第1章 索洛增长模型
1．1 增长率的基本性质。利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性质证明：
（a）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和。即，若Z（t）＝X（t）Y（t），则：
（b）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差。即，若Z（t）＝X（t）/Y（t），则：
（c）若Z（t）＝X（t）α，则
。
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：
再简化为下面的结果：
则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
再简化为下面的结果：
则得到（b）的结果。
（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
又由于ln[X（t）α]＝αlnX（t），其中α是常数，有下面的结果：
则得到（c）的结果。
1．2 假设某变量X的增长率从时刻0到时刻t1为常数，并且等于a＞0；在时刻t1降为0；从时刻t1到t2逐渐从0增加到a；在时刻t2后为常数，并且等于a。
（a）用图形表示出X的增长率随时间的变化。
（b）用图形表示出lnX随时间的变化。
答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。
从
时刻到t1时刻X的增长率为常数且等于a（a＞0），为图形中的第一段。X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。从t2时刻之后，X的增长率再次变为a。
图1-1 时间函数X的增长率
（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即：
因此，lnX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到t1时刻，lnX的斜率为a（a＞0），在t1时刻，X（t）的增长率出现不连续的变化，因此lnX的斜率出现扭曲，在t1时刻至t2时刻，lnX的斜率由0逐渐变为a；从t2时刻之后，lnX的斜率再次变为a（a＞0）。
图1-2 lnX关于时间的图形
1．3 描述下列情况如何影响（如果有影响的话）索洛模型基本图式里的持平投资曲线和实际投资曲线：
（a）折旧率下降。
（b）技术进步率上升。
（c）生产函数是柯布—道格拉斯函数f（k）＝kα，并且资本份额α上升。
（d）工人更加努力地工作，因此，在既定的单位有效劳动平均资本下，单位有效劳动的平均产出比以前更高。
答：（a）折旧率下降的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），当折旧率δ下降后，持平投资线的斜率变小，持平投资线向右旋转，而实际投资线则不受影响。从图1-3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*上升到
。
图1-3 折旧率下降的影响
（b）技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），当技术进步率g上升后，会使持平投资线的斜率变大，持平投资线向左旋转，而实际投资线则不受影响。从图1-4可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*下降到
。
图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响
（c）生产函数是柯布—道格拉斯型的f（k）＝kα，并且资本份额α上升的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），因此α上升对持平投资线没有影响。由于实际投资线为sf（k），而f（k）＝kα，因此
。当资本份额α上升时，实际投资线的变化需要分情况讨论：对于0＜α＜1，如果lnk＞0，或者k＞1，则∂skα/∂α＞0，即实际投资线skα随α增加而上升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上；反之，如果lnk＜0，或者0＜k＜1，∂skα/∂α＜0，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下；对于k＝1，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。
除此之外，α上升对于k*的影响还受到s和（n＋g＋δ）的大小的影响。如果s＞（n＋g＋δ），α的上升会使k*上升，如图1-5所示。
图1-5 资本份额α上升的影响
（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前有更高的影响。
如果修改密集形式的生产函数形式为：sBf（k），B＞0，则实际投资线为sBf（k）。
工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为B上升，B的上升会使实际投资线sBf（k）上升；持平投资线（n＋g＋δ）k并不受影响，此时，k也从k*上升到，如图1-6所示。
图1-6 单位有效产出比以前更高的影响
1．4 考虑一个存在技术进步，但没有人口增长并且处于平衡增长路径的经济。假定出现工人数量的一次性增加。
（a）工人数量一次性增加时，单位有效劳动的平均产出会增加、减少还是不变？为什么？
（b）单位有效劳动的平均产出发生初始变化（如果有）之后，是否会有进一步的变化？如果有，它是上升还是下降？为什么？
（c）在经济重新达到平衡增长路径后，单位有效劳动的平均产出与新工人出现之前相比是更高、更低还是一样？为什么？
答：（a）假定在t0时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这使得每单位有效劳动的投资数量从k*下降到kNEW。从k＝K/（AL）这一式子中可以看出，由于L上升，而K和A则没有变化，因此，k会下降。因为f＇（k）＞0，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。在图1-7中，y从y*下降到yNEW。
图1-7 单位有效劳动数量降低的影响
（b）在kNEW处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平投资，即：sf（kNEW）＞（g＋δ）kNEW。在kNEW处，经济中储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资数量，因此k开始上升。随着每单位有效劳动的资本上升，每单位有效劳动的产出也会上升。因此，y从yNEW返回到y*。
（c）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原先的资本水平k*。在k*处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。一旦经济返回到平衡增长路径，k便会返回到k*处，从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。
1．5 假设生产函数是柯布—道格拉斯函数。
（a）把k*、y*和c*表示为模型参数s、n、δ、g和α的函数。
（b）k*的黄金律值是多少？
（c）达到黄金律资本存量所需的储蓄率是多少？
解：（a）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式：
定义柯布—道格拉斯生产函数为：f（k）＝kα，将其代入上式，有下式：
在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而k保持不变，则有下面结果：
从上式可以解出：
（1）
下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y*：
将方程（1）代入f（k）＝kα，则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y*：
（2）
将方程（2）代入c*＝（1－s）y*，则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为：
（3）
综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出k*、y*与c*关于模型参数s、n、δ、g和α的函数表达式。
（b）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意义。
由方程（1）可以解出s，即：
（4）
将上式代入方程（3），有下式：
上式可以简化为：
（5）
即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资，而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。
下面求c*关于k*的最优化，可以由（5）得出：
再简化为：
（6）
方程（6）的定义暗含了黄金规则的资本水平。其中，方程（6）左边，因为αk*α－1＝f＇（k*），则，f＇（k*）＝（n＋g＋δ）表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。
可以由方程（6）解出黄金规则要求的最佳资本水平，即k的黄金律值：
（7）
（c）将方程（7）代入方程（4）即可以得到黄金规则所要求的资本水平：
进一步简化为：
（8）
由方程（8）可以得出：对于柯布—道格拉斯生产函数，黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额。
1．6 考虑一个处于平衡增长路径的索洛经济。为了简单起见，假设不存在技术进步。若人口增长率下降：
（a）平衡增长路径上的工人平均资本、工人平均产出以及工人平均消费将如何变化？做图表示经济向新的平衡增长路径移动时上述变量的变化路径。
（b）描述人口增长率下降对产出路径的影响（总产出而不是工人平均产出）。
答：（a）由于不存在技术进步，这里可以不考虑技术因素，将每单位有效劳动简化为平均劳动，定义：y＝Y/L，k＝K/L。
由于持平投资线的斜率为（n＋δ），因此，人口增长率n的下降会使持平投资线的斜率变小，持平投资线更加平坦。每个工人平均资本的动态方程为：
由于n下降，这会导致
变为正数（在平衡增长路径上，
为0，即资本存量处于最佳水平）。在k*处，每个工人平均实际投资sf（k*）超过了每个工人平均持平投资（nNEW＋δ）k*，因而，k*会增加，移向
，如图1-8所示。
图1-8 人口增长率下降对每个工人平均稳态资本、平均稳态产出的影响
随着每个工人平均资本的增加，由y＝f（k）可以知道工人平均产出会上升。又因为c＝（1－s）y，由于s不变，而y上升，因此每个工人平均消费会上升。如图1-9所示。
其中，图1-9（a）为每个工人平均资本的变化图，图1-9（b）为每个工人平均产出的变化图，图1-9（c）为每个工人平均消费的变化图。
图1-9 每个工人平均资本、产出、消费的变化
（b）由定义Y＝Ly，则Y的增长率为
。在开始的平衡增长路径上，
，因此，
，在最终的平衡增长路径上，
。因此，人口增长的下降会导致总产出的增长率下降，如图1-10所示。
图1-10 总产出增长率的下降
1．7 计算在平衡增长路径上单位有效劳动的平均产出y*对人口增长率n的弹性。若αK（k*）＝1/3，g＝2%，并且δ＝3%，当n从2%降到1%时，y*增加多少？
解：由于y*＝f（k*），所以该式两边对n求导数，有下式的结果：
（1）
而∂k*/∂n值可以从资本的动态方程式
中寻找。在平衡增长路径上，
，k＝k*，因此有：sf（k*）＝（n＋g＋δ）k*，对两边关于n求导，得到下式：
求解可得：
（2）
将方程（2）代入（1）式，得：
（3）
由sf（k*）＝（n＋g＋δ）k*求解s，可得：
（4）
将方程（4）代入（3）式，可得：
求y*关于n的弹性形式：
（5）
产出的资本弹性为
，代入（5）式：
（6）
将αK（k*）＝1/3、g＝2%以及δ＝3%，n由2%下降至1%代入，其中n取中值，为0.015，有下式的结果：
因此，n由2%下降至1%，下降了50%，则产出会上升6%（12%×50%＝6%）。可以发现，人口增长率的大幅度下降并不会导致产出的大幅度增长。
上述结论有着极其重要的价值。在索洛模型中，在解释经济增长的原因时，索洛从资本的角度加以解释，但他发现，资本的差异既不能解释人类历史上长期的增长，也不能解释跨国之间的差距。在索洛模型看来，导致经济增长最主要的原因在于有效劳动。本题则从劳动数量的角度解释增长，发现效果并不明显。
1．8 假设在美国的产出中投资的比例从0.15永久性地增加到0.18。设资本份额为1/3。
（a）与投资比例不变的情形相比，产出最终大约会增加多少？
（b）与投资比例不变的情形相比，消费最终大约会增加多少？
（c）投资增加对消费的直接影响是什么？消费需要花多少时间才能回到投资比例不变时的水平？
解：（a）投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，上升20%，表明储蓄率上升了20%。由教材中式（1.27）可以知道产出关于储蓄的弹性公式为：
αK（k*）为产出的资本弹性，这里假设市场是完全竞争的，不存在市场扭曲，资本取其边际产品，即产出的资本弹性近似等于资本份额。将αK（k*）＝1/3代入上述公式，得：
可以看出，产出关于储蓄的弹性为1/2，则储蓄率上升20%，产出会上升10%。
（b）由于储蓄率上升，因此尽管产出上升了10%，但消费并不会上升10%，而会更小一些。在此需要求出消费的储蓄弹性。
由于c*＝（1－s）y*，对此式两边关于s求导数，得：
等式两边都乘以s/c*，且在等式右边，将c*＝（1－s）y*替代，得到弹性形式如下：
化简得：
该式第二项为产出的储蓄弹性，由（a）可知为1/2，投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，即储蓄s份额也由0.15上升至0.18，取中值为0.165，代入上述公式，得：
因此，消费关于储蓄的弹性为0.3，投资所占产出的份额永久性上升20%，可以使消费上升6%（0.3×0.2＝0.06）。
（c）投资增加对消费的直接影响是使消费立即下降。原因在于，c*＝（1－s）y*，在初始平衡增长路径上，y*保持不变，而s则由0.15上升到0.18，即1－s由0.85下降到0.82，下降了3.5%。因此，投资增加会立刻导致消费下降3.5%。
下面使用校准的方法来检验消费的收敛速度。
s在发生一次性上升后便保持不变，因而消费在新的平衡增长路径上会保持不变。在教材中讨论了k和y的收敛速度。首先定义k的动态方程式：
在平衡增长路径上，
为0，取
在k＝k*上的一阶泰勒展开：
令
，有下式：
k（t）－k*的平衡增长路径为：
在k＝k*求解λ：
因为（n＋g＋δ）为6%，而αK（k*）＝1/3，可以得出λ为4%。这意味着k和y每年向平衡增长路径移动4%。由于c＝（1－s）*y，因此消费也以稳定的速率向稳定点移动。可以推出下式：
再次简化为：
由题目可知，消费先下降3.5%，而后再上升6%，因此它将移动9.5%。消费必须移动36.8%（3.5%/9.5%＝36.8%）才能到达新的平衡增长路径。这意味着到达新平衡增长路径的距离是原距离的63.2%。为了决定收敛的速度，有下面的式子：e－λt*＝0.632，两边取对数，有：－λt*＝ln（0.632）。求得下面的结果：t*＝0.459/0.040≈11.5（年）。因此，消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需花费11.5年。
1．9 索洛模型中的要素收入。假设劳动和资本按其边际产出支付报酬。用w表示∂F（K，AL）/∂L，r表示[∂F（K，AL）/∂K]－δ。
（a）证明劳动的边际产出w为A[f（k）－kf＇（k）]。
（b）证明若资本和劳动均按其边际产出支付报酬，则规模报酬不变意味着生产要素总收入等于总净产出。即证明在规模报酬不变的情形下，wL＋rK＝F（K，AL）－δK。
（c）资本收益r基本不随时间变化，产出中分配给资本和劳动的份额也是如此。平衡增长路径上的索洛经济是否表现出上述性质？在平衡增长路径上w和r的增长率各是多少？
（d）假设经济中k的水平在开始时小于k*。随着k向k*收敛，w的增长率会高于、低于还是等于其在平衡增长路径上的增长率？r的增长率呢？
解：（a）证明：劳动的边际产品为：w＝∂F（K，AL）/∂L
生产函数为：
Y＝ALf（k）＝ALf（K/AL）
两边关于
求导数：
（1）
即：
（b）证明：资本的边际产品为：r＝[∂F（K，AL）/∂K]－δ。
生产函数为：Y＝ALf（k）＝ALf（K/AL），两边关于K取导数：
（2）
将方程（1）和（2）代入wL＋rK，得：
简化为：
因为不变的规模报酬条件下，ALF（K/AL，1）＝F（K，AL），所以有下式：
（3）
（c）（2）式中r＝f＇（k）－δ，因为δ保持不变，而k在平衡增长路径上也保持不变，因此f＇（k）不变，r也将保持不变。这意味着
，从而资本回报率在索洛模型中保持不变。
资本的产出份额为
，求其增长率如下：
在平衡增长路径上，资本的产出份额保持不变。因为资本的产出份额与劳动的产出份额之和为1，因此，劳动的产出份额也保持不变。
下面求在平衡增长路径上劳动的边际产品增长率。
劳动的边际产品是：w＝A[f（k）－kf＇（k）]，两边取对数求劳动的增长率：
在平衡增长路径上，
，因此
，即劳动的边际产品的增长率为有效劳动增长率。
（d）由（c）知
。因为f＂（k）＜0，如果
，则式中第二项为正，当k＜k*时，
，
，因此劳动的边际产品增长率比平衡增长路径时更快。
资本的边际产品的增长率为：
当k向k*移动时，
，而f＂（k）＜0，因此
，从而资本的边际产品的增长率下降。
1．10 假定与习题1.9类似，资本和劳动按照边际产出支付报酬。此外，假设所有资本收入用于储蓄，而所有劳动收入均用于消费。因此
。
（a）证明该经济收敛于平衡增长路径。
（b）在平衡增长路径上，k大于、小于还是等于k的黄金律水平？这一结论的直观含义是什么？
解：（a）证明：由k＝K/AL，对其两边关于时间求导，可得：
（1）
将
，
和
代入方程（1），可得：
（2）
将
代入方程（2），可得：
（3）
当
时，每单位有效劳动保持不变。即[f＇（k）－（n＋g＋δ）]＝0，因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由[f＇（k）－（n＋g＋δ）]＝0潜在地决定。
k＝K/AL，由于在平衡增长路径上k保持不变，因此，K必须与AL保持同样的增长速度。AL的增长速度为n＋g，所以K的增长速度为n＋g。由于生产函数是规模报酬不变的，因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n＋g。
综上所述，可以发现所有变量增长速度均不变。
下面证明经济收敛于平衡增长路径。
在k＝k*时，f＇（k）－（n＋g＋δ）＝0，此时经济处于平衡增长路径上。如果k＞k*，由于f＂（k）＜0，所以
，则经济向下偏离平衡增长路径；反之，如果k＜k*，则
，经济向上偏离平衡增长路径。所以，不管初始的k如何，经济都将收敛于平衡增长路径，此时，所有的经济变量都以不变的速率增长。
（b）满足黄金规则的资本水平是指使每单位有效劳动的消费最大时的资本水平，即f＇（kGR）＝（n＋g＋δ）。此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。而这正是经济收敛到均衡增长路径时k的水平，这时所有的资本收入被储蓄，所有的劳动收入被消费。
在本模型中，将资本的贡献（资本的边际产品乘以资本的数量）储蓄起来。如果资本的贡献超过持平投资，即kf＇（k）＞（n＋g＋δ）k，则k上升；反之，如果kf＇（k）＜（n＋g＋δ）k，则k下降。因此，经济收敛于kf＇（k）＝（n＋g＋δ）k，或者f＇（k）＝（n＋g＋δ）这一点上，此刻经济收敛于平衡增长路径。
1．11 仿照方程（1.28）～（1.31）的步骤，计算出在平衡增长路径附近y向y*收敛的速度。[提示：由y＝f（k）可得k＝g（y），其中
。]
（1.28）
（1.29）
（1.30）
（1.31）
解：首先，由y＝f（k）求反函数可得，k＝f－1（y），令k＝g（y）＝f－1（y），即k可以表示成y的函数；又由于在索洛模型中，
是由k的值所决定的，因而可以表示为k的函数，从而可以表示为y的函数，即有：
。特别地，当k＝k*时，
。
函数
在
处的一阶泰勒展式为：
（1）
令
，则上式可以简化为：
（2）
方程（2）表明，在平衡增长路径附近，y移向y*的速度几乎与y和y*之间的距离成比例。也就是说，y（t）－y*的增长率近似于一个固定的常数－λ，这意味着
（3）
其中，y（0）是y的初始值。
其次，确定λ的值。对生产函数y＝f（k）两端关于时间t求导数可得：
（4）
而教材中资本积累的方程为：
（5）
由方程（4）和（5）可得：
（6）
方程（6）两端对k求导可得：
（7）
在平衡增长路径上，sf（k*）＝（n＋g＋δ）k*，因而方程（7）可以表示为：
（8）
由于k＝g（y），其中
，从而有：
（9）
由方程（8）和（9）可得：
综上可得：
（10）
因为在平衡增长路径上，s＝（n＋g＋δ）k*/f（k*），从而方程（10）可以表示为：
（11）
又由于αK＝kf＇（k）/f（k），所以方程（11）可以简化为：
综上所述，在平衡增长路径附近，y以近似于 [1－αK（k*）]（n＋g＋δ）的不变速度收敛于平衡增长路径值。
1．12 物化的技术进步。[来自索洛（Solow，1960）和萨托（Sato，1966）。]有关技术进步的一种看法是，资本品在时刻t的生产力依赖于时刻t的技术水平，而与此后的技术进步无关，这就是物化的技术进步（技术进步必须物化为新的资本才能增加产出）。本题旨在探讨物化技术进步的影响。
（a）首先，我们修改基本的索洛模型，假定技术进步为资本增强型而不是劳动增强型。为了保证平衡增长路径的存在，假设生产函数为柯布—道格拉斯函数：Y（t）＝[A（t）K（t）]αL（t）1－α，A的增长率为
。
证明该经济收敛于一个平衡增长路径，并计算Y与K在平衡增长路径上的增长率。[提示：证明Y/（AφL）可以写为K/（AφL）的函数，其中φ＝α/（1－α），并分析K/（AφL）的动态变化。]
（b）考虑物化的技术进步。具体来说，假定生产函数为Y（t）＝J（t）αL（t）1－α，其中J（t）为有效资本存量。J（t）的动态变化由
给定。表达式中的A（t）项表明在时刻t投资的生产力取决于时刻t的技术水平。
证明该经济收敛于一个平衡增长路径，并计算在这个平衡增长路径上Y和J的增长率。[提示：令
，然后用（a）中的方法，着重考虑
而不是K/（AφL）。]
（c）在平衡增长路径上，产出对s的弹性是多少？
（d）在平衡增长路径附近，经济向平衡增长路径收敛得有多快？
（e）把（c）和（d）中得到的结果与课文中基本索洛模型的相应结果进行对比。
解：（a）A以Y＝F（K，AL）的形式进入，则技术进步为哈罗德中性的；A以Y＝F（AK，L）的形式进入，则技术进步为资本增加型的；A以Y＝AF（K，L）的形式进入，则技术进步为希克斯中性的。本题为第二种情况。
资本增加型的技术进步的生产函数的形式为：
（1）
在方程（1）左右两边同时除以A（t）α/（1－α）L（t），可得：
化简得：
上式再简化为：
定义：φ＝α/（1－α），
及
，代入上式，可得：
（2）
为求k的动态变动，将
）两边求导数得：
即：
将
，
及
代入上式，可得：
（3）
总资本存量的动态方程式为：
（4）
将方程（4）代入（3），可得：
将方程（2）代入上式，可得：
（5）
方程（5）与索洛模型（劳动增进型）中的资本动态方程非常相似。不过，本模型用
而不是用有效劳动A（t）L（t）来衡量资本。图1-11是k的变化图。
图1-11 k收敛于k*
当每单位A（t）φL（t）的实际投资超过每单位A（t）φL（t）的持平投资
时，k将上升趋向于k*；反之，当每单位A（t）φL（t）的实际投资小于每单位A（t）φL（t）的持平投资时，k将下降趋向于k*。忽略k为0的情况，经济将在k＝k*时收敛到平衡增长路径。因为
，所以当k＝k*时，y也将保持不变。
再分析总的情况：总资本K为AφLk，由于k保持不变，因此K的增长率为
；同理，总产出Y为AφLy，由于y保持不变，因此Y的增长率为。由于A和L被假定按既定的速率增长，因此，由于所有的变量均按既定的速率增长，经济收敛到平衡增长路径。
（b）考虑物化的技术进步的情况。
生产函数的形式为：
（6）
定义
，代入方程（6），生产函数的形式可以重写为：
（7）
对方程（7）两边同时除以
，得：
（8）
定义
，
及
，代入方程（8），可得：
（9）
为分析
的动态变化，对
两边求导数，即：
将
，
及
代入上式，可得：
（10）
为求得
表达式，对
两边取导数，即：
将
，
及
代入上式，可得：
上式再简化为：
（11）
将方程（11）代入（10），可得：
将
代入上式，可得：
（12）
图1-12 
收敛于
图1-12是
的变化图。忽略
为0这种情况，经济将在
时收敛。同理，由于
，当经济收敛于
时，y将保持不变。
总产出Y＝AφLy，由于y保持不变，总产出的增长率为
。
由定义
可知，在经济收敛于平衡增长路径时，
保持不变，
的增长率为
。由于
，所以，有效资本存量
的增长率为
，或者是
。因此，由于所有的变量都以不变的速率增长，经济收敛于平衡增长路径。
（c）在平衡增长路径上，
，由方程（12）
，可知进一步可推出：
。
因此有下式：
（13）
将方程（13）代入（9），可以求得在平衡增长路径上每单位A（t）φL（t）的产出的表达式：
（14）
对y*关于s进行求导，即：
两边乘以
以求得弹性形式，即：
上式简化为：
最终可以得到：
（15）
（d）求在y＝y*处的一阶泰勒展开式，即：
（16）
对方程（9）两边求导，可得：
（17）
将方程（12）代入（17）中，即：
或者如下：
（18）
方程（18）是用
来表达
，也可以用
来表达
。因为
，可以推出
，因此在y＝y*处，
可以表达为：
因为
，所以有：
最后，重新整理方程（13）为：
，代入上式，可得：
上式再简化为：
（19）
将方程（19）代入（16），可得：
（20）
求解此微分方程，可得：
（21）
这表示经济每年向y*移动
。
（e）本模型中产出关于储蓄的弹性与基本的索洛模型中得到的结果一样。本模型中收敛的速度快于索洛模型中的收敛速度。在基本的索洛模型中，收敛的速度为
，小于本模型中的
。
1．13 考虑处于平衡增长路径上的索洛经济。假设1.7节中的增长核算技术适用于本经济。
（a）根据增长核算的方法，工人平均产出增长中有多大比例来自于工人平均资本的增长？多大比例来自于技术进步？
（b）如何用（a）中的结论解释如下事实：索洛模型表明，平衡增长路径上的工人平均产出增长率由技术进步率唯一确定。
答：（a）根据增长因素分析法，产出可以分解为：
其中，αK（t）是产出关于资本的弹性，R（t）是索洛剩余。
在平衡增长路径上，每位工人平均产出增长率和每位工人平均资本增长率都等于技术进步率。在上述公式中，索洛将每位工人平均产出的αK（t）部分归于资本的贡献，而将1－αK（t）部分归于技术进步，即索洛剩余。通常估计αK（t）＝1/3，因此，增长因素分析法将67%的贡献归于技术进步，而仅有33%的部分是资本所做的贡献。
（b）从增长因素分析法看，（a）部分的结论是正确的，但是，实际上不完全正确。在平衡增长路径上，资本—劳动比率的增长率为g，这是因为有效劳动的增长率为g。这意味着有效劳动的增长率，即技术的增长率，通过两条路径来提高人均产出：可以直接提高产出，也可以通过提高投入到资本积累中的资源来提高资本—劳动比率。增长因素分析法将通过第二条路径提高人均产出，而不是潜在的路径。因此，增长因素分析法有时并不能提供更深刻的分析。
1．14 （a）在方程（1.38）和（1.39）关于收敛性和测量误差的模型中，假设b的真实值为－1。用ln（Y/N）1979－ln（Y/N）1870对一个常数项和ln（Y/N）1870做回归是否会得到b的有偏估计？请解释。
（b）假设1979年的人均收入存在测量误差，但1870年的人均收入不存在测量误差。用ln（Y/N）1979－ln（Y/N）1870对一个常数项和ln（Y/N）1870做回归是否会得到b的有偏估计？请解释。
答：（a）最小二乘回归分析中，如果解释变量与误差项之间存在相关关系，则斜率系数估计就是有偏估计。
根据方程（1.38）与（1.39），有：
（1.38）
（1.39）
假定ε与μ无关，将（1.39）代入（1.38），可得：
如果解释变量[（Y/N）1870]与误差项[ε－（1＋b）μ]相关，则进行线性回归所得估计值b就是有偏估计。在一般情况下，这一结论是成立的。但是，对于b＝－1这种特殊情况，则不成立，因为上式中的误差项仅仅是ε。这样，即使μ与[（Y/N）1870]相关，但由于b＝－1，解释变量与误差项无关，因而最小二乘回归是无偏估计。
（b）被解释变量的测度误差并不会导致最小二乘回归失效，恰恰相反，误差项正是为纠正被解释变量的测度误差而存在的。
如果1870年每资本平均收入存在测度误差，将会导致偏向收敛。如果1870年每资本平均收入被高估了，则增长率就会被低估，此时，一个初始收入高的国家倾向于有一个低的增长速度。反之，如果1870每资本平均收入被低估，则增长率就会被高估，此时，一个初始收入低的国家倾向于有一个高的增长速度。
假设1979年每资本平均收入服从随机的、零测度误差。在给定1870年每资本平均收入的情况下，如果1979年每资本平均收入被高估，则相应的增长率也会被高估；反之，如果1979年每资本平均收入被低估，则相应的增长率也会被低估。因此，没有理由认为1979年每资本平均收入存在测度误差会导致有偏估计。
1．15 试推导方程（1.50）：
。[提示：可仿照方程（1.47）和（1.48）中的步骤。]
解：资本的动态方程是：
，从中可以求出
的增长率，即：
在平衡增长路径上，K的增长率保持不变，则为保持资本—产出（Y/K）比不变，Y的增长率必须与K保持一致。
给定生产函数
两边取对数：
再对生产函数两边关于时间求导数，即：
将R、T和L的增长率为n，A的增长率为g代入上式，可得：
上式可简化为：
由于在平衡增长路径上，gY＝gK，所以：
因此，在平衡增长路径上，产出的增长率为：
在平衡增长路径上，每位工人的平均产出增长为下式：
将
和
代入上式，可得：
上式再简化为：
，即为教材（1.50）式。