4.2 课后习题详解
1．三年级学生保罗每天在校用午餐，他只喜欢奶油小蛋糕（t）和橘子汁（s），他从中得到的效用为：
（1）如果每份奶油小蛋糕为0.1美元，每杯橘子汁0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上？
（2）学校为了减少奶油小蛋糕的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与（1）中相同的效用，妈妈要多给他多少美元伙食费？
解：（1）对效用函数
进行单调变换，令
这并不改变偏好次序。
保罗效用最大化问题为：
设拉格朗日函数为：L（s，t，λ）＝ts＋λ（1－0.1t－0.25s）
一阶条件为：
解得：s＝2，t＝5。
因此，他所获得的效用：
（2）消费品奶油小蛋糕价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：
设拉格朗日函数为：L（s，t，λ）＝0.4t＋0.25s＋λ（10－ts）
一阶条件为：
由前两个一阶条件可得：s/t＝1.6，又因为st＝10，由此解得t＝2.5，s＝4，则最小支出为：m1＝0.4×2.5＋0.25×4＝2，所以妈妈现在要多给他1美元伙食费使他的效用水平保持不变。
2．（1）一位年轻的品酒师欲支出600美元建一座小酒窖，他特别喜欢两种酒：一种是1997年生产的法国波尔多白葡萄酒（wF），每瓶价格为40美元；另一种是稍微便宜的2005年产的加利福利亚的酒（wC），每瓶8美元。如果他的效用函数如下式所示，则他应该在每种酒上花多少钱？
（2）当品酒师来到酒店时，他发现由于法郎贬值，法国波尔多白葡萄酒（wF）已经降到每瓶20美元，如果加利福尼亚酒依旧是8美元一瓶，此时，在价格已变的条件下，为达到最大效用，每种酒的购买量应为多少？
（3）解释为什么这个品酒师在（2）的情况下要比（1）更好。你如何用货币来衡量这个效用的增加？
解：（1）由题意得，该品酒师的效用最大化问题为：
根据消费者均衡条件得：
联立预算方程解得：
此时，消费者效用最大化时两种酒上的花费分别为：
即在法国波尔多白葡萄酒和加利福尼亚葡萄酒上的花费分别为400美元和200美元，此时该调酒师的效用达到最大化。
（2）法国波尔多白葡萄酒（wF）已经降到每瓶20美元，此时的预算约束方程可写为：20wF＋8wC＝600
利用（1）中的方法可得：
联立预算约束方程解得：
即调酒师效用最大化的每种酒的购买量分别为20，25。
（3）在（1）中，效用U（10，25）＝102/3251/3≈13.6。在（2）中，效用U（20，25）＝202/3251/3≈21.5。因此，U（10，25）＜U（20，25），即这个品酒师在（2）的情况下要比（1）更好。法国波尔多白葡萄酒（wF）降价，使得该调酒师对波尔多白葡萄酒的实际购买力增加，此时，货币的边际效用变得更大。
3．（1）在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄（c）和白兰地（b）：U（c，b）＝20c－c2＋18b－3b2
那么他这天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用（假定他不受预算约束）？
（2）后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位。在这一条件约束下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄呢？
解：（1）在无约束下，J.P.的效用最大化问题为：max U（c，b）＝20c－c2＋18b－3b2
效用最大化的一阶条件为：
从而可知J.P.所获得的最大效用为：U＝127。
（2）J.P.所受的约束为：b＋c＝5，此时他的效用最大化问题为：
max U（c，b）＝20c－c2＋18b－3b2
s.t.b＋c＝5
设拉格朗日函数为：L＝20c－c2＋18b－3b2＋λ（5－c－b）
一阶条件为：
从而可以解得：b＝1，c＝4，U＝79。
4．（1）Ball先生享用商品x和y所得的效用函数为：
如果px＝3美元，py＝4美元，而他的总收入为50美元，求他所能获得的最大效用？
提示：求U2的最大值要比求U的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？
（2）画出Ball的无差异曲线，并指出无差异曲线与预算线的切点，图形是如何描述Ball的行为的？你找到真正的最大值了吗？
解：（1）因为U2可由U经过单调变换得到，所以，最大化U2同时也就是使U最大化。因此，Ball的效用最大化问题可以表述为：
max U2（x，y）＝x2＋y2
s.t. 3x＋4y＝50
由U2（x，y）＝x2＋y2可知，每增加一单位x或每增加一单位y带给Ball先生的效用是一样的；由px＝3＜py＝4可知，当y＝0时，Ball先生所得效用最大，解得x＝50/3，U＝50/3。
（2）Ball的无差异曲线如图4-5所示，显然该无差异曲线没有递减的MRS。无差异曲线与预算线的切点如图4-5中的A点所示。在A点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而A点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是B点，Ball将其所有的收入用于购买x，而y商品的购买为零。在这里，他的效用函数不是凸的，而是凹的。在偏好为凹的情况下，效用最大化点一定在边界上取得。
图4-5 Ball的无差异曲线
5．A先生从马丁尼酒（m）中所得的效用与马丁尼酒的消耗量成正比：U（m）＝m。A先生特别喜欢马丁尼，但他只喜欢喝将杜松子酒（g）与苦艾酒（v）按2︰l的固定比例混合而成的马丁尼酒，因此，我们可以将A先生的效用函数改写为：
（1）画出A先生以g与v为变量的各种效用水平的无差异曲线，请说明无论这两种配料酒的价格如何，A先生永远不会改变他配制马丁尼酒的方法。
（2）求出对g与v的需求函数。
（3）利用（2）的结论，求出A先生的间接效用函数。
（4）试计算A先生的支出函数；对于每一种效用水平，将支出表示成杜松子酒的价格pg和苦艾酒苦艾酒的价格pv的函数。
提示：由于本题涉及固定比例效用函数，所以你不能利用微积分来求解效用最大化的决策。
解：（1）A先生的无差异曲线如图4-6所示。无论商品g与v的相对价格（即预算线的斜率）如何，效用最大化的点始终是无差异曲线的折点，即满足0.5g＝v也即g＝2v的点。
图4-6 A先生的无差异曲线
（2）将g＝2v代入预算约束可得：pgg＋pvv＝I
从而可以解得：
（3）因为U＝g/2＝v，将
或
代入效用函数中，得间接效用函数为
（4）利用对偶性可得，支出函数为：E（pg，pv，V）＝I＝（2pg＋pv）V
6．假设一位快餐爱好者的效用取决于三种商品：软饮料（x），汉堡包（y）和冰激凌圣代（z），根据柯布—道格拉斯效用函数，有U（x，y，z）＝x0.5y0.5（1＋z）0.5
同时假设这些商品的价格分别为：px＝1，py＝4，pz＝8，且该消费者的收入为I＝8。
（1）证明：当z＝0时，效用最大化得到的的最优选择与例4.1相同。同时证明z＞0（哪怕z非常小）时的任何选择都会使效用减少。
（2）你如何解释z＝0时达到最优这一事实？
（3）为了购买z，这个人的收入要有多高？
解：（1）当z＝0时，效用函数为U（x，y，z）＝x0.5y0.5，根据柯布－道格拉斯效用函数的性质可得：
x*＝αI/px＝0.5×8/1＝4
y*＝βI/py＝0.5×8/4＝1
此时效用U＝（4）0.5（1）0.5＝2，与例4.1结果相同。
如果z＝1，则U＝0，因为x＝y＝0。
如果z略大于0（不妨设z＝0.1），则利用柯布－道格拉斯效用函数的性质可得：
x＝0.5×7.2/1＝3.6
y＝0.5×7.2/4＝0.9
因而效用为：U＝（3.6）0.5×（0.9）0.5×（1.1）0.5＝1.89＜U（z＝0）＝2
（2）在x＝4，y＝1，z＝0处，有：MUx/px＝MUy/py＝0.25，MUZ/pz＝0.125
因而在z＝0处，从z获得的边际效用“不值”商品的价格。效用函数中的“1”导致了z在任何正的数量时已经具有递减的边际效用。商品
满足“互补松弛”原理。
（3）如果收入I＝40，则最优选择为：x＝16，y＝4，z＝1（可以利用拉格朗日方法求解，此处略去）。为了找到在任何z处的购买量，可以利用柯布－道格拉斯函数的性质，即：pxx＝pyy＝pz（1＋z）
代入预算约束可得：2pz（1＋z）＋pzz＝I或3pzz＝I－2pz，因此，对于z＞0，必有I＞2pz＝16。
7．图4-7中所示的一次总付原则不仅可以应用于税收，也可以应用于转移支付。这个问题研究该原则在此政策下的应用。
图4-7 税收中的一次总付原则
（1）用与图4-7类似的图解释在政府花费相同的情况下，对一个人进行收入补贴比对物品x进行补贴提供了更多的效用。
（2）利用柯布－道格拉斯支出函数
计算需要多少额外购买力才能将这个人的效用从U＝2提高至U＝3。
（3）再次使用
估算为了将这个人的效用从U＝2提升至U＝3，需要对商品x进行补贴的程度，并和（2）中得到的结果进行比较。
（4）习题4.10要求你计算的支出函数是与比例4.4的情形更一般化的柯布－道格拉斯效用函数相对应的。当α＝0.3（这个数字接近于低收入的人花费在食物上的收入份额）时，再次使用这个支出函数，回答（2）和（3）的问题。
（5）如果使用
所示的固定比例情况下的支出函数，你应该如何修改对本问题的计算？
解：（1）如图4-8所示，收入补贴可以使消费者预算线向右平行移动，在新的最优点C处消费者的效用要大于对商品x进行补贴后消费者达到最优点B处的效用，因此，相同数额的收入补贴比对商品x的补贴能够给消费者带来更大的效用。
图4-8 一次性收入补贴与对商品x补贴下消费者境况的比较
（2）商品价格px＝1，py＝4。对于方程4.52中的柯布－道格拉斯函数而言，其支出函数为：
当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝2×10.5×40.5×2＝8
当效用为U＝3时，支出E（1，4，3）＝2×10.5×40.5×3＝12
要使这个人的效用从U＝2提高至U＝3所需要增加的支出为：ΔE＝E（1，4，3）－E（1，4，2）＝12－8＝4
（3）当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝2×10.5×40.5×2＝8，设在此条件下，对x的补贴为r时才能达到U＝3的效用水平。即有：E（1－r，4，3）＝2×（1－r）0.5×40.5×3＝12（1－r）0.5＝8
解得，对每单位x的补贴r＝5/9。
在此补贴价格下，消费者将选择购买：
此时的总补贴金额为5/9×9＝5，比（2）中的补贴额高5－4＝1。
（4）当α＝0.3时，效用函数U（x，y）＝x0.3y0.7，最优的x和y的取值为：
将其带入效用函数，可求出对应的支出函数：
当个人的效用从U＝2提高到U＝3时，所需要增加的支出为：
ΔE＝E（1，4，3）－E（1，4，2）＝1.84×10.3×40.7×3－1.84×10.3×40.7×2≈14.57－9.71＝4.86
同理可设在此条件下，对x的补贴为r时才能达到U＝3的效用水平。即有：E（1－r，4，3）＝1.84×（1－r）0.3×40.7×3＝14.57（1－r）0.3＝9.71
解得，对每单位x的补贴r≈0.74
在此补贴价格下，消费者将选择购买：
此时的总补贴金额为0.74×11.20≈8.29，比（2）中的补贴额高8.29－4.86＝3.43。
（5）方程4.54中的柯布－道格拉斯函数，其支出函数为：E（px，py，U）＝（px＋0.25py）U
当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝（1＋0.25×4）×2＝4
当效用为U＝3时，支出E（1，4，3）＝（1＋0.25×4）×3＝6
因而所需要增加的支出为2。
在支出为4时，要满足效用水平为3，需要政府对价格进行补贴，假设补贴后E（1－r，4，3）＝（1－r＋0.25×4）×3＝4
解得r＝2/3，故每单位需要补贴2/3。
在此价格下，消费者选择购买3个单位的x，政府补贴金额为2，价格补贴金额与在一次总付补贴下一致，因为固定比例下，消费者需求是固定比例，价格变化没有扭曲消费者行为。
8．考虑以下两个最简单的效用函数：
固定比例效用函数：U（x，y）＝min[x，y]
完全替代效用函数：U（x，y）＝x＋y
（1）分别对以上两个效用函数，计算：对于x和y的需求函数、间接效用函数和支出函数。
（2）根据（1）中的计算结果，解释它们为什么会是那样的形式。
解：（1）设两种商品的价格分别为px、py，收入为m。
①对于固定比例效用函数U（x，y）＝min[x，y]，均衡的消费满足：
解得两种商品的需求函数分别为：
将上式带入效用函数可得间接效用函数：U（px，py，m）＝m/（px＋py）
反解间接效用函数可得支出函数：E（px，py，U）＝（px＋py）U
②对于完全替代效用函数U（x，y）＝x＋y，分三种情况讨论均衡的消费：
a．当px＞py时，由于x和y相互替代，此时消费者只消费y，不消费x。
此时的需求函数：
间接效用函数：U（px，py，m）＝m/py
支出函数：E（px，py，U）＝pyU
b．当px＜py时，由于x和y相互替代，此时消费者只消费x，不消费y。
此时的需求函数：
间接效用函数：U（px，py，m）＝m/px
支出函数：E（px，py，U）＝pxU
c．当px＝py时，x和y无差异。
需求函数：x＋y＝m/px＝m/py
间接效用函数：U（px，py，m）＝m/px＝m/py
支出函数：E（px，py，U）＝pyU＝pxU
（2）对于完全互补的两种商品来说，两种商品间按固定的比例进行消费，超出比例多消费任何一种商品都不会带来效用的增加，如果按1：1比例进行消费的两种商品，那么其效用函数为U（x，y）＝min[x，y]，如图4-9所示；而对于对于完全替代的两种商品来说，两种商品间相互替代的比率是不变的，其效用函数为U（x，y）＝x＋y，如图4-10所示；
图4-9 完全互补
图4-10 完全替代
9．考虑包含两种商品的线性效用函数：U（x，y）＝ax＋by。计算与之对应的支出函数。提示：不同的价格比例会造成支出函数的扭曲。
解：由于两种商品的效用函数U（x，y）＝ax＋by，即此两种商品为完全替代品。设两种商品的价格分别为px、py，收入为m，预算约束方程为pxx＋pyy＝m。下面分三种情况进行讨论：
（1）当px/py＞a/b时，此时商品x比y昂贵，最优选择满足：
此时的支出函数为：E（px，py，U）＝pyU/b
（2）当px/py＜a/b时，此时商品x比y便宜，最优选择满足：
此时的支出函数为：E（px，py，U）＝pxU/a
（3）当px/py＝a/b时，此时商品x与y无差异。此时的支出函数为：E（px，py，U）＝pxU/a＝pyU/b
10．柯布—道格拉斯效用函数
在例4.1中，我们用到了柯布—道格拉斯效用函数U（x，y）＝xαy1－α，其中0≤α≤1这个问题说明了该函数的一些其他属性。
（1）计算柯布－道格拉斯情况下的间接效用函数。
（2）计算这种情况下的支出函数。
（3）明确解释当x的价格上升时，为了抵消其影响所需的补偿是如何与指数α的大小相关的。
解：（1）对于柯布－道格拉斯效用函数，其相应的需求函数为：x＝αI/px，y＝（1－α）I/py
将需求函数代入效用函数中，得间接效用函数为：
其中B＝αα（1－α）1－α
（2）利用对偶原理，可以从间接效用函数中解出支出函数为：
（3）支出关于价格px的弹性值为：
即：x在效用函数中越重要，则支出份额中用于补偿其价格上涨的比例也越大。
11．CES效用函数
一般的CES效用函数可以表示为：
（1）证明上述函数在约束条件下，效用最大化的一阶条件是消费者按一定比例选择商品，这个比例式为：
（2）前面在讨论一些问题时已经说过，对于柯布—道格拉斯函数（δ＝0），消费者将在x与y之间平等分配费用，证明（1）中的结论也包含了这种情况。
（3）pxx/pyy的值与δ的值有什么关系？直观地解释你的结论。（如果要对此函数进行更深入的探讨，参见本章扩展E4.3）
（4）推导这种情况下的间接效用函数和支出函数，并运用齐次函数的性质加以检验。
解：（1）对于此CES效用函数而言，在效用最大化时，有：
从而可以解得：
其中，σ＝1/（1－δ）。
（2）如果δ＝0，则有x/y＝py/px，因而有pxx＝pyy＝m/2，其中，m为消费者收入，即消费者将在x与y之间平等分配费用。
（3）由（1）可知
所以，当σ＜1，即δ＜0或δ＞1时，收入中用于购买x的相对份额与其相对价格正相关；当σ＞1，即0＜δ＜1时，收入中用于购买x的相对份额与其相对价格负相关；当σ＝1，即δ＝0时，消费者将在x和y商品之间平等分配收入，即
（4）支出最小化问题为：
设拉格朗日函数为：
一阶条件为：
从而可以解得：
所以，支出函数为：
利用对偶性可得，间接效用函数为：
由齐次函数的性质，对于任意的t＞0，可得：
所以，此支出函数是商品价格的一次齐次函数，间接效用函数是商品价格和收入的零次齐次函数。
12．Stone—Geary效用函数
消费者需要一定量的食品（x）来维持生存，假设这个量为x0。一旦购买x0的食品，消费者将从x0与其他商品（y）得到效用：U（x，y）＝（x－x0）αyβ
其中，α＋β＝1。
（1）证明：如果I＞pxx0，则为了取得最大效用，消费者将会在食品x上花费α（I－pxx0）＋pxx0，在商品y上花费β（I－pxx0）。解释这个结论。
（2）在这个问题中，如果收入增加，pxx/I，pyy/I的比值将会怎样变化？（有关此函数的进一步讨论请参见本章扩展E4.2。）
解：（1）如果x＜x0，则效用值为负，因而消费者将会首先支出pxx0。对于剩余的收入I－pxx0，这是一个标准的柯布－道格拉斯效用函数最大化问题，从而有：px（x－x0）＝α（I－pxx0）
解得：
pxx＝α（I－pxx0）＋pxx0
pyy＝β（I－pxx0）
（2）由（1）以及预算约束条件可得：
因此，收入增加，则收入中用于购买x的比例将减少，用于购买y的比例将增加。
对I取极限可得：
13．CES间接效用函数和支出函数
现在，我们讨论形式更标准的CES效用函数的间接效用函数和支出函数，函数形式如下：U（x，y）＝（xδ＋yδ）1/δ，该函数的替代弹性σ＝1/（1－δ）
（1）证明此函数的间接效用函数为：V＝I（pxr＋pyr）－1/r，其中，r＝δ/（δ－1）＝1－σ。
（2）证明（1）中计算出的函数是关于价格和收入的零次齐次函数。
（3）证明此函数是收入的严格递增函数。
（4）证明对于任何价格，该函数都是严格递减的。
（5）证明此种情况下的CES效用函数的支出函数为：E＝V（pxr＋pyr）1/r
（6）证明（5）中计算出的函数是关于商品价格的一次齐次函数。
（7）证明支出函数是关于任何价格的递增函数。
（8）证明函数是任何价格的凹函数。
解：（1）设两种商品的价格分别为px、py，收入为I，则消费者效用最大化问题：
构造拉格朗日函数：L＝（xδ＋yδ）1/δ＋λ（I－pxx－pyy）
一阶条件：
解得：
将上式代入U（x，y）＝（xδ＋yδ）1/δ
得间接效用函数：V＝I（pxr＋pyr）－1/r（其中r＝δ/（δ－1）＝1－σ）
（2）对于任意正数t＞0，有：
所以说，函数V＝I（pxr＋pyr）－1/r是关于价格和收入的零次齐次函数。
（3）∂V/∂I＝（pxr＋pyr）－1/r＞0，所以说此函数是收入的严格递增函数。
（4）
同理可得
，所以说，对于任何价格，此函数是严格递减的。
（5）反解间接效用函数得此函数的支出函数：E＝U（pxr＋pyr）1/r
（6）对于任意正数t＞0，有：E（tpx，tpy，U）＝U[（tpx）r＋（tpy）r]1/r＝t·E（px，py，U）。所以说，函数E＝U（pxr＋pyr）1/r是关于商品价格的一次齐次函数。
（7）
同理可得
，所以说支出函数是关于任何价格的递增函数。
（8）对支出函数关于px求二阶偏导数得：
所以说，此函数是任何价格的凹函数。
14．利他主义
米歇尔有一个相对高的收入I，并且他十分同情生活贫困、收入很低的索菲亚。假设米歇尔的偏好可由以下效用函数表示：
此处c1、c2分别表示米歇尔和索菲亚的消费水平，函数形式和两商品的柯布－道格拉斯效用函数类似。假设米歇尔可以随意支配自己的收入，既可花在自己身上，也可花在索菲亚身上（通过慈善捐赠），并且1美元收入可为米歇尔或索菲亚带来1单位相等的效用（也就是说，消费的价格p1＝p2＝1）。
（1）说明通过讨论a＝0和a＝1时的极端情况，指数a可用于衡量“利他”程度。当a的值为多少时，米歇尔会是一个完美的利他主义者（把别人看作和自己同等重要）？
（2）求解米歇尔的最优化选择，并说明其如何随着a的变化而变化。
（3）假设所得税为t，求解此时米歇尔的最优化选择。在慈善捐款可税前扣除（用于慈善捐款的那部分收入不用缴纳所得税）的情况下，米歇尔的选择会发生怎样的变化？对于利他主义程度高和程度低的两种人，慈善捐款扣除对哪一种人的激励作用更大？
（4）回到没有税收的简单情况下，假设米歇尔的利他主义可由以下效用函数表示：
该式和扩展E3.4相似，根据定义，米歇尔直接关心索菲亚的效用水平，间接关心索菲亚的消费水平。
①若索菲亚的效用函数和米歇尔是对称的，即
计算米歇尔的最优选择，并和（2）中的结果加以对比，米歇尔的利他主义程度是更大还是更小？解释这一结果。
②若索菲亚的效用函数为U2（c2）＝c2，重新分析上述问题。
说明：在查阅英文版教材后，本书认为第（3）问中的“所得税为t”是指所得税税率，并据此进行解答。
解：（1）当a＝0和a＝1时，此时米歇尔的效用函数分别为：
U1（c1，c2）＝c1
U1（c1，c2）＝c2
即当a＝0时，米歇尔效用大小只取决于自己的消费，她是一个纯粹的利己主义者；而当a＝1时，其效用大小完全取决于索菲亚的消费，她是一个纯粹的利他主义者。
当a＝1/2时米歇尔会是一个完美的利他主义者（把别人看作和自己同等重要），其效用函数为：
（2）设米歇尔的收入为m，利用柯布—道格拉斯效用函数的性质可得米歇尔的最优选择为：
进一步可求得：
所以，随着a的提高，在米歇尔的最优选择处，米歇尔的消费水平会降低而索菲亚的消费水平会增加。
（3）如果所得税税率为t，此时米歇尔的最优化选择为：
设慈善捐款额为s（0＜s＜m），在慈善捐款可税前扣除（用于慈善捐款的那部分收入不用缴纳所得税）的情况下米歇尔的最优化问题为：
解得米歇尔的最优选择为：
在慈善捐款可税前扣除的情况下，慈善捐款额为s＝c2＝am，而用于慈善捐款的那部分收入也需要缴纳所得税的情况下，慈善捐款额为s＝c2＝am（1－t）。两种情况下慈善捐款额的变化为Δs＝am－am（1－t）＝amt，从而有
因此，利他主义程度越高，慈善捐款扣除对其的激励作用越大。
（4）①若米歇尔的效用函数
且索菲亚的效用函数
由此可以推出米歇尔的效用函数：
米歇尔的最优选择：
所以，随着
的提高，在米歇尔的最优选择处，米歇尔的消费水平会降低而索菲亚的消费水平会增加。
②若索菲亚的效用函数为U2（c2）＝c2，此时米歇尔的效用函数为
和（2）中的情况相同。