第4章　多元函数微积分学

一、二元函数

表4-1　二元函数

二、多元函数

表4-2　多元函数

三、二重积分

1．概念

2．性质

（1）设α与β为常数，则

（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．

（3）如果在D上，f(x，y)＝1，σ为D的面积，则

（4）如果在D上，f(x，y)≤g（x，y），则有．特殊地，由于，则．

（5）设M和m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有

3．计算

（1）利用直角坐标计算二重积分

①x型区域

设积分区域D用不等式来表示（如图4-1），其中函数、在区间上连续，则

图4-1

②y型区域

设积分区域D用不等式来表示（如图4-2），其中函数、在区间[c，d]上连续，则

图4-2

注：积分区域D既不是x型区域，又不是y型区域时，可以把D分成几部分，使每个部分是x型区域或y型区域．

（2）利用极坐标计算二重积分

f（x，y）在有界闭区域D上可积，且在极坐标变换

下，xy平面上有界闭区域D与rθ平面上区域Δ对应，则

四、无界区域上较简单的反常二重积分

1．定义

设D是平面上任一无界区域，函数在D中任意有界的、可求面积的子区域上可积，用任意光滑曲线在D中划出有限子区域,如果不论的形状如何，当以任何方式扩展到D时，极限总存在，则该极限称为函数在D上的二重反常积分，记作

2．计算

在计算无界区域上的反常二重积分时，一般选择有利于计算的特殊区域（如圆（），矩形（）等）扩展方式，然后根据不同的区域取R→∞或a→∞，讨论相应极限的存在性：极限存在时，对应的极限就是该无界区域上反常二重积分的值；极限不存在时，该积分发散．