5.2　课后习题详解

1．口渴的Ed仅喝纯净矿泉水，他有两种容器装的水可以选择，0.75升或2升。因为水本身都是完全相同的，他对于这两种商品是完全替代的。

（1）假定Ed的效用只取决于其消费水的数量，而容器本身没有价值，请用0.75升装水的数量（x）和2升装水的数量（y）来表达他的效用。

（2）写出用p_x、p_y、I表达的x的需求函数。

（3）画出p_y和I不变时，x的需求曲线。

（4）当p_y、I变化时，x的需求曲线如何移动？

（5）x的补偿性需求曲线是什么样子的？

解：（1）Ed的效用函数可以表示为：U＝0.75x＋2y。

（2）由Ed的效用函数可知，他的偏好为完全替代型偏好，所以为了实现效用最大化，他将购买相对便宜的那种商品，由于无差异曲线斜率为3/8，预算约束线斜率为p_x/p_y，即：

当p_x/p_y＜3/8时，即p_x＜3p_y/8时，x＝I/p_x，y＝0；

当p_x/p_y＞3/8时，即p_x＞3p_y/8时，x＝0，y＝I/p_y。

（3）x的需求曲线如图5-9所示。

图5-9　x的需求曲线

（4）收入I的提高将使x的需求曲线向右上方移动。商品y的价格降低将不会影响x的需求，直到p_y＝8p_x/3时为止。当p_y＜8p_x/3时，商品x的需求减至0。

（5）x的收入补偿需求曲线是表征当前消费的惟一点（x，p_x）。当p_x＜3p_y/8时，x的补偿需求曲线是一条垂直线。若只消费x，则不论x的价格是多少，都有x＝U/0.75。

2．大卫每周有3美元可供自由支配。他只喜欢花生酱和果冻三明治，因此他将所有货币都花费在花生酱（每盎司0.05美元）与果冻（每盎司0.10美元）上。面包则由一位热心的邻居免费提供。大卫偏好自己的吃法，严格按1盎司果冻2盎司花生酱的比例配置三明治，从不改变配方。

（1）大卫每周中用3美元购买花生酱与果冻各多少？

（2）如果果冻价格上升至每盎司0.15美元，他购买花生酱与果冻各多少？

（3）果冻价格上涨如b，大卫的可支配收入应该增加多少才能补偿价格上涨？

（4）画出（1）到（3）结论的图形。

（5）在何种意义下，这个问题仅包括花生酱或果冻三明治一种商品？画出这种单一商品的需求曲线。

（6）根据对果冻需求的替代效应与收入效应来讨论这一问题的结论。

解：（1）由题可知，大卫的偏好是互补型的偏好。假设花生酱的消费量为x，果冻的消费量为y，则大卫的效用函数可以表示为：U＝min｛x，2y｝。因此，效用最大化条件为：x＝2y；此外，预算约束为：0.05x＋0.1y＝3。因而可以解得：x＝30，y＝15。

（2）如果果冻的价格增至每盎司0.15美元，则大卫的预算约束变为：0.05x＋0.15y＝3；结合效用最大化条件，可知：x＝24，y＝12。

（3）为了在价格上涨后继续消费x＝30，y＝15，大卫需要多购买6盎司的花生酱和3盎司的果冻，这要求收入增加：6×0.05＋3×0.15＝0.75美元。

（4）（1）到（3）的结论如图5-10所示。

图5-10　互补型偏好下价格变化的影响

（5）因为大卫仅按固定的比例使用花生酱和果冻，由于面包是免费的，所以，可以将此问题视为他以价格p_s＝2p_x＋p_y来购买三明治。

在（1）问中，p_s＝0.20，花生酱－果冻三明治的数量为：q_s＝15；

在（2）问中，p_s＝0.25，花生酱－果冻三明治的数量为：q_s＝12。

一般而言，花生酱－果冻三明治这种单一商品的需求曲线为：q_s＝3/p_s，是一条双曲线。

（6）对于固定比例的效用函数而言，不存在替代效应，价格的变化仅导致收入效应。

3．正如第3章所定义的，如果任意一条从原点出发的直线通过所有的无差异曲线斜率相等的点，即MRS取决于y/x的点，那么这一效用函数是位似的。

（1）证明在这种效用函数下∂x/∂I是常数。

（2）证明如果一个消费者的偏好可用位似的无差异曲线表示，那么价格与他的需求数量按相反方向变化，即不会产生吉芬之谜。

解：（1）随着收入的增加，p_x/p_y的比值保持不变，效用最大化条件要求MRS＝p_x/p_y也保持不变。而MRS取决于y/x，从而y/x也保持不变。又因为收入仅用于购买x和y，所以x和y都与收入成比例，即有∂x/∂I是常数。

（2）由（1）问可知∂x/∂I＞0，∂y/∂I＞0，这说明x，y两种商品都是正常物品，而吉芬品为劣等品，所以吉芬之谜不成立。

4．如例5.1，假设效用由下式给出：效用＝U（x，y）＝x0.3y0.7

（1）用例5.1中给出的非补偿需求函数计算本例的间接效用函数与支出函数。

（2）用（1）中计算出的支出函数与谢泼德引理计算x的补偿性需求函数。

（3）用（2）中得出的结论与x商品的非补偿性需求函数证明本题符合斯拉茨基方程式。

解：（1）由例5.1以及柯布－道格拉斯效用函数的性质可得：x＝0.3I/p_x，y＝0.7I/p_y

从而可得间接效用函数为：

其中，B＝0.30.3×0.70.7。

根据对偶性质知，支出函数为：

（2）利用谢泼德引理可知，x的补偿性需求函数：

（3）因为：

所以可得：

故本题符合斯拉茨基方程式。

5．假设x与y商品的效用函数由下式给出：效用＝U（x，y）＝xy＋y

（1）计算x与y的非补偿（马歇尔）需求函数，并描述收入或其他商品的价格变化怎样使x与y的需求曲线发生变化。

（2）计算x与y的支出函数。

（3）用（2）中计算出的支出函数计算x与y商品的补偿性需求函数。描述当收入或其他商品价格发生变化时，x与y的补偿性需求函数怎样发生变化。

解：（1）效用最大化问题为：

Max U（x，y）＝xy＋y

s.t. p_xx＋p_yy＝I

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得马歇尔需求函数为：

因此，p_y的变化不影响x，而p_x的变化影响y。收入I的增加将使x与y的需求都增加，从而需求曲线向右上方移动。

（2）由（1）问可得间接效用函数：

从而可以解得支出函数为：

（3）补偿性需求函数为：

x的补偿性需求依赖于p_y，而非补偿性需求不依赖于p_y。收入的变化对补偿需求没有影响。

6．消费者在三年中的消费行为如下：

这一消费行为是否符合显示偏好强公理？

答：该行为违背了显示偏好强公理。其理由如下：

第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束，因为在第二年的价格下，第一年和第二年的消费束的总支出是相同的。

第二年的消费束也显示偏好于第三年的消费束，因为在第二年的价格下，第三年的消费束的支出小于第二年的消费束的支出，而第三年的消费束却没有被选择。

但是在第三年的价格下，第二年的消费束的支出小于第三年的消费束的支出，而第二年的消费束却没有被选择，因而这违背了显示偏好强公理。

7．假定一个人认为火腿和奶酪是完全互补品，他将总是消费一片火腿和一片奶酪来做火腿奶酪三明治。假设他只购买火腿和奶酪，而面包是免费的。证明：

（1）如果火腿和奶酪的价格相等，火腿需求的自身价格弹性是－0.5，火腿对奶酪的交叉价格弹性也是－0.5。

（2）解释为什么（1）中的结果只反映了收入效应，而没有反映替代效应。计算这里的补偿性价格弹性？

（3）用（2）中的结论说明如果一片火腿的价格是一片奶酪价格的两倍，（1）的结论将如何改变？

（4）假定此人只消费一种商品——火腿奶酪三明治，通过直觉来解释这个问题。

解：（1）火腿的消费量用h表示，奶酪的消费量用c表示，因为火腿和奶酪是按照固定比例消费的，所以效用函数为：min{h，c}，因而火腿的需求为：h＝I/（p_h＋p_c）

其中，I为收入，p_h，p_c分别为火腿和奶酪的价格。

火腿需求的自身价格弹性为：

火腿关于奶酪的交叉价格弹性为：

所以，当p_h＝p_c时

（2）在固定比例效用函数下，不存在替代效应，所以补偿性价格弹性为0。

（3）当p_h＝2p_c时，由（1）可知：

（4）如果此人仅消费火腿奶酪三明治这一种商品，那么他对该组合商品的需求价格弹性必定为－1。该组合商品各组成部分的需求价格弹性反映了火腿和奶酪的价格变化对三明治的价格的影响。例如，在（1）问中，火腿价格上涨10%，将导致三明治的价格上涨5%，从而导致需求量下降5%。

8．证明花费在商品x上的比例为

其中E为总支出。

证明：设消费者只消费两种商品x和y，价格分别为p_x、p_y，则预算约束方程为：p_xx＋p_yy＝E

方程两端对p_x求一阶导数得：

又由于：

即有：

这正是花费在x上的支出在总支出中所占的比例。所以说，花费在x上的比例可以表示为：

9．份额弹性

在本书第4章的扩展部分，我们说明了需求理论的实证研究大都集中于收入份额的研究。对于任一商品x，其收入份额定义为：s_x＝p_xx/I。在本题中，我们将证明，大多数需求弹性可以从对应的份额弹性中得到。

（1）证明一种商品的预算份额收入弹性（）等于。用几个数值的例子来解释这个结论。

（2）证明一种商品的预算份额自身价格的弹性（）等于。用几个数值的例子来解释这一结论。

（3）用（2）中的结论证明商品x的支出自身价格弹性（）等于。

（4）证明一种商品的预算份额交叉价格弹性（）等于。

（5）在第4章的扩展中，我们说明了在CES效用函数的情形下商品x的支出份额为

其中

用这一份额方程来证明（5.56）式：

提示：这个问题可以通过假设p_x＝p_y，从而s_x＝0.5得到简化。

证明：（1）

如果e_x，I＝1.5，则。

（2）

如果

则

（3）因为在（2）中收入在求导时可以被消去，所以有：

（4）

（5）由（2）可得：

为了简化，令

从而有：

再利用斯拉茨基方程，以及e_x，I＝1，可得：

10．弹性的进一步探讨

练习题5.9的（5）有一些有用的应用，因为它说明了价格反应最终取决于效用函数的参数。特别地，使用这个结论和弹性形式的斯拉茨基方程可以证明：

（1）在柯布－道格拉斯效用函数情形（σ＝1）下，商品x，y的自身价格弹性满足以下关系：

（2）如果σ＞1，则

如果σ＜1，则

请给出一个直观的解释。

（3）你如何将上面的结论推广到多种商品的情况？讨论这种推广是否有特殊意义。

解：（1）在柯布－道格拉斯效用函数情形下，价格弹性分别为：

从而有：

当σ＝1时，有

（2）由（1）可知

当σ＞1，有－σ－1＜－2，即

当σ＜1，有－σ－1＞－2，即

直观上，当σ较大时，价格弹性将较大；当σ较小时，价格弹性将较小。

（3）对于多变量CES函数而言，该结论的推广是可行的，但是该函数对行为施加的约束却有可能不成立。

11．多种商品的弹性加和

本章提到的三个加和关系可以推广到任意多种商品的情形。这道练习题要求你给出这样的推广。我们假定有n种商品，在第i商品上支出占收入的份额为s_i，我们定义下面的弹性：

请证明：

（1）齐次性：

（2）恩格尔加和：

（3）古诺加和：

解：（1）由于任何商品的需求关于价格都是零次齐次的，所以欧拉定理意味着：

两边乘以1/x_i可得：

又因为

所以：

（2）由预算约束对收入I求导可得：

两端乘以x_iI/x_iI可得：

（3）由预算约束对p_j求导可得：

两端乘以（p_j/I）·（x_i/x_i）可得：

12．拟线性效用（再次审视）

考虑简单形式的拟线性效用函数形式：U（x，y）＝x＋lny

（1）计算x，y的收入效应和需求收入弹性。

（2）计算x，y的替代效应和补偿性自身价格需求弹性。

（3）证明该效用函数满足斯拉茨基方程式。

（4）证明该效用函数也满足斯拉茨基方程式的弹性形式，并描述你观察到的特殊性质。

解：（1）设消费者只消费两种商品x和y，价格分别为p_x、p_y，收入为m，则消费者效用最大化问题：

构造拉格朗日函数：

一阶条件：

解得：

x的需求收入弹性

y的需求收入弹性

（2）由（1）可知间接效用函数

则支出函数为：

因为

则

x的补偿性自身价格需求弹性

y的补偿性自身价格需求弹性

（3）斯拉茨基方程式为

由（1）知

对x：

对y：

即该效用函数满足斯拉茨基方程式。

（4）因为x和y的需求价格弹性分别为

对x：

对y：

即该效用函数满足斯拉茨基方程式的弹性形式。

13．近乎理想的需求系统

近乎理想的需求系统支出函数的一般形式如下：

为便于分析，假设函数满足以下约束条件：

（1）推导出两种商品情况下的近乎理想的需求系统函数形式。

（2）证明在满足上述约束条件的前提下，支出函数是所有价格的一次齐次函数。正是由于该函数和实际数据反映的情况极其相似，才被称为“理想”函数。

（3）运用练习题5.8的结论

计算两商品情况下x，y的收入份额。

解：（1）当只有两种商品时，即n＝2，此时需求系统函数形式为：

（2）对于任意k＞0有：

由题意约束条件有

则：

所以E（kp₁，kp₂，U）＝kE（p₁，p₂，U），即在满足上述约束条件的前提下支出函数是所有价格的一次齐次函数。

（3）由可得：

14．价格无差异曲线

价格无差异曲线和效用无差异曲线类似，横轴和纵轴分别对应p_x和p_y，其一般形式为：（p₁，p₂）|v（p₁，p₂，I）＝v₀

（1）写出α＝β＝0.5的柯布—道格拉斯情形下的函数形式，并画出一条无差异曲线。

（2）观察无差异曲线的斜率，你得到了什么？

（3）在无差异曲线图中，如何表示效用增加的方向？

解：（1）在α＝β＝0.5的柯布—道格拉斯函数为U（x，y）＝x0.5y0.5，利用其性质可得，效用最大化的最优选择为：

将此解再带入到效用函数可得：

即为一条无差异曲线，如图5-11所示：

图5-11　一条无差异曲线

（2）观察无差异曲线的斜率，不难发现此无差异曲线凸向原点，边际替代率递减，即无差异曲线的斜率呈现递减的情形，用公式表示为：

（3）由知，当p_x和p_y减小时，V变大，因此，在无差异曲线图中，距离原点越近的地方效用越大，如图5-11中箭头所指的方向。