4.3　名校考研真题详解

一、选择题

1如图4-63所示，轴AB作匀速转动，等截面斜杆固定于轴AB上，沿斜杆轴线弯矩图可能为（　　）。[中国矿业大学2009研]

A．一次直线

B．二次曲线

C．三次曲线

D．四次曲线

图4-63

【答案】C

【解析】设斜杆以角速度ω匀速转动，斜杆的长度为l，横截面面积为A，容重为γ，于是可得距离固定端x的截面处离心力的集度为：q（x）＝（γA/g）ω2x

根据弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系：d2M（x）/dx2＝dF_S（x）/dx＝q（x）

可知弯矩图应该为关于x的三次曲线。

2图4-64所示外伸梁横截面为矩形，且宽为高的三倍（b＝3h），此时许用荷载[q]＝q₀。若将该梁截面立放（使高为宽的三倍），则许用荷载变为（　　）。[北京航空航天大学2005研]

图4-64

A．[q]＝3q₀

B．[q]＝9q₀

C．[q]＝q₀/3

D．[q]＝q₀/9

【答案】A

【解析】假设在x截面处的弯矩最大，根据正应力计算公式可得：

平放时的最大正应力：σ＝M/W_z＝6M/（bh2）＝6M/（3h3），许可弯矩：[M₁]＝h3σ/2

立放时的最大正应力：σ＝M/W_z＝6M/（b2h）＝6M/（9h3），许可弯矩：[M₂]＝3h3σ/2

又[q]∝[M]，可知[q]＝3q₀

3图4-65所示，矩形截面简支梁承受集中力偶M_e，当集中力偶M_e在CB段任意移动，AC段各个横截面上的（　　）。[西北工业大学2005研]

图4-65

A．最大正应力变化，最大切应力不变

B．最大正应力和最大切应力都变化

C．最大正应力不变，最大切应力变化

D．最大正应力和最大切应力都不变

【答案】A

【解析】设AB梁长为l，M_e距B支座为x，作弯矩图如图4-66（b）所示。

在M_e作用下，弯矩突变值为（M_e/l）x＋（M_e/l）（l－x）＝M_e，整个梁上剪力大小相同，如图4-66（a）所示，故最大切应力不变[τ_max＝F_S·F*_zmax/（I_zb）]。当x发生变化时，最大弯矩值也发生变化，由σ_max＝M_max/W知，最大正应力也将发生变化。

图4-66

4外径为D，内径为d的空心梁，其抗弯截面系数是（　　）。[华南理工大学2016研]

A．π（D4－d4）/64

B．πD3（1－d4/D4）/32

C．π（D3－d3）/32

D．π（D3＋d3）/64

【答案】B

二、计算题

1外伸梁受均布载荷，如图4-67所示，已知l＝12m，W_z＝3.25×105mm3，试求当跨中及支座上的最大正应力均为σ＝140MPa时，悬臂长度a及载荷集度q的值。[山东大学2017研]

图4-67

解：根据题意分析外伸梁的弯矩可得跨中的弯矩为ql2/8－qa2/2，支座处的弯矩为qa2/2，因为跨中和支座处的最大正应力相等，所以两处的弯矩相等，即

ql2/8－qa2/2＝qa2/2

又有qa2/2＝σW_z＝140MPa×3.25×105mm3＝45.5kN·m，所以可得q＝5.06kN/m。

2作图4-68所示梁的剪力图和弯矩图。[山东大学2017研]

图4-68

解：根据平衡条件

ΣF_y＝0，R_A＋R_B－qa－qa＝0

ΣM_A＝0，qa×a－R_B×2a＋qa×5a/2＝0

可得R_A＝qa/4，R_B＝7qa/4

所以剪力图和弯矩图如图4-69（a）、（b）所示。

图4-69（a）剪力图

图4-69（b）弯矩图

3如图4-70所示AB梁尺寸（160mm×300mm）及承受载荷情况。试求梁承受的最大应力。[华南理工大学2016研]

图4-70

解：如图4-71所示沿梁的轴向与垂直于梁方向的两个分量分别为

F₁＝25·sin30°＝12.5kN

图4-71　受力分析图

AC段的长度为

对结构受力分析，有F_Ay＋F_B－F₂＝0，F_Ax－F₁＝0

对A点取矩，有F_Bl_AB－F₂l_AC＝0

得到F_Ax＝F₁＝12.5kN

AB梁最大应力在AC段上表面，AC段既受压又受弯，压应力为

σ_c＝F_Ax/A＝－12.5×103/（160×300×10－6）＝－2.6×105（Pa）

弯曲应力为

可得σ_max＝|σ_c＋σ|＝8.07×106Pa＝8.07MPa

4一⊥形截面的外伸梁如图4-72所示。已知：l＝600mm，a＝110mm，b＝30mm，c＝80mm，F₁＝24kN，F₂＝9kN，材料的许用拉应力[σ_t]＝30MPa，许用压应力[σ_c]＝90Mpa。

（1）若C为⊥形截面形心，试求y₁与y₂的值；

（2）不计弯曲切应力的影响，试校核该梁的强度。[北京科技大学2012研]

图4-72

解：（1）建立如图4-73所示坐标系。

图4-73

`z＝0

`y＝（110×30×15＋30×80×70）/（110×30＋30×80）mm＝38.16mm

所以y₁与y₂值分别为

y₂＝38.16mm

y₁＝（110－38.16）mm＝71.84mm

I_zc＝（1/12）×110×303＋110×30×（38.16－15）2＋（1/12）×30×803＋30×80×（70－38.16）2mm4＝573cm4

（2）作梁ABD弯矩图，如图4-74所示

图4-74

在截面E处，有

σ_t＝My₂/I_zc＝2700×38.16×10－3/（573×10－8）Pa＝17.98MPa＜[σ_t]

σ_c＝My₁/I_zc＝2700×71.84×10－3/（573×10－8）Pa＝33.85MPa＜[σ_c]

在截面B处，有

σ_t＝My₁/I_zc＝1800×71.84×10－3/（573×10－8）Pa＝22.57MPa＜[σ_t]

σ_c＝My₂/I_zc＝1800×38.16×10－3/（573×10－8）Pa＝11.99MPa＜[σ_c]

综上述，梁的强度满足要求。

5试绘制图4-75所示梁的剪力图和弯矩图。[武汉理工大学2010研]

图4-75

解：（1）根据平衡方程求得支反力：F_A＝qa/2（↑），F_D＝qa/2（↓），

（2）剪力图和弯矩图分别如图4-76（a）、（b）所示。

图4-76（a）剪力图

图4-76（b）弯矩图

6已知简支梁弯矩方程和弯矩图如图4-77所示。其中：

试：

（1）画出梁上的载荷；

（2）作梁的剪力图。[西安交通大学2005研]

图4-77

解：根据弯矩、剪力和载荷集度的微分关系，分别对M（x）求一阶、二阶导数，可得到梁的剪力方程和荷载集度：

（1）作载荷图

根据弯矩图可知，在x＝0截面上有一正弯矩ql2/2

根据剪力方程可知：x＝0，F_s＝3ql/8；l/2＜x≤l，F_s＝－9ql/8；在x＝l/2截面左侧，剪力等于－ql/8，右侧截面剪力等于－9ql/8，由此可判断在x＝l/2截面上有向下集中力ql的作用。

由弯矩方程的二阶导数可知：0≤x≤l/2，q（x）＝－q

综上，绘制荷载图，如图4-78（a）所示。

图4-78（a）

（2）作梁的剪力图

根据以上所得梁荷载图绘制剪力F_s图，如图4-78（b）所示。

图4-78（b）