1.2　典型题（含考研真题）详解

1．设有正数列．若，则．

证明：若a＝0，则由不等式

即可证得．

若a＞0，则再用不等式

2．设满足．试证明：若，则．

证明：令，则得

这说明

3．（上海理工大学2005年）用极限定义证明：当a＞1时，，并讨论当0＜a≤1时，极限是否存在．如果存在，极限是多少．

证明：当a＞1时，令，则．由

得

对于任意给定的ε＞0，取，则当n＞N时，就有，即，所以

当0＜a＜1时，；

当a＝1时，

4．试证明命题：

对，令，若，则

证明：由题设，知，故可得

由此知，从而又有

5．（上海交通大学2004年）设，证明

证明：因为，所以对任意的ε，存在N，则对任意的n＞N，有

则

　

再由可知左右两侧的极限存在且相等，都等于．

6．（大连理工大学2006年、北京理工大学2004年）求

解：因为定积分可积，所以对任意分割及的任意取法，存在且相等．

又因为

对于，分割可以选取等分法，选为，所以

7．设，且．试论的敛散性．

解：由题设知．

又由，易推这说明是有界列．

因为，所以根据公式

可得是递增列．这说明是收敛列．

8．试论下述双数列{a_n}，{b_n}的敛散性

解：（1）由题设知，且有．

由此知．根据归纳法又得

从而可令，且易知

（2）由题设知，且有

故得．从而又有，故{a_n}，{b_n}皆为收敛列．

根据

可得

9．试证明命题：

设{a_n}是公差d＞0的等差数列，则

证明：只需指出

10．计算下列函数极限

解：

（4）令t＝π/4－x，则x→π/4等价于t→0．从而可知

11．试求函数极限

解：令，则等价于，从而有

12．求．

解：令，则有

又

设，再注意到，两端取极限得到即．

13．（南京大学2002年）求．

解：由于，因此

14．设极限存在，试求

解：（1）令，则

由已知设，则

于是

（2）由

及（1）的结论知

15．（华南理工大学2004年）设证明收敛，并求．

证明：令，则所以f（x）在[0，a]上严格单调递减．

从而由数学归纳法和及可知

故由，可得

所以是单调递增有界数列，故存在极限，即为α．同理可知是单调递减有界数列，故存在极限，即为β．令n→∞，则有

解此方程组可得．所以收敛，且

16．（北京工业大学2001年）设存在，f（a）＞0，求，其中n为自然数．

解：由于

所以

17．（上海交通大学）证明

证明：，则

，其中

只要n充分大，就可使．

18．试证明极限等式

证明：因为

所以

19．（北京师范大学）对任意的正整数n，则在[0，1]上必有且只有一个根，记为，求．

解：令，则显然在[0，1]上连续且严格单调递增．

注意到

由连续函数的介值定理知，在[0，1]上有唯一实根，即

又由

且因为，即在[0，1]上连续且严格单调递增，所以，且．由单调有界定理知，存在．

而

令n→∞可得

，即．

20．（山东科技大学2004年、江苏大学2004年、电子科技大学2004年、厦门大学2005年）设（a＞0），n＝1，2，…，，求

解：先证收敛．

若，有对任意的n成立．

故有下界，且，故单调递减，则收敛．

若，显然对任意的n，有上界，单调递增，则收敛．

记，由递归方程得，即

当时，；当时，．

21．求α，β之值，使得

解：易知

又由

可知

从而立即可得

22．证明下列结论：

（1）设f（x）在点x＝0连续，且对满足

f（x＋y）＝f（x）＋f（y）

则f（x）在上连续；

（2）设f（x）在上单调，且对满足

f（x＋y）＝f（x）＋f（y）

则f（x）在上连续；

（3）设f（x）在点x＝0连续，f（0）≠0，且对满足

f（x＋y）＝f（x）f（y）

则f（x）在上连续．

证明：（1）由，取x＝y＝0得f（0）＝0．

对当时，由f（x）在x＝0处连续，所以

又

故f（x）在点连续，从而f（x）在上连续．

（2）易知f（0）＝0．因为f（x）在上单调，所以和都存在，设于是对有

令得A＝A＋B，即

同理由令得B＝A＋B，即

从而在x＝0处连续，由（1）的结论知f（x）在上连续．

（3）由得，因为f（0）≠0，所以f（0）＝1．

对，于是f（x）≠0，且f（x）与f（－x）同号，即f（x）定号，从而可知f（x）＞0对都成立．

对两边取对数，得

由已知得在x＝0处连续，利用（1）的结论知上连续，从而f（x）在上连续．

23．（上海交通大学2003年、深圳大学2006年）定义函数如下

证明：R（x）在[0，1]上的无理点处连续，而在[0，1]上的有理点处不连续．

证明：对任意的ε＞0，满足（或）的q值为有限个，从而使p、q互质且p＜q的p值也为有限个，因此在[0，1]上至多只有有限个有理点，可使，记这些点为

令，则δ＞0，且对任意的，有

则总有成立，从而R（x）在[0，1]上的无理点处连续，而在[0，1]上的有理点处不连续．

24．试证明命题：

设定义在上的f（x），g（x）满足

若且有，则．

证明：反证法．若存在t₀，使得．则当f（x）的上确界为时，则有，使得，故知

因此，或，或，这均导致矛盾．证毕．

25．（天津大学）设函数f（x）是周期为T（T＞0）的连续函数，证明：

证明：分两步证明．

（1）设f（x）≥0，则对任意x＞0，必存在自然数n使得

成立．由函数的周期性与非负性有下面的不等式

  （1-2-1）

但

代入式（1-2-1）中得

所以

又

由以上三式及两边夹法则，得

即结论成立．

（2）当f（x）为任意以T周期的连续函数时，取[0，T]，则有界，由周期性知f（x）在整个定义域内有．

令，则g（x）是以T为周期的非负连续函数，由上面（1）知

即

所以

26．设a＞1，b＞1为两个常数，定义在上的函数f（x）在x＝0附近有界，且对，有证明：

证明：由，而b＞1知f（0）＝0，故只需证明

由可推得（n为任意正整数），而f（x）在x＝0附近有界，所以及，当时有．

对，由b＞1可知，存在正整数N，使得，于是取当时，有，从而

故

27．设f（x）在[0，1]上连续，f（0）＝f（1）．证明：对任意正整数n，存在，使得

证明：若n＝1，则取即可．

若n＞1，令则F（x）在上连续．

由f（0）＝f（1）知

若则取中任一点即可；

若不全为0，则必有两点，使得

由根的存在定理，使得即

28．（苏州大学2004年）（1）设f（x）在[1，＋∞）上非负递减，证明：

当n→＋∞时，有极限L，且0≤L≤f（1）．

（2）设，证明：数列收敛．

证明：（1）令，由于f（x）在[1，＋∞）上递减，所以

即是单调递减数列．

又由f（x）在[1，＋∞）上非负递减知

从而是单调递减有界数列，且．

故当n→＋∞时，有极限L，且0≤L≤f（1）．

（2）令，则

由于f（x）在[1，＋∞）上非负递减，从而由前面的结论知收敛，故数列收敛．

29．（江苏大学2006年）设f（x）为[a，b]上的增函数，其值域为[f（a），f（b）]，证明：

f（x）在[a，b]上连续．

证明：反证法．不妨设在处间断，由于f（x）为[a，b]上的增函数，故只能是第一类间断点，则及中至少有一个大于零，不妨设．于是，由函数f（x）的单调性知，f（x）无法取到和之间的数值．这与题设f（x）的值域为[f（a），f（b）]矛盾．从而f（x）在[a，b]上连续．

30．（上海大学2004年）设函数f（x）在[0，1]上连续，f（0）＝f（1），证明：

方程在[0，1]上一定有根．

证明：令，显然F（x）在上连续．由f（0）＝f（1）可得

若中有一个为零，则结论成立．

若都不为零，则必有两个异号，不妨设F（0）和异号（其他情况同理可证），则由连续函数的介值性知，存在，使得，即，得证．

31．（北京工业大学2001年、华东师范大学2004年）函数f（x）在上连续，且，证明：f（x）在上有最大值或最小值．

证明：若f（x）在上恒等于A，则结论自动成立．

若存在使得，不妨设的证明完全类似）．

因为，由极限的保号性知，存在，使得

由于f（x）在[－M，M]上连续，所以f（x）在[－M，M]上取到最大值且．

从而有，即f（x）在上有最大值．

32．（陕西师范大学2002年）设函数f（x）在[a，b）上连续，无上界，且对任意的，f（x）在（c，d）上不取最小值．证明：f（x）在[a，b）上严格单调递增．

证明：反证法．假设存在，且，使得．

由于f（x）在上连续，所以f（x）在上能取到最小值．

又因为f（x）在上不取最小值，故．

对任意的，由于f（x）在上不取最小值，f（x）在上能取到最小值，所以．

又因为f（x）在上连续，所以f（x）在上有界，从而f（x）在[a，b）上有界，矛盾，得证．

33．（中国科技大学2001年、重庆大学2004年、南京航空航天大学2005年）

证明：在上一致连续，在（0，1）上不一致连续．

证明：因为，所以由Cauchy收敛准则有，对任意的ε，存在x和δ，对任意的，只要，就有．

在闭区间[a，X－1]上连续函数必一致连续，因此在整个区间上一致连续．

下证在（0，1）上不一致连续．

存在，无论多么小的δ，只要n充分大，总可使，但是，所以在（0，1）上不一致连续．

34．证明下列结论：

（1）设f（x）在上连续，且存在，则f（x）在上一致连续；

（2）设f（x）在有限开区间（a，b）内连续，则f（x）在（a，b）内一致连续及都存在．

证明：（1）对设由柯西收敛准则，知有

又由于f（x）在[a，M＋1]上连续，从而一致连续，故对上述的，当且时，有

取，则对当时，或者或者不论哪种情况均有

所以f（x）在上一致连续．

（2）对，由f（x）在（a，b）内一致连续，则，对，当时，有

故当时，有．

由柯西收敛准则知存在．

同理也存在．

设，定义函数

则F（x）在[a，b]上连续，从而一致连续，故f（x）在（a，b）内一致连续．

35．（兰州大学2005年）设f（x）在[a，＋∞）上一致连续，φ（x）在[a，＋∞）上连续，．证明：φ（x）在[a，＋∞）上一致连续．

证明：由于．所以对任意的ε＞0，存在A＞0，使得

，（）

又由于f（x）在上一致连续，所以存在，对任意的，，有，从而对任意的有下式成立

因为φ（x）在上连续，所以φ（x）在[a，A＋1]上一致连续．

于是存在，对任意的．有．

取，对任意的，则有，即φ（x）在上一致连续．

36．设f（x）在[0，∞）上一致连续，且有

则．

证明：对任给ε＞0，存在δ＞0，使得，．

对[0，1]作分划：，使对任意的，必存在i，使得．

又由题设知，存在N，当n≥N时，有．

对x＞N＋1，存在n≥N，以及i，使得．

因此有

37．设，且，

求证：f（x）在（－∞，＋∞）上一致连续．

证明：，由，推知，使得当时，有

　 （1-2-2）

又由，推知，使得当时，有

 （1-2-3）

另一方面，因为函数，所以f（x）在上一致连续，于是，使得

  （1-2-4）

这样，当且时，

（1）若，由（1-2-2）式，得；

（2）若，由（1-2-3）式，得；

（3）若或则有，由（1-2-4）式知，根据定义，即得f（x）在（－∞，＋∞）上一致连续．