第3章　刚体和流体的运动[视频讲解]

3.1　本章要点详解

█刚体及其运动

█转动惯量与定轴转动定律

█定轴转动中的功能关系

█定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

重难点导学

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一、刚体模型及其运动

1．刚体

物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。

2．平动和转动

（1）平动

平动是指当刚体运动时，刚体内任何一条给定的直线，在运动中方向始终保持不变的运动。

（2）转动

转动是指当刚体运动时，刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动的运动。若转轴固定不动，则称为定轴转动。

3．自由度

（1）定义

系统的自由度是指决定一个系统在空间的位置所需要的独立坐标数。

（2）刚体的自由度

对于刚体，最多有6个自由度，其中3个是平动自由度，3个是转动自由度（2个表示转动轴方向的坐标，剩余一个则表示绕转动轴转过的角度）。

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二、力矩，转动惯量，定轴转动定律

1．力矩

系统的角动量对时间的变化量称为力矩。

注：在定轴转动中，平行于转轴的外力对刚体的绕轴转动起不了作用。

2．角速度矢量

（1）大小与方向

在转轴上画一有向线段，使角速度矢量的长度按一定比例代表角速度的大小，角速度矢量的方向与刚体转动方向间的关系按右手螺旋法则来确定。

（2）角速度矢量的正方向

使右手螺旋转动的方向和刚体转动的方向一致，则大拇指方向为角速度矢量的正方向

3．定轴转动定律

从牛顿第二定律出发，加速度的分量不仅要考虑外力，同时要考虑到内力对转动的影响。由于内力作用相互抵消，有

4．转动惯量

（1）转动惯量的定义

转动惯量是转动中惯性大小的量度，且

（2）转动惯量的积分形式

积分式中dm是质元的质量，r是质元到转轴的距离。

（3）对比

①平动

a．线动量：mv平动定律：；

b．角动量：Jω转动定律：。

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三、定轴转动中的功能关系

1．力矩的功

刚体在外力矩作用下转动时，力矩对物体作功，且此功可用力矩与刚体角位移乘积的积分来表示，称为力矩的功。

2．刚体的转动动能

刚体在转动时的动能是组成刚体的各个质点的动能之和，刚体的转动动能可表示为

3．刚体定轴转动的动能定理

总外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。

式中，和分别是刚体某过程前后的角速度大小，J是定轴转动惯量。

4．刚体的重力势能

一个不太大刚体（保证其线度范围内重力加速度基本不变）的重力势能可表示为

式中，是质心的高度。

刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能相同。

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四、定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

1．刚体的角动量

设刚体绕z轴转动，则刚体绕定轴的角动量为

2．定轴转动刚体的角动量定理

（1）角动量定理的微分形式

刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率。

上式适用于刚体和非刚体。

（2）角动量定理的积分形式

轴转动物体对轴的角动量的增量等于外力对该轴的力矩的冲量之和。

3．定轴转动刚体的角动量守恒定律

根据角动量定理，当外力对给定轴的总力矩为零时，物体对该轴的角动量将保持不变。

即

M_z＝0时，L_z＝Jω＝（Jω）₀＝常量

说明：

（1）上式为固定转轴的角动量守恒定律，它不仅应用于一个转动物体，也应用于多个物体组成的系统，当总外力矩为0时，总角动量保持守恒。

（2）角动量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍规律，不仅适用于宏观物体的机械运动，而且也适用于原子、原子核和基本粒子（如电子，中子，原子，光子，…）等微观粒子的运动。

总结：质点的直线运动（刚体的平动）的一些定律和公式在刚体的定轴转动普遍适用。只需将平动中的v，a，m，F，s分别替换为ω，α，J，M，θ。