第2章　导数与微分

2.1　考点归纳

一、导数

1．导数的定义

f定义在U（x₀）上，若极限

存在，则称f在点x₀处可导，其中Δx为自变量x的增量．

（1）左导数

（2）右导数

2．切线方程

曲线y＝f（x）在点M（x₀，y₀）处的切线方程为

3．法线方程

如果，法线的斜率为，法线方程为．

4．求导法则

（1）和、差、积、商的求导法则

（2）反函数的求导法则

如果函数x＝f（ｙ）在区间I_y内单调、可导且f'（ｙ）≠0，则它的反函数在区间内也可导，且

（3）复合函数的求导法则

如果u＝g（x）在点x可导，而y＝f（u）在点u＝g（x）可导，则复合函数y＝f［g（x）]在点x可导，且其导数为

5．求导公式

6．含参变量函数的导数

若，则　

7．高阶导数

（1）二阶导数

（2）常见函数的n阶导数

①指数函数的n阶导数

②正弦函数的n阶导数

③余弦函数的n阶导数

④的n阶导数

⑤幂函数的n阶导数（是任意常数）

特别

（3）莱布尼茨公式

或

二、微分

1．微分的定义

定义在U（x₀）上，，如果可表示为，则称在点可微，称为函数在点相应于自变量增量的微分，记作

2．高阶微分

三、微分学定理及应用

1．微分学定理

（1）罗尔定理

若满足

①在[a，b]上连续；

②在（a，b）内可导；

③，

则至少存在一点，使得．

（2）拉格朗日中值定理

若f（x）满足

①在[a，b]上连续；

②在（a，b）内可导，

则至少存在一点，有．

（3）柯西中值定理

若f（x）及F（x）满足

①在[a，b]上连续；

②在（a，b）内可导；

③对任一；

④F（b）≠F（a），

则在（a，b）内至少有一点，有

2．洛必达法则

（1）时，的洛必达法则

①当时，f（x）及F（x）的极限都为零；

②在U（x₀）上，及都存在且；

③存在（或为无穷大），则

（2），的洛必达法则

①当时，函f（x）及F（x）都趋于零；

②当|x|＞N时及都存在，且；

③存在（或为无穷大），则

注：其他还有一些0·∞、∞－∞、00、1∞、∞0型的未定式，也可通过或型的未定式来计算．

3．泰勒公式

（1）泰勒公式

（2）带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

（3）带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

（4）常见函数的泰勒公式

4．函数的极值与最大值最小值

（1）极大值

f（x）定义在U（x₀）上，如果对于内的任意x，有，则称f（x₀）是函数f（x）的一个极大值．

（2）极小值

f（x）定义在U（x₀）上，如果对于内的任意x，有，则称f（x₀）是函数f（x）的一个极小值．

（3）极值

极大值与极小值统称为极值．

（4）极值定理

①定理1（必要条件）

设f（x）在x₀处可导，且在x₀处取得极值，则．

②定理2（第一充分条件）

设函数f（x₀）在x₀处连续，且在x₀的某去心邻域内可导．

a．若时，，而时，，则f（x）在x₀处取得极大值；

b．若时，，而时，，则f（x）在x₀处取得极小值；

c．若时，的符号保持不变，则f（x）在x₀处没有极值．

③定理3（第二充分条件）

设f（x）为一阶、二阶可导，且f＇（x₀）＝0，则

a．当f"（x₀）＜0时，f（x）在x₀取得极大值；

b．当f"（x₀）＞0时，f（x）在x₀取得极小值．

（5）求f（x）极值点和极值的步骤

若函数f（x）在所讨论的区间内连续，且除个别点外处处可导，则

①求出导数f＇（x）；

②求出f（x）的全部驻点与不可导点；

③考察f＇（x）的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；

④求出各极值点的函数值，就得函数f（x）的全部极值．

（6）求f（x）最大值和最小值的步骤

若f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则

①求出f（x）在（a，b）内的驻点及不可导点；

②计算f（x）在上述驻点、不可导点处的函数值及f（a），f（b）；

③比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是f（x）在[a，b]上的最大值，最小的便是f（x）在[a，b]上的最小值．

5．曲线的凹凸性与拐点

（1）凸函数

f定义在I上，∀x₁和x₂∈I和∀实数λ∈（0，1）总有

则称f为I上的凸函数．

（2）凹函数

f定义在I上，∀x₁和x₂∈I和∀实数λ∈（0，1）总有

则称f为I上的凹函数．

（3）凹凸性的判定

f（x）在区间I上二阶可导，则

①f为凸函数⇔；

②f为凹函数⇔．

（４）驻点与拐点

①驻点

导数为零的点称为驻点．

②拐点

设y＝f（x）在区间I上连续，x₀是I内的点．如果曲线y＝f（x）在经过点（x₀，f（x₀））时，曲线的凹凸性改变了，则称点（x₀，f（x₀））为这曲线的拐点．

（５）对连续曲线y＝f（x），若除在个别点不存在，则可按可按下述步骤求函数的拐点：

①求；

②令＝0，解出方程在区间I内的实根，并求出在区间I内不存在的点；

③对于②中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x₀，检查在x₀左、右两侧邻近的符号，则当两侧的符号相反时，点（x₀，f（x₀））是拐点，当两侧的符号相同时，点（x₀，f（x₀））不是拐点．