第2章 连续时间系统的时域分析
2.1 复习笔记
一、微分方程的建立
微分方程是描述和分析连续时间系统的有力工具。对给定的具体系统进行电路分析，按照元件的约束条件可建立相应的微分方程。LTI系统一般可用高阶的微分方程表示
二、系统响应的求解
1．微分方程的时域经典法求解
完全解由两部分组成，即齐次解和特解。其中，齐次解表示系统的自由响应，是由系统自身特性决定；特解称为系统的强迫响应，只与外加激励函数的形式有关。
整个系统的完全响应是由系统自身特性决定的自由响应和只与外加激励信号有关的强迫响应两部分组成。
2．零输入响应与零状态响应
零输入响应为没有外加激励信号的作用，只由起始状态（0－状态）所产生的响应；
零状态响应为不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统的外加激励信号所产生的响应。
注：（1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解，但是系数完全不同，零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依从于起始状态和激励信号。
（2）自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决定，二者都与系统的自身参数有关；当系统0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应可以不为零。
（3）零输入响应在由0－时刻到0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变可能出现在零状态响应分量之中。
3．瞬态响应和稳态响应
当t→∞时，系统响应中趋于0的分量称为瞬态响应；而当t→∞时，系统响应中保留下来的分量称为稳态响应。
综上，系统的完全响应由自由响应和强迫响应两部分组成，还可分解为零输入响应和零状态响应，第三种分解方式是瞬态响应和稳态响应。
三、冲激响应和阶跃响应及其性质
单位冲激响应h（t）是系统在单位冲激信号δ（t）的激励下所产生的零状态响应；而单位阶跃响应g（t）是系统在单位阶跃信号u（t）的激励下所产生的零状态响应。
其性质（线性时不变）主要包括以下几点：
（1）h（t）和g（t）之间存在微积分关系：
（2）对于因果系统，当t＜0时，h（t）＝0或g（t）＝0；
（3）对于稳定系统，有
（4）对于无记忆系统，有h（t）＝Kδ（t）；
（5）对于可逆系统，即h（t）是可逆系统，h1（t）是h（t）的逆系统，有h（t）*h1（t）＝δ（t）。
四、卷积及其性质
1．卷积的定义
2．卷积的性质
（1）交换律、结合律和分配律：
f1（t）*f2（t）＝f2（t）*f1（t）、[f1（t）*f2（t）]*f3（t）＝f1（t）*[f2（t）*f3（t）]、f1（t）*[f2（t）＋f3（t）]＝f1（t）*f2（t）＋f1（t）*f3（t）。
（2）卷积的微分和积分
（3）与冲激函数、阶跃函数的卷积：
f（t）*δ（t）＝f（t）、f（t）*δ′（t）＝f′（t）、f（t）*δ（k）（t）＝f（k）（t）、f（t）*δ（t－t0）＝f（t－t0）、
。
（4）卷积的多阶导数或多重积分运算规律
设s（t）＝f1（t）*f2（t），则有s（i）（t）＝f1（j）（t）*f2（i－j）（t）。其中，i、j取正整数时为导数的阶次，i、j取负整数时为积分的重数。
五、利用卷积分析通信系统多径失真的消除办法
在无线通信系统中，当接收机从正常途径收到发射信号时，可能还有其他寄生的传输路径，例如从发射机经某些建筑物反射到达接收端，产生所谓“回波”现象。回波系统的冲激响应表达式为h（t）＝δ（t）＋aδ（t－T），或对多个回声有
为了从含有干扰信号的回波系统中取出正常信号，需要设计一个“逆系统”进行补偿，逆系统的冲激响应以hi（t）表示，则e（t）＝r（t）*hi（t）＝e（t）*[h（t）* hi（t）]，经推导可
可根据具体环境要求，将k值取若干有限项即可满足消除回声的要求。