二、计算题
1．求极限
解：由洛必达法则，得
2．求极限
解：由泰勒公式，知
3．求极限
解：
4．求极限
解：由洛必达法则，得
5．求极限
解：令
，用洛必达法则得
6．求极限
解：由泰勒公式知，
，故
7．求极限
解：
8．求极限
解：
9．求函数
的间断点。
解：
的间断点有
，而
当
，的左右极限均不存在
故
为跳跃间断点；
为可去间断点；
和
为第二类间断点.
10．设[u]表示不超过u的最大整数，
判别
是否存在，以及
是否存在？
解：
故
不存在.
因为
成立，故当
时有
，由夹逼原理可得
.
11．
解：
12．
解：由
，令u=x2－t2，则
则
13．
解：
14．
解：因 
故
则
15．
解：由于
，则要求出
，则必须按
的取值分情况讨论：
若
，则
；
若
，则
若
，则
故
因为
连续，则
即
得
16．
解：由题意可知，
其中，
时
间断；
时，处处连续.
17．
解：
的表达式与
的取值范围有关，即
时，
；
时，
；
时，
.
则 
可知，除了
处，其他范围下均为初等函数，且有定义，故连续.所以，要使在处也连续，即
，
即
，
得
同理，在处，必须有
，即
故，时，在
内连续.
18．
并指出间断点的类型.
解：要使在
处连续，则当
时，
必须有
，即
故
时，为连续函数；
时，是跳跃间断点.
当
时，
不存在，故此时是第二类间断点.
19．
【证明】先证有界性：采用数学归纳法，
当
时，
；
当
时，假设
成立，则
.
故对一切
，都有
再证单调性：
由
故
单调减少.
综上所述，单调减少且有下界3，则
存在.
令
，则有 
即
，解得
或
.
根据保号性可知，
，则
.
20．设函数f（x）在区间（a,b）内有定义，且函数exf（x）与e－ f（x）在（a,b）内都是单调非减的，求证:函数f（x）在区间（a,b）内连续.
解：
21．
解：
22．
解：
23．设函数
,确定常数λ的最小正值，使得函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上连续.
解：当│x│=1时，由x2－1=0可得
当│x│>1时，由
可得
当│x│1时，由
可得
综上分析知
可知对任何常数λ，函数f（x）都是定义在（－∞，＋∞）上的奇函数，且在区间（－∞，－1],（－1,1）,[1,＋∞）上连续，要使函数在（－∞，＋∞）上连续，只需在x=1处左连续，即
因此函数f（x） 在（－∞，＋∞）上连续的充要条件是sinλ=1，即常数λ的最小正值为π/2。
24．确定常数a与b的取值，使得
解：根据极限的四则运算法则和洛必达法则计算极限。由题设可得
说明当x→0时ln（1－x＋2x2）＋asinx是x得二阶无穷小，因此
综合解得a=b=1