第二章 一元函数微分学
一、单项选择题
1．函数y=|π2－x2|sin2x的不可导点个数为（ ）．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解析】函数可能的不可导点为x=±π，又
故y在x=π处可导．
故y在
处可导．
因此y无不可导点．
2．若f（x）=－f（－x）,在（0,＋∞）内f′（x）>0,f″（x）>0，则在（－∞,0）内（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】可判断
为奇函数，故函数关于（0，0）对称，又
时，
，故当
时，根据
．
3．若x→0时，
的导数与x2为等阶无穷小，则f′（0）等于（ ）．
A．0
B．1
C．－1
D．
【答案】D
【解析】
4．曲线
（ ）．
A．没有渐近线
B．仅有水平渐近线
C．仅有垂直渐近线
D．既有水平渐近线又有垂直渐近线
【答案】D
【解析】因为
故
为垂直渐近线；
为水平渐近线．
5．设y=f（x）满足关系式y″－2y′＋4y=0，且f（x0）>0,f′（x0）=0,则f（x）在x0点处（ ）．
A．取得极大值
B．取得极小值
C．在x0点某邻域内单调增加
D．在x0点某邻域内单调减少
【答案】A
【解析】
故f（x）在点x0处取得极大值．
6．设f（x），g（x）具有任意阶导数，且满足
则（ ）．
A．
为
的极小值
B．为的极大值
C．
为曲线
的拐点
D．由
才能确定的极值或拐点
【答案】A
【解析】
可得
，①两边再次对x求导得
可得
，故
为
的极小值．
7．设
f（x）为连续函数，且f（0）=0,f′（x）>0，则y=F（x）在（0,＋∞）内是（ ）．
A．递增且为凹弧
B．递增且为凸弧
C．递减且为凹弧
D．递减且为凸弧
【答案】A
【解析】
因为
，故在
上单调递增，故
，故
则
在上单调递增．
则在内是凹弧．
8．
A．－1
B．1
C．0
D．∞
【答案】C
【解析】
9．
A．无穷型间断点
B．可去间断点
C．连续点
D．振荡间断点
【答案】B
【解析】
10．
A．必为（－l,l）内的奇函数
B．必为（－l,l）内的偶函数
C．必为（－l,l）内的非奇非偶函数
D．可能是奇函数也可能是偶函数
【答案】B
【解析】
11．若f（x）在x0点可导，则|f（x）|在x0点处（ ）．
A．必可导
B．连续但不一定可导
C．一定不可导
D．不连续
【答案】B
【解析】
12．已知函数f（u）可微，且y=f（esecx），则
4个结论中正确的是（ ）．
A．①②
B．③④
C．②③
D．②④
【答案】D
【解析】
13．
A．2
B．1
C．0
D．不存在
【答案】A
【解析】根据导数的定义可知，
14．若f（x）=xsin|x|，则（ ）．
A．f″（0）不存在
B．f″（0）=0
C．f″（0）=∞
D．f″（0）=π
【答案】A
【解析】对于含有绝对值的函数，求导时需讨论不同条件。
15．下列结论中正确的是（ ）．
A．若y=f（x）在x0点连续，则f′（x0）存在
B．若f′（x0）存在，则y=f（x）在x0点连续
C．若f′（x0）存在，则f′（x）在x0点连续
D．若f′（x0）存在，则y=f（x）在x0点的某邻域内一定连续
【答案】B
【解析】
16．函数y=f（x）在x0点可微的充要条件是（ ）．
A．
B．f（x）在x0点连续
C．f′（x0－0）=f′（x0＋0）
D．以上都不对
【答案】C
【解析】
17．设函数f（x）在点x=a处可导，则函数|f（x）|在点x=a处不可导的充分条件是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】此类题型适宜采用举例排除法。若
，排除C项；若
，排除D项；若
，排除A项。
18.函数f（x）=
在区间[0，＋∞）上（ ）
A．单调减少，最大值为1．
B．单调增加，最小值为1．
C．从单调增加变为单调减少，最大值为e1/2－1．
D．从单调增加变为单调减少，无最小值．
【答案】A
【解析】对函数f（x）一阶求导二阶求导得到
可知f＇（x）在区间[0，＋∞）内单调减少，则f＇（x）＜f＇（0）=0，即f（x）在区间[0，＋∞）内单调减少，f（x）＜f（0）=1，即最大值为1．
19．设f（x）=min{sinx,cosx},则f（x）在区间[0,2π]内不可导的点共有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【解析】方法一、f（x）的表达式为
f（x）的分界点为
, f（x）在区间[0,2π]内连续，除分界点为都可导。f（x）在
处的左导数为
右导数为
即f（x）在处不可导，同理证明f（x）在
处不可导，不可导点有2个。
方法二、在区间[0,2π]上画出函数f（x）的图形如右图所示，
可看出sinx与cosx图形的交点为f（x）的尖点，是不可导点，其他均为可导点。
20．设δ＞0，f（x）在（－δ，δ）有连续的三阶导数，f＇（0）=f＇＇（0）=0且
列选项中正确的是（ ）
A．f（0）是f（x）的极大值。
B．f（0）是f（x）的极小值。
C．（0，f（0））是y=f（x）的拐点。
D．x=0不是f（x）的极值点，（0，f（0））也不是y=f（x）的拐点。
【答案】C
【解析】
可知（0,f（0））是函数y=f（x）的拐点。
21．
在区间（－1，1）成立，则（ ）
A．函数F（x）必在点x=0处取得极大值。
B．函数F（x）必在点x=0处取得极小值。
C．函数F（x）在x=0处不取得极值，但点（0,F（0））是曲线y=F（x）的拐点。
D．函数F（x）在x=0处不取得极值，且点（0,F（0））也不是曲线y=F（x）的拐点。
【答案】C
【解析】根据
对F（x）求导得到
可知，曲线F（x）在区间（－1,0）是凸的，在区间[0,1）是凹的，拐点是（0,F（0））。F＇（0）是F＇（x）的最小值，F＇（0）=0，可知F＇（x）＞0（x≠0），说明F（x）在x=0处不取极值。
22．
（ ）
A．f（x）又间断点。
B．f（x）在R上连续，但在R内有不可导的点。
C．f（x）在R内处处可导，但f′（x）在R上不连续。
D．f′（x）在R上连续。
【答案】C
【解析】在区间（－∞，0]内，f（x）=x2，在（－∞，0]内连续，在（－∞，0]内可导，且
；在区间（0，＋∞）内，
，在（0，＋∞）内连续，导函数也连续。而且
说明f（x）在（－∞，＋∞）内连续，根据
知f（x）在x=0处的右导数存在且为零，故f（x）在x=0处导数存在且为零，f＇（x）在（－∞，＋∞）内处处存在。因为
说明
不存在，即f＇（x）有间断点x=0。
23．
（ ）
A．G（x）在点x=0处不连续。
B．G（x）在点x=0处连续，但导数G＇（0）不存在。
C．导数G＇（0）存在，但二阶导数G＇＇（0）不存在。
D．二阶导数G＇＇（0）存在。
【答案】D
【解析】由题设知函数f（x）在（－∞，＋∞）内是连续的，故函数G（x）在（－∞，＋∞）内可导，G＇（x）=f（x），是以x=0为分段点的函数，计算
为
可知G＇＇（0）存在且G＇＇（0）=0．
24．设函数f（x）在点x=x0的某邻域内具有二阶连续导数，
（ ）
A．f（x0）是f（x）的极大值。
B．f（x0）是f（x）的极小值。
C．（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点。
D．f（x0）不是f（x）的极值，（x0，f（x0））也不是曲线y=f（x）的拐点。
【答案】A
【解析】根据极限的保号性可知：存在δ＞0使得0＜|x－x0|＜δ时
即f″（x）＜0，因此函数f＇（x）在区间（x0－δ, x0＋δ）内单调下降，又因f＇（x0）=0，因此
故f（x0）是f（x）的极大值。
25．
A．n=1
B．n=2
C．n=3
D．n=4
【答案】C
【解析】
的导函数为：
26．
A．极限不存在
B．极限存在但不连续
C．连续但不可导
D．可导
【答案】D
【解析】因
则
27．
f（x）在x=0处（ ）．
A．不连续
B．连续但不可导
C．
D．
【答案】D
【解析】
28．
（ ）
A．
B．
C．
D．不可导
【答案】A
【解析】
29．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
30．若f（x）是在（－∞,＋∞）内可导的以l为周期的周期函数，则f′（ax＋b）（a≠0,a、b为常数）的周期为（ ）．
A．l
B．l－b
C．
D．
【答案】D
【解析】
31．
A．0．5
B．0
C．－1
D．－2
【答案】D
【解析】
32．
点（－4,0）处的法线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
33．
则曲线y=f（x）在（－1,2）处的切线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
34．
（－∞,0）内（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
35．
A．与△x同阶但不等价的无穷小
B．与△x等价的无穷小
C．比△x高阶的无穷小
D．比△x低阶的无穷小
【答案】B
【解析】
36．
A．－1
B．0.1
C．1
D．0.5
【答案】D
【解析】
37．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可以画出函数图象如图所示，
，则图像是上升且向上凹的。
38．设函数y=f（x）在区间[0,4]上的导函数的图形如右图，则f（x）（ ）
A．在（0,2）单调上升且为凸的，在（2,4）单调下降且为凹的
B．在（0,1），（3,4）单调下降，在（1,3）单调上升，在（0,2）是凹的，在（2,4）是凸的
C．在（0,1），（3,4）单调下降，在（1,3）单调上升，在（0,2）是凸的，在（2,4）是凹的
D．在（0,2）单调上升且为凹的，在（2,4）单调下降且为凸的
【答案】B
【解析】根据f＇（x）的正负号和升降解题。
x∈（0,1）或x∈（3,4）时f＇（x）＜0
f（x）在（0,1），（3,4）单调下降；当x∈（1,3）时f＇（x）＞0 f（x）在（1，3）单调上升。又f＇（x）在（0,2）单调上升 f（x）在（0,2）是凹的；f＇（x）在（2,4）单调下降 f（x）在（2,4）是凸的。
39．设f（x）是以3为周期的函数，且f＇（－1）=1，
（ ）
A．－3
B．3
C．－1/3
D．1/3
【答案】C
【解析】根据导数定义计算
40．设f（x）在[0,＋∞）上可导且有n个不同的零点：0<x1<x2<…<xn,则f（x）＋f′（x）在[0,＋∞）内正确的性质是（ ）
A．至少有n个零点
B．至少有n－1个零点
C．恰有n个零点
D．至多有n个零点
【答案】B
【解析】因为f（x）＋f′（x）与ex（f（x）＋f′（x））=（ex f′（x））′有相同的零点．
f（x）在[0，＋∞）可导且有n个不同的零点
ex f′（x）在[0，＋∞）可导且有n个不同的零点．
由罗尔定理知， ex f′（x）的两个零点之间一定有（ex f′（x））′的一个零点，因此（ex f′（x））′至少有n－1个零点，即ex（f（x）＋f′（x））也就是f（x）＋f′（x）至少有n－1个零点．
41．设f（x）在[a,b]连续，在（a,b）二阶可导，又f（a）=f（b）,f″（x）≠0（x∈（a,b））,则下列结论成立的是（ ）
A．在（a,b）内f′（x）≠0．
B． ∃ξ1,ξ2,∈（a,b）,f′（ξ1）= f′（ξ2）=0．
C． ∃唯一ξ∈（a,b）,f′（ξ）=0．
D．至少∃一点ξ∈（a,b）,f（ξ）=0．
【答案】C
【解析】由罗尔定理知∃ξ∈（a,b），f′（ξ）=0；又f″（x）≠0f″（x）在（a,b）恒正或者恒负f′（x）在（a,b）单调，f′（x）在（a，b）上单调f′（x）在（a,b）的零点是唯一的．