第1章　信号与系统

1.1　复习笔记

一、连续时间和离散时间信号

1连续时间信号和离散时间信号

（1）连续时间信号（图1-1（a））

①定义

连续时间信号是指自变量连续可变的信号，信号在自变量的连续值上都有定义。

②表示方法

自变量用t表示，表示连续时间。连续时间信号表示为x(t)。

（2）离散时间信号（图1-1（b））

①定义

离散时间信号自变量仅取在一组离散值的信号，信号仅定义在离散时刻点上。

②表示方法

自变量用n表示，表示离散时间。离散时间信号表示为x[n]。

图1-1　信号的图形表示

（a）连续时间表示；（b）离散时间信号

2．信号能量与功率

（1）有限区间内信号的总能量与功率

①连续时间信号x(t)在内的总能量

其中|x|记为x（可能为复数）的模。将上式除以长度t₂－t₁就可得到其平均功率。

②离散时间信号x[n]在内的的总能量

将其除以区间内的点数就得到在该区间内的平均功率。

（2）无穷区间的信号总能量与功率

①连续时间信号x(t)在无穷区间的总能量

无限区间内连续时间信号x(t)的平均功率

②离散时间信号x[n]在无穷区间的总能量

无限区间内离散时间信号x[n]的平均功率

（3）根据信号能量和功率的有限性分类

①信号具有有限的总能量，即，这种信号的平均功率为零。

②平均功率P_∞有限的信号，其能量无穷大。

③P_∞和E_∞都无限的信号。

二、自变量的变换

1基本变换

（1）时移

①x（t－t₀）代表一个延时|t₀|（若t₀为正）的x(t)，或超前|t₀|（若t₀为负）的x(t)。

②代表一个延时个单位（若为自然数）的序列x[n]，或超前个单位（若为负整数）的序列x[n]。

（2）时间反转

①是从信号x(t)以t＝0为轴反转而得的。

②是将x[n]以n＝0为轴反转而得到的。

（3）扩展与压缩

信号x（αt＋β）（α和β都是给定的数）由原信号x(t)线性的扩展（若|α|＜1）或压缩（若|α|＞1），时间上的反转（若α＜0）及移位（若β≠0）得到。

2．周期信号与非周期信号

（1）周期信号

①连续时间周期信号

a．定义

连续时间周期信号是指存在一个正值的T，对所有的t都有的信号。即当一个周期信号时移T后其值不变。

b．最小正值T称为x(t)的基波周期T₀。

②离散时间周期信号

a．定义

离散时间周期信号是指存在一个正整数N对所有的n值都有的信号。即当一个周期序列时移N后其值不变。

b．最小正值N称为它的基波周期N₀。

（2）非周期信号

非周期信号是指不具有周期的信号。

3．偶信号与奇信号

（1）偶信号

①定义

偶信号是指以原点为轴反转后不变的信号。

②在连续时间情况下，偶信号满足。

③在离散时间情况下，偶信号满足。

（2）奇信号

①定义

奇信号是指以原点为轴反转后与原信号相差一个负号的信号。

②在连续时间情况下，奇信号满足。

③在离散时间情况下，奇信号满足。

（3）任何信号＝一个偶信号＋一个奇信号

分别称为ｘ(t)的偶部和奇部。

三、指数信号与正弦信号

1连续时间复指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号具有如下形式

其中C和a一般为复数。

（1）实指数信号

实指数信号是指C和α都是实数的x(t)。α的正负对波形的影响：

①若α是正实数，那么x(t)随t的增加而呈指数增长。

②若α是负实数，那么x(t)随t的增加而呈指数衰减。

（2）周期复指数和正弦信号

①周期复指数是α为纯虚数的信号，例如。

②正弦信号：。

③周期复指数和正弦信号之间的相互转化

a．利用欧拉关系，复指数信号可以用与其相同基波周期的正弦信号来表示

b．正弦信号也能用相同基波周期的复指数信号来表示

（3）一般复指数信号

一般复指数信号是指C和α至少有一个为复数的信号。由和有；利用欧拉关系，可展开为

意义：

①若r＝0，则复指数信号的实部和虚部都是正弦的；

②若r＞0，其实部和虚部则是一个振幅呈指数增长的正弦信号；

③若r＜0，其实部和虚部则是一个振幅呈指数衰减的正弦信号。

2．离散时间复指数信号与正弦信号

复指数序列（C和α一般均为复数）；若令则。

（1）实指数信号

实指数信号是指C和α都是实数的信号。

①若|α|＞1，则信号随n呈指数增长；

②若|α|＜1，则信号随n呈指数衰减。

③若α是正值，则的所有值都具有同一符号；

④若α为负值，则的符号交替变化；

⑤若就是一个常数；

⑥若的值就在＋C和－C之间交替变化。

（2）正弦信号

正弦信号是指C局限为纯虚数（即）的信号。

①利用欧拉公式可以将复指数和正弦序列联系起来

和

②将C和α均以极坐标形式给出，即和，则有

a．对|α|＝1，复指数序列的实部和虚部都是正弦序列。

b．对|α|＜1，其实部和虚部为正弦序列乘以一个呈指数衰减的序列。

c．对|α|＞1，其实部和虚部为正弦序列乘以一个呈指数增长的序列。

3．离散时间复指数序列的周期性质

（1）离散时间指数信号的周期性的要求

为了使信号e^jω0n是周期的，周期为N＞0，就必须有

也就是要求ω₀N必须是2π的整数倍，即必须有一个整数m，满足：

或

（2）意义

a．若为一个有理数，e^jω0n就是周期的；否则就不是周期的。

b．若离散序列是周期的，那么其基波周期为。

四、单位冲激与单位阶跃函数

1离散时间单位脉冲和单位阶跃序列

（1）单位脉冲（即单位样本）

（2）单位阶跃

（3）离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的关系

①离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分：

②离散时间阶跃是单位样本的求和函数：

因为u[n]在时为0，而在时为1，故将求和变量从m改变为后得到

或者

（4）单位脉冲序列的采样

在处的单位脉冲即对信号x[n]在n0处的采样

2．连续时间单位阶跃和单位冲激函数

（1）连续时间单位阶跃函数

（2）连续时间单位阶跃与单位冲激的关系

①连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数

连续时间单位阶跃和单位冲激函数之间的关系的另一种形式，即

  ②连续时间单位冲激可看成连续时间单位阶跃的一次微分

（3）冲激函数的采样作用

五、连续时间和离散时间系统

1系统的分类

（1）连续时间系统

①定义

连续时间系统是指输入的信号是连续时间信号，系统产生的输出也是连续时间信号的系统。（图1-2（a））

②输入-输出关系

x(t)是输入，y(t)是输出则连续时间系统的输入-输出关系为：

（2）离散时间系统

①定义

离散时间系统是指将离散时间输入信号变换为离散时间输出信号的系统。（图1-2（b））

②输入-输出关系

图1-2　（a）连续时间系统；（b）离散时间系统

2．系统的互联

（1）串联（或称级联）

系统1的输出就是系统2的输入，而整个系统变换输入信号首先由系统1处理，然后再由系统2处理。（图1-3（a））

（2）并联

系统l和系统2具有相同的输入。图中的符号表示相加，所以并联后的输出是系统l和2的输出之和。（图1-3（b））

可以定义两个系统以上的并联，并且还能将级联和并联组合起来，以得到更复杂的互联。

图1-3　两个系统的互联（a）级联；（b）并联；（c）级联-并联联接

（3）反馈互联

系统l的输出是系统2的输入，而系统2的输出又反馈回来与外加的输入信号一起组成系统l的真正输入。（图1-4）

图1-4　系统的反馈互联

六、基本系统性质

1记忆系统与无记忆系统

（1）无记忆系统

无记忆系统是指对自变量的每一个值，输出仅仅取决于该时刻的输入的系统。

（2）记忆系统

记忆系统是指对自变量的每一个值，输出不仅仅取决于该时刻的输入，还与之前系统的状态有关的系统。

该系统具有保留或存储不是当前时刻输入信息的功能。

2．可逆性与可逆系统

（1）定义

可逆系统是指在不同的输入下会导致不同的输出的系统。

（2）特点

当逆系统与原系统级联后，输出等于第一个系统的输入。

3．因果性

（1）因果系统（又称不可预测的系统）

因果系统是指在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入的系统。

（2）特点

①若两个输入直到某一个时间t₀或n₀以前都是相同的，那么在这同一时间以前相应的输出也一定相等。

②所有的无记忆系统都是因果的，因为输出仅仅对当前的输入值做出响应。

4．稳定性

（1）稳定系统

一个稳定系统在小的输入下的响应是不会发散的。

（2）对于离散稳定系统

输入x[n]是有界的，输出y[n]也是有界的。

5．时不变性

（1）定义

若系统的特性和行为不随时间而变，该系统就是时不变的。

（2）特点

如果在输入信号上有一个时移，在输出信号中产生同样的时移。

①若y[n]是一个离散时间时不变系统在输入为x[n]时的输出

则当输入为x[n－n₀]时，输出就为y[n－n₀]。

②若y(t)是一个连续时间时不变系统的在输入为x(t)时的输出

则当输入为x（t－t₀）时，输出y（t－t₀）。

6．线性

令y₁(t)是一个连续时间系统对输入x₁(t)的响应，而y₂(t)是对应于输入x₂(t)的输出，那么一个线性系统就应该有：

（1）可加性

y₁(t)＋y₂(t)是对x₁(t)＋x₂(t)的响应。

（2）比例性或齐次性

ay₁(t)是对ax₁(t)的响应（a为任意复常数）。

（3）叠加性（＝可加性＋齐次性）

如果某一个输入是由几个信号的加权和组成的，那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权和。

①对于连续时间，。

②对于离散时间，。

（4）系统的总输出＝线性系统的响应＋零输入响应

图1-5　一种增量线性系统的结构

y₀(t)是系统的零输入响应

在连续或离散时间系统中，其响应对输入中的变化是线性的。即对增量线性系统而言，对任意两个输入的响应的差是两个输入差的线性函数。