第1章　绪　论

1.1　复习笔记

一、信号

信号是消息的表现形式和载体，消息是信号的具体内容。

信号从不同角度可以分为4类：（1）确定性信号与随机信号；（2）周期信号和非周期信号；（3）连续时间信号与离散时间信号；（4）一维信号与多维信号。

1．典型的连续信号

（1）指数信号：f（t）＝Keat，a∈R

（2）正弦信号：f（t）＝Ksin（ωt＋θ）

（3）复指数信号：f（t）＝Kest＝Ke（σ＋jω）t

（4）抽样信号：Sa（t）＝sint/t

（5）钟形信号（高斯函数）：

2．信号的运算

（1）时移

f（t）→f（t＋t₀），若t₀＞0，则f（t）的波形沿时间轴向左移动；反之，则向右移动。

（2）反褶

f（t）→f（－t），把f（t）的波形以t＝0为轴反褶过来。

（3）尺度变换

f（t）→f（at）（a为正实系数），若a＞1，则f（t）的波形沿时间轴被压缩；反之，则被扩展。

3．阶跃函数和冲激函数

（1）单位阶跃信号u（t）

在跳变点t＝0处，函数值未定义，或在t＝0处规定函数值u（0）＝1/2。

（2）单位冲激信号δ（t）

冲激函数的性质：

①抽样性：

②奇偶性：δ（－t）＝δ（t）

③尺度运算：δ（at）＝δ（t）/|a|

④微积分性质：

⑤冲激偶：

f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）－f′（0）δ（t）

⑥卷积性质：

f（t）*δ（t）＝f（t），f（t－t₁）*δ（t）＝f（t－t₁），f（t）*δ（t－t₂）＝f（t－t₂），f（t－t₁）*δ（t－t₂）＝f（t－t₁－t₂）。

4．信号的分解

（1）直流分量＋交流分量：f（t）＝f_D＋f_A（t）

（2）偶分量＋奇分量：f（t）＝[f（t）＋f（－t）]/2＋[f（t）－f（－t）]/2

其中，偶分量f_e（t）＝[f（t）＋f（－t）]/2；奇分量f_o（t）＝[f（t）－f（－t）]/2。

（3）脉冲分量的叠加

冲激信号的叠加：

阶跃信号的叠加：

（4）实部分量＋虚部分量

瞬时值为复数的信号f（t）可分解为：f（t）＝f_τ（t）＋jf_i（t）。

（5）正交函数分量的叠加：如傅里叶级数。

二、系统

系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

根据数学模型的差异来划分，系统可分为：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统；集总参数系统与分布参数系统；可逆系统与不可逆系统；即时系统与动态系统。

线性时不变系统的基本特性如下：

（1）线性

线性指叠加性和齐次性，即若f₁（t）→y₁（t），f₂（t）→y₂（t），则a₁f₁（t）＋a₂f₂（t）→a₁y₁（t）＋a₂y₂（t），其中，a₁、a₂为常数。

（2）时不变性

若f（t）→y（t），则f（t－t₀）→y（t－t₀）。

（3）因果性

因果系统在t₀时刻的响应只与t＝t₀和t＜t₀时刻的输入有关，否则为非因果系统。

（4）稳定性

若输入f（t）有界，则输出y（t）也有界，即BIBO。