第一部分 高等数学
第一章 函数、极限、连续
一、单项选择题
1．设f（x）=
,g（x）=x3＋x4，则当x→0时，f（x）是g（x）的（ ）。
A．等价无穷小
B．同阶但非等价的无穷小
C．高阶无穷小
D．低阶无穷小
【答案】B
【解析】
故f（x）是g（x）的同阶但非等价无穷小。
2．设f（x）有连续的导数，f（0）=0,f′（0）≠0,F（x）=
,且当x→0时F′（x）与xk是同阶无穷小，则k等于（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
因为Ｆ（x）与
是同阶无穷小，故
存在且不为零，由洛必达法则可得
存在且不为零，则k=3。
3．函数
在 [－π,π]上的第一类间断点是x=（ ）.
A．0
B．1
C．－π/2
D．π/2
【答案】A
【解析】f（x）在区间[－π,π]上的间断点有x=0,1,±π/2，而
故x=0是第一类间断点。
4．设f（x）和g（x）在 （－∞,＋ ∞）内可导，且f（x）＜g（x）,则必有（ ）.
A． f（－x）＞g（－x）
B． f′（x）＜g′（x）
C．
D．
【答案】C
【解析】因为f（x）、g（x）均可导，故
、
在
处连续，故
又f（x0）<g（x0）,所以有
。
5．设f（x），g（x）定义在（－1，1）上，且都在x=0处连续，若
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】故在x=0处连续，故
可见
。
6．设在区间（－∞,＋∞）内函数f（x）>0，且当k为大于0的常数时有
则在区间（－∞，＋∞）内函数f（x）是（ ）.
A．奇函数
B．偶函数
C．周期函数
D．单调函数
【答案】C
【解析】对该函数由f（x＋2k）=
=f（x）,故f（x）的周期函数。
7．
是（ ）.
A．有界函数
B．单调函数
C．周期函数
D．偶函数
【答案】D
【解析】因f（－x）=|（－x）sin（－x）|ecos（－x）=f（x）,故f（x）为偶函数。
8．设f（x）在（－∞,＋∞）内可导，且对任意x2>x1，都有f（x2）>f（x1），则正确的结论是（ ）.
A．对任意
B．对任意
C．函数
单调增加
D．函数
单调增加
【答案】C
【解析】
令F（x）=－f（－x）,由题知x2>x1,则－x2<－x1，则有f（－x2）<f（－x1）,即－f（－x2）>－f（－x1），即F（x2）>F（x1）单调增加，C正确。
取f（x）=x3,可排除A项。取f（x）=x,可排除BD两项。
9．设
，则f（x） =（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】Ｃ
【解析】
因f（x＋1）=
,令t=x＋1，则f（t）=et＋1
即f（x）=ex＋1
10．设x→x0时，α（x）,β（x）,γ（x）都是无穷小，且α（x）=o[β（x）], β（x）～γ（x）,则
（ ）.
A．0
B．1
C．2
D．∞
【答案】B
【解析】因
时，
，
故
11．设0<a<b,则
=（ ）.
A．a
B．a－1
C．b
D．b－1
【答案】B
【解析】
12．“对任意给定的ε∈（0,1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn－a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的（ ）.
A．充分条件但非必要条件
B．必要条件但非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】对于任意给定的ε>0总
正整数N，使当n>N时，|xn－a|<ε,则称数列{xn}收敛于a。这是数列的极限的精确定义。其中，ε要任意小，才能使|xn－a|任意小。题目可改为：对任意ε1=2ε∈（0，2）>0,总正整数N1，使当n≥N>N1时，|xn－a|<2ε=ε1,则称{xn}收敛于a，其中ε1∈（0,2）可以任意小，则|xn－a|可以任意小，这两种说法是等价的。
13．下列极限存在的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
即
存在。
14．
（ ）.
A．0
B．1
C．
D．不存在
【答案】D
【解析】
因
故
不存在。
15．若
f（x）=0,则（ ）.
A．当
为任意函数时，有
B．当为有界函数有
C．仅当为常数函数时，有
D．仅当
时，有
【答案】B
【解析】有题设可知，x→x0时f（x）为无穷小，而g（x）为有界函数，则
。
16．当x→时，f（x）=x－sin（ax）与g（x）=x2ln（1－bx）是等价无穷小，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知
即
则
于是
故
17．设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（ ）.
A．若
收敛，则
收敛
B．若单调，则收敛
C．若收敛，则收敛
D．若单调，则收敛
【答案】B
【解析】由题意知，若{xn}单调，则{f（xn）}单调有界，则{f（xn）}一定存在极限，即{f（xn）}收敛。
18．设x→0时，etanx－ex与xn是同阶无穷小，则n为（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
故n=3
19．当x→0＋时，与
等价的无穷小量是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
故
20．若
，则必有（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
又
由以上二式得a=2,b=－8
本题用排除法更简单，在得到4＋2a＋b=0后即可排除ABC三项。
21．已知
，则必有（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
22．当x→0时，变量
是（ ）.
A．无穷小量
B．无穷大量
C．有界的但不是无穷小
D．无界的但不是无穷大
【答案】D
【解析】
（1）当
时
k绝对值无限增大时，x→0，|
|=（2kπ＋
）2大于任意给定的正数M。
（2）当x=1/2kπ（k=±1，±2，…）时，=0.
k绝对值无限增大时，x→0。
纵上所述，x→0时，是无界的但不是无穷大。
23．函数f（x）=xsinx（ ）.
A．当
时为无穷大量
B．在
内有界
C．在内无界
D．当时有有限极限
【答案】C
【解析】
（1）当x=（2kπ＋）（k=±1，±2，…）时，|k|无限增大时，
|f（x）|=|2kπ＋|≥2π|k|－大于任意给定的正数M，故f（x）=xsinx在（－∞，＋∞）内无界。
（2）当x=2kπ时，f（x）=0。
综上所述，当x→∞时，f（x）无界。
24．设函数
，则下列结论成立的是（ ）。
A．
无间断点
B．有间断点
C．有间断点
D．有间断点
【答案】B
【解析】由
可知f（x）的间断点为x=1，x=－1为连续点。
25．函数
的可去间断点的个数为（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．无穷多个
【答案】C
【解析】根据函数的定义，可知，sinπx=0（x=0，±1，±2，…时），f（x）无定义，
则x=0，±1，±2，…均是函数的间断点。
又
故函数的可去间断点为x=0和x=±1。
26．设函数
，则f（x）有（ ）.
A．1个可去间断点，1个跳跃间断点
B．1个可去间断点，1个无穷间断点
C．2个跳跃间断点
D．2个无穷间断点
【答案】A
【解析】
27．
（ ）.
A．在x=0处左极限不存在
B．有跳跃间断点x=0
C．在x=0处右极限不存在
D．有可去间断点x=0
【答案】D
【解析】
28．
（ ）.
A．高阶无穷小
B．低阶无穷小
C．同阶非等价无穷小
D．等价无穷小
【答案】C
【解析】
29．
（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
30．
则C=（ ）.
A．0
B．1
C．不存在
D．－1
【答案】A
【解析】
31．
（ ）.
A．0
B．1
C．1/2
D．－1/2
【答案】D
【解析】
32．已知f（x）和g（x）在x=0点的某邻域内连续，且x→0时f（x）是g（x）的高阶无穷小，则当x→0时，
（ ）.
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．同阶但不等价无穷小
D．等价无穷小
【答案】B
【解析】
33．下列有关极限的四个命题
中正确的是（ ）
A． ①与②
B． ②与③
C． ③与④
D． ①与④
【答案】C
34．函数
的定义域是（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
【答案】D
【解析】由题意得，
，解得：
.
35．极限
（ ）
A． 1 B． 0 C． －1 D． 不存在
【答案】A
【解析】
36．设f（x）=g（x） φ（x），其中g（x）， φ（x）在x=x0邻域U有定义，g（x）在x=x0连续，φ（x）在x=x0不连续，但在U有界，则g（x0）=0是f（x） 在x=x0连续的（ ）。
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】若g（x0）= 0 ，由假设条件：
在x0领域U有界
在x= x0连续.
若f（x） 在x= x0连续，可证g（x0）= 0，若g（x0）≠0，
在x = x0 连续，与已知矛盾.因此g（x0） = 0.
37.f（x）在x0处存在左、右导数，则f（x）在x0点（ ）。
A．可导
B．连续
C．不可导
D．不连续
【答案】B
【解析】直接从条件出发，由
左、右均连续，
f（x）在在x=x0连续；f′（x）在x0处的左、右导数存在并相等时，则则f（x）在x0处可导.
38．下列命题连续
①φ（x）在x=x0连续， f（u）在u=u0=φ（x0）连续，则f（φ（x））在x=x0连续.
②φ（x）在x=x0连续， f（u）在u=u0=φ（x0）不连续，则f（φ（x））在x=x0不连续.
③φ（x）在x=x0不连续， f（u）在u=u0=φ（x0）连续，则f（φ（x））在x=x0不连续.
④φ（x）在x=x0不连续， f（u）在u=u0=φ（x0）不连续，则f（φ（x））在x=x0可能连续.
中正确的个数是（ ）。
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】在复合函数连续性问题的结论中，①和④是正确的，其他是不确定的，因而②和③不正确.
39．若函数f（x）=arcsinx－tanx，当x→0时与Kxp是等量无穷小量，则（ ）
A．K=－1/6,p=2
B．K=－1/6,p=3
C．K=1/6,p=2
D．K=1/6,p=3
【答案】B
【解析】根据题意可知
运用极限的四则运算法则和洛必达法则有
故K=1/6，p=3。
40．设函数f（x）=x－sin（sinx），则当x→0时f（x）是x的（ ）
A．三阶无穷小量
B．四阶无穷小量
C．五阶无穷小量
D．六阶无穷小量
【答案】A
【解析】根据题意应求极限
，其中k为待定常数，k>0。
可知
，说明当x→0时，函数f（x）是x的三阶无穷小量。
41．设函数
则点x=0是f（x）的（ ）
A．跳跃间断点
B．可去间断点
C．第二类间断点
D．连续点
【答案】A
【解析】由
，可得
由此可知点x=0是函数f（x）的一个跳跃间断点。