第4章　矩阵

一、判断题

1．设A，B均为n阶方阵，若AB＝0，则A＝0或B＝0．（　　）[上海机械学院研]

【答案】对

【解析】比如，，则AB＝0，但A≠0且B≠0．

2．设A，B均为n阶方阵，（A＋B）2＝A2＋2AB＋B2．（　　）[上海机械学院研]

【答案】错

【解析】比如，，则

3．设A，B均为n阶方阵，（AB）′＝A′B′．（　　）[上海机械学院研]

【答案】错

【解析】一般应为（AB）′＝B′A′．

4．设A，B均为n阶方阵，（AB）－1＝B－1A－1（当｜A｜≠0，｜B｜≠0时）（　　）[上海机械学院研]

【答案】对

【解析】（AB）（B－1A－1）＝E．

5．设A，B均为n阶方阵，｜kA｜＝k｜A｜，（k为常数）．（　　）[上海机械学院研]

【答案】错

【解析】比如A＝E₂，k＝2，则｜kA｜＝8，k｜A｜＝2⇒｜kA｜≠kn｜A｜，一般应为｜kA｜＝kn｜A｜，其中A为n阶方阵．

二、计算题

设A为数域F上的m×n矩阵，其秩为r，试求满足下式的所有矩阵X（给出公式）：AXA＝A．[清华大学研]

解：因为r（A）＝r，所以存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使

首先，如AXA＝A，即

则有

　①

令，这里B为r阶方阵．

则式①等价于

则B＝E_r．

所以

　②

其次，由式②，直接验证可知

所以，满足AXA＝A的所有解为

三、证明题

1．设A为n阶方阵，证明：（A*）*＝∣A∣n－2A，n＞2．[浙江大学研]

证明：当∣A∣≠0时，有∣A*∣＝∣A∣n－1≠0，而A*（A*）*＝∣A*∣E，所以

当丨A丨＝0时，有r（A）≤n－1：

①r（A）＜n－1时，A*＝0，从而（A*）*＝0，显然有（A*）*＝∣A∣n－2A；

②r（A）＝n－1时，有r（A*）＝1，结合n＞2时知（A*）*＝0，故仍有（A*）*＝∣A∣n－2A

2．设A为非零矩阵，但不必为方阵，证明AX＝E有解当且仅当CA＝0必有C＝0，其中E为单位矩阵．[上海交通大学研]

证明：设A为m×n矩阵，则如果AX＝E有解B_n×m，即AB＝E_m，有m≥r（A）≥r（E_m）＝m，所以r（A）＝m．

又CA＝0，所以有r（A）＋r（C）≤m，从而可得r（C）＝0，即C＝0．

如果r（A_n×m）＜m，则线性方程组A′X_m×1有非零解，任取一个非零解X₁，令C′＝（X₁，0，…，0）_m×1，则有C≠0，且A′C′＝0，即CA＝0，矛盾，所以r（A_n×m）＝m．

由此可知A存在可逆矩阵，即AX＝E有解．

3．设A、B都是n阶方阵，E为n阶单位矩阵．证明：ABA＝B－1的充要条件是r（E＋AB）＋r（E－AB）＝n．[厦门大学研]

证明：由ABA＝B－1得（AB）2＝E，所以有：

E－（AB）2＝（E＋AB）（E－AB）＝0

故r（E－AB）＋r（E＋AB）≤n（1）

又n＝r（2E）＝r[（E－AB）＋（E＋AB）]≤r（E－AB）＋r（E＋AB）（2）

结合式（1）、式（2）可得：

r（E－AB）＋r（E＋AB）＝n

如果r（E－AB）＋r（E＋AB）＝n，则有

又由

知

所以

因此有（AB）2＝E即ABA＝B－1．

4．求证：A＋UV′＝∣A∣＋V′A·U其中A为n阶矩阵，U，V为n维列向量．[浙江大学研]

证明：设A＝（a_ij）_m×n，U＝（u₁，…，u_n）′，V＝（V₁，…，V_n）′则

　①

这时，将①式右端拆成2m个n阶行列式之和，但其中有许多行列式等于0（比如有两列都取u_iV_i时），因此

5．设A＝（a_ij）为n×n实矩阵，已知a_ij＞0（i＝1，2，…，n），a_ij＜0（i≠j，i，j＝1，2，…，n）

且

　①

证明秩A＝n－1．[北京大学研]

证明：把所有各列都加到第一列上去，并注意到①式，那么∣A∣＝0，秩A≤n－1．

其次，考虑a₁₁的代数余子式

　②

因为，所以

故在行列式②中满足：

∣a_ij∣＞∣a_i2∣＋∣a_i3∣＋∣a_i，i＋1∣＋…＋∣a_in∣（i＝1，2，…，n）

即主对角严格占优，所以A₁₁≠0即秩A≥n－1，从而秩A＝n－1．

6．设A₁，A₂，…A_k是k个实对称方阵，1≤k≤n，而且A₁＋A₂＋…＋A_k＝E，证明下述二条件等价：

（1）A₁，A₂，…A_k都是幂等方阵；

（2）秩A₁＋秩A₂＋…＋秩A_k＝n．[中国科技大学研]

证明：先证（1）⇒（2）；

因为A_i2＝A_i⇒秩A_i＝trA_i（i＝1，2，…，k），所以

再证（2）⇒（1）．

设秩A_i＝r_i（i＝1，2，…，k），再令：

B＝A₁＋…＋A_i－1＋A_i＋1＋…＋A_k

由于A_i是实对称阵，所以存在正交阵T，使

　①

但

　②

其中B₁＝T′BT，再用T′左乘，T右乘②式两边，得

　③

所以秩B＝秩B₁≥n－r．

另一方面秩B＝秩（A₁＋…＋A_i－1＋A_i＋1…＋A_k）≤秩A₁＋…＋秩A_i－1＋秩A_i＋1…＋秩A_i＝n－r，从而秩B＝秩B₁＝n－r_i．

由③式得

将它们代入①式得

由i的任意性，即证A₁都是幂等阵．

7．设A是s×n实矩阵，求证：秩（E_n－A′A）－秩（E_s－AA′）＝n－s[复旦大学研]

证明：因为

所以

　①

又因为

所以

　②

由②＝①可解得：秩（E_s－A′A）－秩（E_s－AA′）＝n－s

8．设A是秩为r的n阶方阵．证明：A2＝A的充要条件是存在秩为r的r×n矩阵B和秩为r的n×r矩阵C，使得A＝CB，而且BC＝E．[浙江大学研]

证明：先证充分性．设A＝CB，其中C，B分别为n×r和r×n矩阵，且BC＝E_r．则

A2＝（CB）（CB）＝C（BC）B＝CB＝A

再证必要性．因为A2＝A．所以A可对角化，且其特征值只能是0和1．于是存在可逆阵T，使

其中

那么C是n×r矩阵，B是r×n矩阵，秩C＝秩B＝r，且