第3章 连续信号的正交分解【视频讲解】
3.1 本章要点详解
本章要点
■信号表示为傅里叶级数
■周期信号的频谱
■傅里叶变换与非周期信号的频谱
■常用信号频谱函数
■周期信号的频谱函数
■傅里叶变换的性质
重难点导学
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一、引言
1．信号分解的基本原则
（1）子信号首先必须能够完成任意信号，且用这些子信号合成的信号应与原信号完全相符；
（2）系统对子信号的响应要容易求解，这样才能够达到简化计算的目的；
（3）系统对各个子信号的响应之间应有一定的联系，或者能够找到一个通用的表达式统一表示子信号集中各个子信号的响应。
2．信号的分解的实质
信号的分解，在某种意义上与矢量的分解有相似之处。
（1）一个信号可以对于某一函数集找出此信号在各函数中的分量；
（2）一个函数集可构成一个信号空间；
（3）用来表示信号分量的函数集有多种选取方法，常用的是正交函数集。
3．三角函数集
三角函数集，即傅里叶（Fourier）级数，是在实际应用中使用最多的正交函数集。
（1）任意一个信号都可以分解为一系列不同频率的正弦分量。
（2）每一个特定频率的正弦分量，都有它相应的幅度和相位。
（3）因此，对于一个信号，它的各分量的幅度和相位分别是频率的函数；或者合起来，它的复数幅度是频率的函数。
（4）这样，信号一方面可用一时间函数来表示，另一方面又可用一频率函数来表示，前者称为该信号在时域中的表示，后者称为在频域中的表示。
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二、正交函数集与信号分解
1．矢量的分量和矢量的分解
（1）一个矢量A1在另一个矢量A2上的分量为A1在A2上的投影，如图3-1所示。
图3-1 矢量A1在矢量A2上的分量
由矢量代数可得分量
的模
为
故有
矢量
和它的分量当然是有区别的，误差矢量为
所以，如果要求用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。
（2）矢量分解
①平面矢量分解
一个平面中的矢量A，可以在直角坐标中分解为互相垂直的两个分量Ax和Ay。
②空间矢量分解
一个三维空间中的矢量A，应当用一个三维的正交矢量集来代表它。
③n维正交矢量空间
矢量空间的概念可以引申到n维。
2．信号的分量和信号的分解
（1）函数的分量
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是函数的分解。
①在一定的区间
内，用函数
在另一函数
中的分量
来近似地代表原函数
，将有一误差函数
，且
②选择误差函数的方均值为最小
③欲求此时最小的
，令
得
④当
时
称函数和在区间
内为正交，这时和就构成了一个正交函数集。
（2）正交信号空间
①n维正交信号空间
在区间内互相正交的n个函数
、
、…、
组成一个n维的正交信号空间。
②正交函数集
此函数集的函数之间，在区间内具有如下关系
③任意一个代表信号的函数
，在区间内，可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似地表示为
（3）用完备正交函数集表示信号
①定义1
如果用正交函数集，，．．．在区间近似表示函数
若令n趋于无限大，方均误差的极限趋于零，则此函数集称为完备正交函数集。
②定义2
如果在正交函数集，，．．．之外，不存在函数
满足等式
则此函数集称为完备正交函数集。
3．复变函数的正交分解
（1）正交特性描述
若在区间内可由
来近似，使方均误差幅度最小的之最佳值是
（2）正交条件
（3）正交函数集
如果在区间内，复变函数集{
}满足
则称此为正交函数集。
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三、信号表示为傅里叶级数
1．三角傅里叶级数
因为
其中，
——三角函数的公共周期。
所以，当
，三角函数集是一正交函数集。
周期函数
在区间
内可用三角函数集表示为
在方均误差最小的条件下，有
2．复指数傅里叶级数
因为
其中，T—指数函数的公共周期。
所以，
为一完备的正交函数集。
任一函数f（t）在区间（t1，t1＋T）内可用表示为
在方均误差最小的情况下
3．周期信号展开
当周期信号
满足狄氏条件时，可展开为三角傅里叶级数或复指数傅立叶级数。
（1）狄氏条件
①在一周期内，间断点的数目有限；
②在一周期内，极大、极小值的数目有限；
③在一周期内，
。
电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当
满足狄氏条件时，
，
，
才存在。
（2）周期信号展开为三角傅里叶级数
设是周期为T的函数
（3）周期信号展开为复指数傅里叶级数
4．周期信号的对称性与傅里叶系数的关系
（1）纵轴对称（偶函数）
为偶函数，而
为奇函数。
所以，
（2）原点对称（奇函数）
为奇函数，而
为偶函数。
所以，
（3）半周镜象对称（奇谐函数）
无偶次谐波，只有奇次谐波。
（4）半周重叠（偶谐函数）
无奇次谐波，只有直流（常数）和偶次谐波。
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四．周期信号的频谱
1．频谱图概述
为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。
周期信号可用傅里叶级数来表示
An或Cn与nΩ的关系图（线图）——振幅频谱；
Φn与nΩ的关系图（线图）——相位频谱。
2．周期矩形脉冲信号的频谱
周期矩形脉冲信号，如图3-2所示。
图3-2 周期矩形脉冲信号
（1）为求该信号的频谱，可先求出傅里叶级数的复数幅度。
（2）在上式中令n＝0，求其极限值，得直流分量
（3）写出周期矩形脉冲的傅里叶级数
（4）该信号第n次谐波的幅度为
（5）令
，并依次令n＝0、n＝1、n＝2、…，分别求出A。、A1、A2、…等各次谐波的幅度值。将这些幅度值按频率高低依次排列，即可得到幅度频谱，如图3-3（a）所示。
（6）把复数幅度
的系数按其正、负值做出频谱图，如图3-3（b）所示。
或者，把指数级数的复系数等于复数幅度之半，按其正、负值做出频谱图，如图3-4（c）所示。
图3-3 周期矩形脉冲的频谱图
3．频带宽度
（1）对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，是信号所占有的频带宽度，或简称频宽。
（2）在实用中，对于包络线为抽样函数的频谱，常常把从零频率开始到频谱包络线第一次过零点的那个频率之间的频带作为信号的频带宽度。
（3）对于一般的频谱，也常以从零频率开始到频谱幅度降为包络线最大值的的频率之间的频带定义为信号的频带宽度。
4．周期信号的频谱特点
（1）离散性
谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为
。这种频谱常称为离散频谱。
（2）谐波性
谱线在频谱轴上的位置是基频
的整数倍。
（3）收敛性
各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。
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五、傅里叶变换与非周期信号的频谱
1．周期与非周期信号的关系
一定条件下，周期信号可以转化成非周期信号，转化的条件就是周期T无限趋大，或者是说，非周期信号可以看成周期信号在周期趋向无穷大时的极限。
2．频谱密度函数
以周期矩形信号为例，当周期T→∞（周期信号为非周期信号），Ω→0（离散频谱变成连续频谱
即谱线长度趋于零（无穷小）。此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。
为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入一个新的量
设周期信号
等式两边都乘以
，则当T趋于无穷大时，这个量可以避免趋于零，这个极限量可用符号
来表示
因为
具有单位频带的幅度的量纲，所以这个新的量
被称为原函数的频谱密度函
数，简称频谱函数。
3．其他重要的变换
六、常用信号频谱函数举例
（1）单边指数信号
的频谱函数；
（2）单边指数信号的频谱函数；
（3）单位冲激信号
的频谱函数；
（4）单位阶跃信号的频谱函数；
（5）指数函数
的傅里叶变换。
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七、周期信号的频谱函数
1．频谱函数
（1）一个周期信号总可以用傅里叶级数将其展开为谐波分量之和
其中
（2）此周期信号的频谱函数应为
（3）上式可写成
2．均匀冲激序列的频谱
均匀冲激序列及其频谱图，如图3-4所示。
图3-4 均匀冲激序列及其频谱
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八、傅里叶变换的性质
1．线性特性
2．延时特性
3．移频特性
4．尺度变换特性
5．奇偶特性
为实函数
为偶函数
为奇函数
6．对称特性
（1）若
，则
；
（2）若是偶函数
则：
或
（3）若是奇函数
7．微分特性
8．积分特性
9．频域的微分与积分特性
10．卷积定理
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九、帕塞瓦尔定理与能量频谱
1．概述
（1）对于能量为无限大而功率为有限值的功率信号，例如周期信号，可以考察信号功率在时域和频域中的表示式；
（2）对于功率为零而能量为有限值的能量信号，例如单脉冲信号，可以考察信号能量在时域和频域中的表示式以及信号能量在各频率分量中的分布。
2．雷利定理
这等式表明对于非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等。所以信号能量可以从时域中取积分得到，也可以从频域中取积分得到。
3．能量频谱
为了表明信号能量在频率分量中的分布，和分析幅度频谱类似，可以借助于密度的概念，来定义一个能量密度频谱函数，或简称能量频谱。矩形脉冲的能量频谱，如图3-5（c）所示。
图3-5 矩形脉冲及其频谱函数和能量频谱
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十、沃尔什函数
1．定义
沃尔什函数
有两个变量，其中t一般指时间变量，m则是表示该函数集中各函数排列顺序的序数。它是一个非负的整数，即0、1、2、……。
2．一种按沃尔什顺序或者按序率顺序排列的沃尔什函数
前八个沃尔什函数图，如图3-6所示。
图3-6 前八个沃尔什函数图