1.2　典型题（含考研真题）详解

1．设为一整系数多项式，不能整除，证明：无整数根．[北京大学2008研]

证明：记，假设存在整数，使得或．则必存在，使得．

因为是整系数多项式，因而有．

由此推出，即能整除，矛盾！

2．求多项式f(x)＝x⁵－5x⁴＋7x³－2x²＋4x－8在有理数域、实数域和复数域上的标准分解式．[北京交通大学2007研]

解：由余数定理可知f(x)的有理根只可能为±1，±2，±4，±8，通过试根得x＝2是三重根，因此用综合除法可得f(x)＝(x－2)³(x²＋x＋1)， 于是f(x)在有理数域和实数域上的标准分解式都是f(x)＝(x－2)³(x²＋x＋1)，在复数域上的标准分解式为

f(x)＝(x－2)^3．

3．证明：如果（f(x），g(x))＝1，那么(f(x)g(x)；f(x)＋g(x))＝1．[北京交通大学2007研]

证明：设(f(x)g(x)；f(x)＋g(x))＝d(x)≠1，则存在不可约多项式p(x)使得p(x)|d(x)．于是有p(x)|f(x)g(x)，因而p(x)|f(x)或p(x)|g(x)．此外，还有

p(x)|f(x)＋g(x)，

所以

p(x)|f(x)且p(x)|g(x)．故p(x)|(f(x)；g(x))，

矛盾产生．

4．证明：数域F上的一个n次多项式能被它的导数整除的充要条件是，（其中a，b是F中的数）．[湖南大学2005研]

证明：充分性．设，则，显然有．

必要性．若．则，从而的次数＝n-1．设的标准分解式为

，则，所以，

的次数

的次数，从而，且为一次因式．

5．设与是中两个多项式，证明：与互素当且仅当与互素（其中n为正整数）．[湖南大学2006研]

证明：与互素，那么，存在中两个多项式，，使得

，从而．

反过来，设与互素．如果与不互素，那么，存在中两个多项式，，使得是大于0次的多项式，是大于0次的多项式，矛盾．

6．设多项式，，，

．证明：存在和，使得

，且，k＝1，2．[湖南大学2007研]

证明：存在，，使得

，

两边同时乘，有，　  （*）

若，由带余除法，存在，，使得

　 

代入（*）有，，令，则，因为，

，则，结合

，有．

7．设，．求，使得

．[中山大学2008研]

解：由带余除法可得，．再由辗转相除法可得

，

故．

于是令

，，则

．

8．设，其中．令

．

证明：不可约当且仅当不可约．[中山大学2008研]

证明：反证法．因为，若不是不可约的，则存在，满足：

，，，且．

记，，则

，

其中，．因此不是不可约多项式．

同理可知若不是不可约多项式，则也不是不可约多项式．

综上所述，是不可约多项式的充要条件是是不可约多项式．

9．如果，证明：f（x）有n重根，其中

证明：由，知f＇（x）是f（x）与f＇（x）的最大公因式，注意到

，

则

是一次多项式，设，注意到f（x）与φ（x）有相同的不可约因式

故，于是f（x）有n重根．

10．求多项式xⁿ-1在复数域和实数域上的标准分解式．

解：（1）在复数范围内xⁿ-1有n个复根

故

（2）在实数域范围内．

又

当n为奇数时，xⁿ－1恰有一个实根ω₀＝1，因而

当n为偶数时，xⁿ－1有两个实根因而

11．设a，b是两个固定整数，Z为整数环．证明：

（1）是数环；

（2）有正整数d使

证明：（1）R对加、减法封闭显然．又因为

故R对乘法也封闭，从而R作成数环．

（2）设d＝（a，b），则存在整数ｓ，t使故

另一方面任取则因，，故．从而

反之，若则易知

12．设f（x）与g（x）为P[x]上两个次数大于0的多项式．

证明：若（f（x），g（x））＝1，则，使

其中并且满足这样条件的是唯一的．

证明：因为（f（x），g（x））＝1，故存在s（x），t（x）∈P[x]，使

s（x）f（x）＋t（x）g（x）＝1．　  （1）

由于f（x）、g（x）的次数均大于0，故

代入式（1）得

由此等式知

从而有

　  （2）

设还有

　 （3）

其中

式（2）－式（3）得

于是

结合（g（x），f（x））＝1知

但 

所以，从而

同理　 

13．设其中，m，n，，p为非负整数，则g（x）丨f（x）的充要条件是m，n，p具有相同的奇偶性．

证明：设的两根为，则

又因为g（x）丨f（x），所以g（x）的根都是f（x）的根．所以

两式相加得

即　

所以　 

因此，m为奇数n，p为奇数；m为偶数n，p为偶数．

：当m，n，p同为奇数，或同为偶数时，

 

由g（ω₁）＝0知，ω₁是f（x）的根．同理ω₂是f（x）的根．

，所以g（x）丨f（x）．

14．设P是一个数集，有一个非零数，且P关于减法与除法（除数不为0）封闭，证明P是一个数域．

证明：

有

即证加法封闭．

，若x，y中有一为0，则．若xy≠0，则

即证乘法封闭．

综上可知，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所以P是一个数域．

15．设行为正整数，都是多项式，并且

证明：

证明：设是不为1的所有n＋1次单位根，则

这里，于是

　  （1-5）

是以为未知量的齐次线性方程组．由（1-5）的系数行列式

则（1-5）只有零解，即，因而，故