第4章 效用最大化与选择
4.1 复习笔记
1．两种商品的情形：图形分析
（1）预算约束
假定某人有I美元可用来购买商品x与商品y，设x的价格为px，y的价格为py，则消费者的预算约束为：pxx＋pyy≤I。
图4-1 两种商品条件下消费者的预算约束
预算约束如图4-1所示，消费者只能购买三角形区域内（包括边界）的商品组合，如果I美元全部用来购买x，那么能够购买到I/px单位的x；同理，如果I美元都用来购买y，那么能够购买I/py单位的y。
（2）最大化的一阶条件
两种商品条件下，消费者效用最大化选择为：预算约束线与无差异曲线的切点，即预算约束线的斜率等于无差异曲线的斜率的点：
为了获得最大效用，应当花费掉所有的收入，并且MRS要等于商品的价格之比。如图4-2所示，在A点，消费者并没有花费掉剩余的货币，所以不能达到最高点效用水平；在B点，通过重新分配在两种商品上的货币支出，消费者可以达到比B点更高的效用水平；在D点，消费者在现有收入水平下并不能达到；只有在C点可以取得最大的效用，此时既满足预算约束，又满足预算约束线的斜率等于无差异曲线的斜率。
图4-2 效用最大化的几何解释
（3）最大化的二阶条件
无差异曲线与预算约束线相切的原则只是获得最大效用的必要条件，并不是充分条件。如果无差异曲线不满足边际替代率递减的假设，那么并非所有的切点都是能达到效用最大化的点。如图4-3所示，切点C的商品组合的效用低于其他许多能用现有货币购买的商品组合的效用。为了保证效用最大化的必要条件（也即相切条件）同时也是充分条件，通常要假定边际替代率是递减的，即效用函数是严格拟凹的。
图4-3 相切条件并不能保证最大效用的无差异曲线举例
2．n种商品的情形
（1）n种商品最优选择的数学表述
（2）拉格朗日方法求解及一阶条件
设拉格朗日函数为：φ＝U（X1，X2，…Xn）＋λ（I－P1X1－P2X2－…－PnXn）
一阶条件为：
从而可以化简为：
上式表明：两种商品的边际效用之比与它们的边际替代率之比相等，为了获得最大的效用，消费者必须使自己心理上的交易比例与市场上的交易比例相等，即市场上xi与xj的交换比例需等于消费者愿意用xi交换xj的比例。
（3）角点解
①角点解的一个例子
在某些情况下，消费者的偏好使其在不消费其中的某一种商品时才能达到最大效用。如图4-4所示，效用最大化的点是E点，此时y的消费量为0，并且预算线与无差异曲线U2并不是正好相切。在E点，预算线比无差异曲线U更平缓，这表明：市场上商品x与y的交换比率要比消费者心理上的替代率（MRS）低。在现行的市场价格条件下，消费者更愿意不断地用y来换取更多的x。
图4-4 效用最大化问题的角点解
②角点解的数学方法
出现角点解时，如果拉格朗日函数一阶条件改为：
如果
那么解得：xi＝0
当商品价格（pi）超过它为消费者带来的边际价值（
）时，消费者对它的购买量将为零（xi＝0）。
3．需求函数与间接效用函数
（1）需求函数
在消费者偏好既定且已知的条件下，消费者对商品的需求取决于商品的价格和收入。需求函数是指消费者对商品的需求量与价格和收入的数量关系，用公式表示即：
（2）间接效用函数
间接效用函数描述的是消费者的最大化效用与价格和收入的函数关系。因此控制消费者的消费行为实质上可以由控制价格与控制收入来实现：控制价格，实质就是价格政策或价格改革；控制收入，实质就是收入政策的内容。可见，间接效用函数有着明显的政策上的应用价值。
间接效用函数可以表示为：
（3）一次总付原则
一次总付原则指的是对消费者的一般购买力征税，要比对特定的物品征税要好。一个与之类似的观点是，对低收入人群的收入补贴，要比花同样数目的钱去补贴某些特定商品更能增加效用。
4．支出最小化与支出函数
（1）支出最小化问题的数学表达式
一般地说，消费者对偶的支出最小化问题就是选择x1，x2，...，xn以取得下式的最小值：总支出＝E＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn。
约束条件为：
在这个问题中，选择x1，x2，…，xn的最优值取决于各种商品的价格（p1，p2，…，pn）与所要求的效用水平U(＿)，如果改变其中任意一种商品的价格，或者消费者的效用“目标”发生变化，最优的商品组合就会改变。
（2）支出函数
消费者的支出函数表明了在一组特定的商品价格条件下，要达到某一既定的效用水平所必需的最小支出，即：最小支出＝E（p1，p2，…pn，U）。定义说明，支出函数与间接效用函数是互为反函数关系的。它们都取决于市场价格，但所受到的约束却不同（前者为效用，后者为收入）。
（3）支出函数的性质
①齐次性：如果所有商品的价格都加倍，则所需的支出也加倍。
②支出函数关于价格单调不降，用数学表达式简明地表示如下：对于每种商品i
③支出函数是价格的凹函数。