第4章　电路的等效变换

4.1　考点归纳

一、Δ-Y（π-T）等效电路

1．Δ互连

Δ互连是指下图所示电阻Ra，R_b和R_c的连接结构，又称π互连，Δ互连和π互连的电等效性为

图4-1-1　Δ结构和π结构的电等效性

2．Y互连

Y互连是指下图中所示电阻R₁，R₂和R₃的连接结构，又称T互连，Y结构和T结构的电等效性为

图4-1-2　Y结构和T结构的电等效性

Δ-Y等效电路的变换

（1）等效电路变换

图4-1-3　Δ-Y变换

（2）等效电路计算

①Y结构等效Δ结构

用Δ连接电阻表示的Y连接电阻的函数为

②Δ结构等效Y结构

用Y连接电阻表示的Δ连接电阻的函数为

4．总结

表4-1-1　电阻的Y形和△形连接及其等效变换

二、平衡电桥电路

1．电桥结构

如图所示，当时，电桥平衡，此时c点电位与f点电位相等，电阻R上电流为零。故电位相等的点可短接，电流为零的支路可断开，等效为图4-1-4(c)的形式。

  　

(a)　  　(b) (c)

图4-1-4　电桥电路

2．惠斯通电桥的结构

（1）电桥电路包含四个电阻、一个直流电压源和一个检流计。即

图4-1-5　惠斯通电桥电路

图中，直流电压源通常使用电池，R₁，R₂和R₃是已知电阻，带箭头的电阻R₃是可变电阻，R_x是未知电阻。

（2）电桥的测量方法

计算R_x，需调节电桥平衡，即调节可变电阻R₃，直到检流计中的电流为零。计算未知电阻为

三、无源二端网络的输入电阻

如图所示，输入电阻为R_i=u/i，u、i为端口电压、电流，且为关联参考方向。

图4-1-6

无源二端网络的输入电阻和其等效电阻的数值是相等的。故可通过求等效电阻来得到输入电阻的值，输入电阻的求解方法如表4-2所示。

表4-1-2　输入电阻的求解方法

1．外加电压法

在端口加以电压源u_s，然后求出端口电流i，再求比值u_s/i，即为输入电阻。

2．外加电流法

在端口加以电流源i_s，然后求出端口电压u，再求比值u/i_s，即为输入电阻。

四、含源支路的等效变换

1．理想电源的串、并联

表4-1-3　理想电源的串并联等效

（1）理想电压源的并联

根据KVL，仅当理想电压源的电压相等及极性一致时才能够并联，且可用任一个理想电压源作为其等效电路。

（2）理想电流源的串联

根据KCL，仅当理想电流源的电流相等及极性一致时才能够串联，且可用任一个理想电流源作为其等效电路。

2．实际电源模型的等效变换

（1）实际电源的两种电路模型为理想电压源与电阻的串联组合或者是理想电流源与电阻的并联组合，两者可以等效变换，其关系如下表。

表4-1-4　实际电源模型与等效变换

①互换时，电压源电压的极性与电流源电流的方向要一致；

②受控电流源与受控电压源的等效变换与实际电源的等效变换方法类似，把受控源当独立源处理，在变换的过程中控制量必须保持完整而不被改变。

五、等效电源定理

1．等效电压源定理

等效电压源定理又称戴维南定理，其将一个含源单口网络等效为一个实际电压源模型。

（1）定理

任何一个线性含源单口网络，对外电路而言，可用一个电压源和一个电阻的串联组合来等效置换。其电压源的电压为该单口网络的开路电压U_oc，电阻为该单口网络的除源输入电阻R₀，如下图所示。

图4-1-7　戴维南等效电路

（2）意义

戴维南定理反映用等效电压源置换含源单口网络后，对外电路没有任何影响，即外电路的电压和电流不会有任何变化。

（3）说明

①戴维南定理只适用于线性电路；

②电压源和电阻的串联组合称为戴维南等效电路，电阻R₀称为戴维南等效电阻；

③除源输入电阻R₀是指将原单口网络内的独立电源置零，受控源保留，从其端口所得到的等效电阻；

④应用戴维南定理时，在含源单口网络和外电路之间无任何耦合；

⑤需留意等效电路中电压源的电压参考方向。

2．等效电流源定理

等效电流源定理又称诺顿定理，其将一个含源单口网络等效为一个实际电流源模型。

（1）定理

任何一个线性含源单口网络，对外电路而言，可用一个电流源和一个电阻的并联组合来等效置换。其电流源的电流为该单口网络的短路电流I_oc，电阻为该单口网络的除源输入电阻R₀，如下图所示。

图4-1-8　诺顿等效电路

（2）意义

诺顿定理反映用等效电流源置换含源单口网络后，对外电路无任何影响，即外电路的电压和电流不会有任何变化。

（3）说明

①诺顿定理只能适用于线性电路；

②电流源和电阻的并联组合称为诺顿等效电路，电阻R₀称为诺顿等效电阻；

③除源输入电阻R₀是指将原单口网络内的独立电源置零，受控源保留，从其端口所得到的等效电阻；

④应用诺顿定理时，在含源单口网络和外电路之间无任何耦合；

⑤需留意等效电路中电流源的电流方向。

3．等效电源定理的应用

（1）化简含源单口网络

将一个含源单口网络等效为一个实际电源模型，故只须求出对应的等效电源参数即可。

（2）计算电路中某支路的响应

步骤如下：

①移去待求支路，使电路成为一个含源单口网络。

②求所得到的含源单口网络的开路电压U_oc或短路电流I_oc。

③求所得到的含源单口网络的除源输入电阻R₀。其方法有3种：

a．对于不含受控源网络，在除源后采用串、并联及Y形与△形等效变换求得等效输入电阻。

b．对于含受控源网络，在除源后可采用外加电源法，找出端口电压u与端口电流i的关系，其等效输入电阻为端口电压“与端口电流i的比值。即

若只能等效为一个电流源的单口网络（=∞或=0），则只能用诺顿定理等效；

若只能等效为一个电压源的单口网络（=0或=∞），则只能用戴维宁定理等效。

c．采用开路短路法，在不除源条件下求得含源单口网络的开路电压U_oc和短路电流I_oc，其等效输入电阻为开路电压U_oc和短路电流I_oc的比值。即

当开路电压U_oc和短路电流I_oc均为零时，无法求解。

④画出相应的等效电源电路，接入所移去待求支路，求出待求支路响应。

a．当单口网络内含有受控源时，其输入等效电阻有可能等于零，其等效电路成为一个理想的电压源，在这种情况下，对应的诺顿等效电路就不存在。

b．若输入等效电导等于零，其等效电路成为一个理想的电流源，在这种情况下，对应的戴维南等效电路就不存在。