第2章　稳态导热

2.1　 复习笔记

一、通过平壁的导热

1．第一类边界条件

（1）单层平壁

图2-1  单层平壁的导热

①热导率为定值时

a．导热微分方程式与边界条件

b．单层平壁中的温度分布

对上式求导可得

c．通过单层平壁的导热热流密度

②热导率随温度变化时

图2-2  热导率随温度变化时平壁内的温度分布

a．导热微分方程式与边界条件为

将λ＝λ₀（1＋bt）代入上式并积分，得

代入边界条件可得

b．温度分布为

c．导热热流密度为

可以改写成类似于电学中欧姆定律的形式

（2）多层平壁

图2-3  多层平壁的导热

①热流密度

②温度分布

第i层与第i＋1层之间接触面的温度t_i＋1为

2．第三类边界条件

（1）单层平壁

图2-4  单层平壁的传热

①求解边界条件

②热流密度

或写作

（2）多层平壁

①热流密度

②热流量

二、通过复合平壁的导热

1．通过复合平壁的导热量

图2-5  复合平壁示例

当组成复合平壁的各种不同材料的热导率相差不是很大时，可近似地当作一维导热问题处理，使问题的求解大为简化。

通过复合平壁的导热量按下式计算

2．总导热热阻

图2-6  复合平壁的导热

按串联电阻计算，复合平壁的总导热热阻为

三、具有内热源的平壁导热

1．描述这类问题的导热微分方程式

2．边界条件

3．温度分布

4．任一位置x处的热流密度

5．给定第一类边界条件

当给定第一类边界条件时，对流传热的表面传热系数趋于无限大，而，则此时温度分布可表示为

图2-7  具有内热源的平壁导热

四、通过圆筒壁的导热

1．第一类边界条件

（1）单层圆筒壁导热

图2-8  单层圆筒壁的导热

①导热微分方程式

②边界条件

③温度分布

④导热热流量

改写为欧姆定律的形式，可得

⑤单位管长热流量

在稳态情况下，通过单位长度圆筒壁的热流量q_l是相同的。

（2）多层圆筒壁导热

图2-9  多层圆筒壁的导热

对于n层圆筒壁的导热热流量式为

2．第三类边界条件

（1）单层圆筒壁导热

①求解边界条件

②温度变化率

③通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻为

④热流体通过单位管长圆筒壁传给冷流体的热流量

图2-10  单层圆筒壁的传热

（2）多层圆筒壁导热

热流体经多层圆筒壁传热给冷流体传热过程的热流量为

3．临界热绝缘直径

（1）定义

对应于总热阻R_l为极小值时的保温层外径称为临界热绝缘直径d_c，即

（2）表达式

（3）如图2-11所示，只有当管道外径d₂大于临界热绝缘直径d_c时，覆盖保温层才肯定有效地起到减少热损失的作用。

图  2-11

五、通过肋壁的导热

采用肋壁后，加大了散热的表面积，可降低对流传热的热阻，起到增强传热的作用。在表面传热系数较小的那一侧，对流传热热阻就比较大。因此，常常在表面传热系数较小的一侧，采用肋壁的形式，用增大表面积的办法来弥补表面传热系数较低的缺陷，以降低对流传热的热阻。

肋壁有直肋和环肋两类，直肋和环肋又都可分为等截面的和变截面的。

图2-12 肋壁示例

1．等截面直肋的导热

等截面直肋是指从平直基面上伸出而本身又具有不变截面的肋。

由于肋片金属材料热导率的数值比较大，肋片的高度l比肋片的厚度δ大很多，所以近似地认为肋片内沿厚度方向的温度变化很小，而仅沿肋片的高度方向发生明显的变化。所以肋片内的温度分布是沿x方向的一维稳态温度场。肋片内的导热过程可作为有负内热源的一维稳态导热问题处理，单位时间单位体积肋片的对流散热量就是内热源强度。

图2-13 等截面直肋的导热

（1）微元段内热源强度应为

（2）等截面直肋的导热微分方程式

将代入上式，并且用过余温度θ＝t－t_f来表示肋片的温度，得

（3）边界条件

x＝0，＝

肋基的过余温度；肋端处。

（4）等截面直肋内温度分布的表达式

或写成

由上式可知，肋片内的温度分布沿高度呈双曲线余弦函数关系逐渐降低。

（5）以代入上式，可以得到肋端的过余温度

（6）肋片表面的散热量

2．肋片效率

（1）肋片效率的定义

肋片效率是指在肋片表面平均温度t_m下，肋片的实际散热量Ф与假定整个肋片表面都处在肋基温度t₀时的理想散热量Ф₀的比值，是衡量肋片散热有效程度的指标，用符号η_f表示。

（2）肋片效率的影响因素

①肋片材料的热导率；

②肋片表面与周围介质之间的表面传热系数；

③肋片的几何形状和尺寸。

（3）等截面直肋的肋片效率

（4）肋片效率变化规律

①当肋片高度增加到一定程度后，如果再继续增加肋片高度，散热量增加很少，却会导致肋片效率的降低；

②肋片表面的平均温度较低，肋片的效率也比较低；

③肋片高度一定的条件下，具有较小的m值是有利的；

④肋片应尽可能选用热导率较大的材料。

图2-14 等截面直肋的肋片效率

六、通过接触面的导热

1．接触热阻的定义

接触热阻是指两固体直接接触的界面出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触时，给导热过程带来额外的热阻。

2．接触热阻的影响因素

（1）粗糙度是产生并影响接触热阻的主要因素，接触热阻随表面粗糙度的加大而升高。

（2）接触热阻还与接触面上的挤压压力有关。对于粗糙度一定的表面，增加接触面上的挤压压力可使弹塑性材料的点接触变形从而固体问的接触面积增大，接触热阻减小。

（3）接触热阻还与两固体表面的材料硬度匹配情形，即材料的硬度等因素有关。在同样的挤压压力下，两表面的接触情形又因材料的硬度而异。在相同条件下，一个硬的表面与一个软的表面相接触，比两个硬的表面相接触的接触热阻要小。

（4）接触热阻还因空隙中介质的性质而有所不同。当空隙两侧温差加大时，空隙中介质是空气，辐射换热对接触热阻的影响将会增加。

七、二维稳态导热

1．二维稳态导热热流量

对于热导率为常数的情形，导热的热流量可按下式计算，即

2．形状因子的定义

在如上式公式中，将有关涉及物体几何形状和尺寸的因素归纳在一起，称为形状因子。

用S表示，它的单位是m。

3．不同形状和尺寸物体的形状因子

（1）一维圆筒壁稳态导热过程的形状因子为

（2）对于一维无限大平壁的形状因子为

表2-1 几种导热过程的形状因子