋l3＋l1，即
①
应用欧拉公式将式①实部和虚部分离，可得
lKcosθK＋l3cosθ3＋l1cosθ1＝0
l1sinθ1＋lKsinθK＋l3sinθ3＝l4
联立以上两式，并带入θK＝θ3＋270°，整理后得Asinθ3＋Bcosθ3＋C＝0。
其中，A＝l1cosθ1；B＝－l1sinθ1＋lSK；C＝lK。
解得
（舍去另一根）。
所以
①当θ1＝180°－φ1＝180°－30°＝150°时，θK＝343.4°，θ3＝73.4°，l3＝169.0mm；
②当θ1＝180°－φ1＝180°－120°＝60°时，θK＝42.6°，θ3＝132.6°，l3＝117.4mm。
（2）速度分析
将式①对时间求导得
②
其中，ωK＝ω3。
将实部和虚部分开得
lKω3cosθK＋vBsinθ3＋l3ω3cosθ3＋l1ω1cosθ1＝0
－lKω3sinθK＋vBcosθ3－l3ω3sinθ3－l1ω1sinθ1＝0
联立以上两式得
vB＝（lKω3sinθK＋l3ω3sinθ3＋l1ω1sinθ1）/cosθ3
ω3＝－l1ω1cos（θ1－θ3）/l3
所以
①当θ1＝150°，θK＝343.4°，θ3＝73.4°，l3＝169.0mm时，vB＝1.03m/s，ω3＝－1.37rad/s（顺时针方向）；
②当θ1＝60°，θK＝42.6°，θ3＝132.6°，l3＝117.4mm时，vB＝－0.85m/s，ω3＝－2.55rad/s（顺时针方向）。
（3）加速度分析
将式②对时间求导得
其中，αK＝α3，ωK＝ω3。
将实部与虚部分开，可得
0＝（lKcosθK＋l3cosθ3）α3＋aBsinθ3＋2vBω3cosθ3－l1ω12sinθ1－lKωK2sinθK－l3ω32sinθ3
0＝（lKsinθK＋l3sinθ3）α3＋aBcosθ3＋2vBω3sinθ3＋l1ω12cosθ1＋lKωK2cosθK＋l3ω32cosθ3
联立以上两式可得α3＝[l1ω12sin（θ1－θ3）－lKω32－2vBω3]/l3。
所以
①当θ1＝150°，θ3＝73.4°，ω3＝－1.37rad/s，vB＝1.03m/s，l3＝169.0m/s时，α3＝73.82rad/s2（逆时针方向）；
②当θ1＝60°，θ3＝132.6°，ω3＝－2.55rad/s，vB＝－0.85m/s，l3＝117.4mm时，α3＝－120.42rad/s2（顺时针方向）。
3-27 在用解析法进行运动分析时，如何判断各杆的方位角所在的象限？如何确定速度、加速度、角速度和角加速度的方向？
解：在用解析法作运动分析时，根据方位角正弦值分子及分母的正负情况来判断各杆的方位角所在象限。
首先设定杆矢的正向，将杆矢量对时间求导得到速度，若值为正，表示速度方向与杆矢正向相同，否则相反；首先设定速度的正向，将速度对时间求导得到加速度，若值为正，表示加速度方向与速度正向相同，否则相反；首先设定方位角的正向，一般为逆时针方向，将方位角对时间求导得到角速度，若值为正，表示角速度方向与方位角正向相同，否则相反；首先设定角速度的正向，将角速度对时间求导得到角加速度，若值为正，表示角加速度方向与角速度正向相同，否则相反。
3-28 试用矩阵法对题3-15所示机构进行运动分析，写出C点的位置、速度及加速度方程。
解：建立坐标系，各杆矢量和方位角如图3-2-44所示。
图3-2-44
可得C点位置方程
对位置方程求导可得到C点的速度方程
将上式写成矩阵形式
对上式求导即可得到C点的加速度方程
3-29 利用矩阵法对机构进行运动分析，在写位置方程、速度方程和加速度方程时应注意哪些问题，才能有利于分析工作的进行和保证计算结果的正确性。
解：为了保证分析工作的进行和计算结果的正确性，应注意以下方面的问题：
（1）合理建立直角坐标系，使机构的位置方程尽量简单；
（2）各杆矢量的方向可自由确定，但各杆矢量的方位角θ均应由x轴开始，并以逆时针方向计量为正；
（3）正确区分已知参数，未知参数；
（4）保证求导过程的正确运算。