第一部分 历年真题
2013年成人高考专科起点升本科《高等数学（二）》真题及详解
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项．
1．
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数在x＝
处连续，所以
．
2．设函数y＝ex－ln3，则
＝（ ）．
A．ex
B．ex＋
C．
D．ex－
【答案】A
【解析】
．
3．设函数
＝ln（3x），则
＝（ ）．
A．6
B．ln6
C．
D．
【答案】C
【解析】
，故
．
4．函数＝1－x3在区间（－∞，＋∞）（ ）．
A．单调增加
B．单调减少
C．先单调增加，后单调减少
D．先单调减少，后单调增加
【答案】B
【解析】对任意的x≠0，有
，仅当x＝0时，f(x)的一阶导数为0，故函数在（－∞，＋∞）上单调减少．
5．
（ ）．
A．
＋C
B．lnx2＋C
C．
＋C
D．
＋C
【答案】C
【解析】根据积分公式可得
．
6．
（ ）．
A．
B．0
C．
D．2
【答案】A
【解析】变限积分函数求导，
．
7．曲线y＝|x|与直线y＝2所围成的平面图形的面积为（ ）．
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】曲线y＝|x|与直线y＝2的交点为（
2，2），（2，2）围成的平面图形为三角形，故面积为
．
8．设函数z＝cos（x＋y），则
＝（ ）．
A．cos2
B．－cos2
C．sin2
D．－sin2
【答案】D
【解析】
，
．
9．设函数z＝xey，则
（ ）．
A．ex
B．ey
C．xey
D．yex
【答案】B
【解析】
，
．
10．设A，B是两随机事件，则事件A－B表示（ ）．
A．事件A，B都发生
B．事件B发生而事件A不发生
C．事件A发生而事件B不发生
D．事件A，B都不发生
【答案】C
【解析】事件A－B表示事件A发生而事件B不发生．
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．将答案填写在题中横线上．
11．
______．
【答案】－1
【解析】
．
12．设函数
在x＝1处连续，则a＝______．
【答案】1
【解析】因为函数在x＝1处连续，则有
，
，
，故
，
＝1．
13．曲线y＝x3－3x2＋5x－4的拐点坐标为______．
【答案】（1，－1）
【解析】
，令
，得
，
.当
时，
；当
时，
.故（1，－1）为曲线的拐点．
14．设函数y＝
，则
＝______．
【答案】ex＋1
【解析】
，
．
15．
______．
【答案】e3
【解析】利用重要极限
，得
．
16．设曲线y＝ax2＋2x在点（1，a＋2）处的切线与直线y＝4x平行，则a＝______．
【答案】1
【解析】
，由题意得
，则a＝1．
17．
＝______．
【答案】
＋C
【解析】
．
18．
______．
【答案】0
【解析】因为积分区间关于原点对称，被积函数
为奇函数，故
．
19．
______．
【答案】1
【解析】
．
20．设函数z＝x2＋lny，则dz＝______．
【答案】2xdx＋
dy
【解析】
，故
．
三、解答题：21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．
21．计算
（本题满分8分）
解：此处为
型极限，可使用洛必达法则
22．设函数y＝sinx2＋2x，求dy．（本题满分8分）
解： 
23．计算
（本题满分8分）
解： 
24．计算
（本题满分8分）
解： 
25．己知离散型随机变量X的概率分布为
（1）求常数a；
（2）求X的数学期望EX．（本题满分8分）
解：（1）因为0.2＋0.1＋0.5＋a＝1，所以a＝0.2．
（2）EX＝10×0.2＋20×0.1＋30×0.5＋40×0.2＝27．
26．求曲线y＝x2与直线y＝0，x＝1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．（本题满分10分）
解：
27．求函数＝x3－3x2－9x＋2的单调区间和极值．（本题满分10分）
解：函数的定义域为（－∞，＋∞）．
＝3x2－6x－9＝3（x＋1）（x－3），
令＝0，得驻点x1＝1，x2＝3．
因此的单调增区间是（－∞，－1），（3，＋∞）；单调减区间是（－1，3）．
的极小值为
＝－25，极大值
＝7．
28．求函数
＝x2＋y2在条件2x＋3y＝1下的极值．（本题满分10分）
解：求条件极值，作拉普拉斯辅助函数
F（x，y，λ）＝＋λ（2x＋3y－1）
得
．
因此，在条件2x＋3y＝1下的极值为
．