第一篇　寿险精算数学

第1章　生存分布与生命表

单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）

1．（2008年真题）已知：

（1）₃p₇₀＝0.95；

（2）₂p_7l＝0.96；

（3）=0.107。

计算₅p₇₀的值为（　　）。

A．0.85

B．0.86

C．0.87

D．0.88

E．0.89

【答案】E

【解析】由于，，

故。

2．（2008年真题）已知：

（1）(80.5)＝0.0202；

（2）(81.5)＝0.0408；

（3）(82.5)＝0.0619；

（4）死亡服从UDD假设。

计算80.5岁的人在两年之内死亡的概率为（　　）。

A．0.0782

B．0.0785

C．0.0790

D．0.0796

E．0.0800

【答案】A

【解析】死亡服从UDD假设，故

所以。

从而，

，

故80.5岁的人在两年之内死亡的概率为：

3．（2008年真题）已知

（1）；

（2）；

（3）T()为未来剩余寿命随机变量。

计算的值为（　　）。

A．65

B．93

C．133

D．178

E．333

【答案】C

【解析】由可知x服从均匀分布，故由=ω/2，得，

所以

4．（2008年真题）设()的未来寿命的密度函数是

利率力为δ=0.06，保额为一个单位的终身寿险的现值随机变量为Z，那么满足Pr（Z≤ζ_0.9）=0.9的分位数ζ_0.9的值为（　  ）。

A．0.5346

B．0.5432

C．0.5747

D．0.5543

E．0.5655

【答案】E

【解析】令，则

解得：。

故  。

5．（样题）设，0≤x≤100，则=（　　）。

A．40.5

B．41.6

C．42.7

D．43.8

E．44.9

【答案】C

【解析】由，得：。

故。

6．（样题）给定生命表，如表1-1所示。求整值剩余寿命K(96)的方差=（　　）。

表1-1  生命表

A．0.39

B．0.53

C．0.91

D．1.11

E．1.50

【答案】D

【解析】由于，

。

故Var(K)=E(K²)－E²(K)=2.8－1.3²=1.11。

7．（样题）设，X为整数，0≤t≤1，那么为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】由于，

故。

8．（样题）设q₇₀＝0.04，q₇₁＝0.05，假定死亡是均匀分布的。计算(70)在年龄70.5与71.5之间死亡的概率为（　　）。

A．0.041

B．0.042

C．0.043

D．0.044

E．0.045

【答案】D

【解析】已知死亡服从均匀分布假设，故

=0.044。

9．（样题）设，0≤x≤100，计算=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】由已知，得

10．（样题）设，计算=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】由于=，

故。

11．已知T(0)的分布为：。则新生婴儿在30岁和50岁之间死亡的概率为（　　）。

A．0.2

B．0.5

C．0.6

D．0.7

E．0.9

【答案】A

【解析】Pr[30<T(0)<50]=F₀(50)－F₀(30)=50/100－30/100=0.2。

12．已知某地区新生婴儿的寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，则该地区新生婴儿将在(55，81)之间死亡的概率=（　　）。

A．0.26

B．0.34

C．0.55

D．0.74

E．0.81

【答案】A

【解析】已知寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，故其分布函数为：

故Pr(55<X≤81)=F(81)－F(55)=(81－55)/100=0.26。

13．已知：，则年龄为19岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（　　）。

A．1/9

B．1/8

C．1/6

D．1/5

E．1/3

【答案】E

【解析】解法①：；

解法②：。

14．设生存函数为：，则年龄为16岁的人将生存到36岁的概率为（　　）。

A．1/4

B．1/3

C．1/4

D．2/3

E．3/4

【答案】Ｄ

【解析】。

15．设X的分布函数为：，则年龄为20岁的人在40岁之前的死亡概率为（　　）。

A．0.4568

B．0.4676

C．0.4878

D．0.4986

E．0.4995

【答案】C

【解析】。

16．已知随机变量X的生存函数为：S(x)=1-x/(1+x),x，则年龄为20岁的人在30岁到40岁之间的死亡概率为（　　）。

A．0.1451

B．0.1652

C．0.1754

D．0.1857

E．0.1959

【答案】B

【解析】。

17．设S(x)是生存函数，函数φ(x)=且，则生存函数S(x)的极限年龄ω为（　　）。

A．121

B．122

C．125

D．128

E．130

【答案】C

【解析】由知：。

即为未来寿命的概率密度函数。

所以，即，解得：。

18．已知现年18岁的小王，再生存10年的概率为0.95，再生存30年的概率为0.75。则其现年28岁在达到48岁之前的死亡概率为（　　）。

A．0.2105

B．0.2308

C．0.2409

D．0.2503

E．0.3105

【答案】A

【解析】由题意知：，

而，所以，

故。

19．设，则T(y)的中值为（　　）。

A．1+y

B．1－y

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】因为S₀(x)=，所以S_y(x)=，

所以当S_y[m(y)]= ，即，所以m(y)=1+y。

20．设某随机变量X的生存函数为：。若E(X)=90，则Var(X)=（　  ）。

A．90

B．180

C．360

D．450

E．540

【答案】E

【解析】由生存函数的性质S(0)=1，得：b=1。

又由，得：。

所以，

从而，得：k=120。

所以，=540。

21．设生存人数为：，则Var(X|X＞x)=（　  ）。

A．

B．

C．x＋1

D．

E．

【答案】D

【解析】

。

因为，所以，

，，

。

所以=，

=3(x+1)³

。

故。

22．已知某地区新生婴儿的寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，则对该地区的（x）（x<75）的人，其未来生命时间长度的整数部分为25岁的概率是（　　）。

A．1/(100－x)

B．2/(100－x)

C．3/(100－x)

D．4/(100－x)

E．5/(100－x)

【答案】A

【解析】由已知得分布函数为：

所以s(x)=Pr(X>x)=1－F(x)=(100－x)/100，

故Pr[K(x)=25]=Pr[25≤T(x)<26]=₂₅p_x－₂₆p_x

=

=

=1/(100－x)。

23．寿命X是随机变量，则60岁的人的寿命不超过80岁的概率为（　　）。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（4）

D．（3）（4）

E．（4）

【答案】A

【解析】因为

24．已知生存函数为，则其平均寿命为（　  ）。

A．50

B．52

C．55

D．58

E．60

【答案】D

【解析】由已知生存函数得其密度函数为：

故其平均寿命为：

E(X)==52.5

25．下列表达式中与等价的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】

26．记R(x)=T(x)－K(x)，设R=R(x)服从均匀分布（其中，x是非负整数，0≤R≤1）。r为非负整数，0≤r≤1，则下列表达式中正确的有（　　）。

（1）Pr{k<T(x)≤k+r}=Pr{K(x)=k}Pr{R(x)≤r}；

（2）Pr=Pr{K(x)=k}·Pr{R(x)≤r}；

（3）Pr{k<T(x)≤k+r}=Pr{K(x)=k}+Pr{R(x)≤r}。

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（3）

D．（3）

E．（1）（2）（3）

【答案】A

【解析】因为，

而R=R(x)服从均匀分布，故，

所以

而R(x)服从均匀分布，所以

故

27．设55岁的人未来寿命T(55)的概率密度函数为：，≥0，

则=（　　）。

A．0.0412

B．0.0492

C．0.0501

D．0.0515

E．0.0520

【答案】B

【解析】=P(10＜T(55)＜25)==1－－(1－)=0.0492。

28．李博士是一位统计专家，他在某个即将倒闭的银行有9万元存款，该存款风险极大，每过一天将有1万元的损失，可惜他将存款密码忘记，只记得一密码镜像为652255，该镜像源于如表1-2所示的编码规则。

表1-2  编码规则

而银行规定同一账户每天只能试用6次密码，以防盗用，假设密码随机试用，则该博士这笔存款实际估计价值是（　　）万元。

A．1

B．2

C．3

D．4

E．5

【答案】E

【解析】由于密码镜像为652255，由已知数字镜像图表可知：

 

图1-1

故所有可能的密码个数为：2×3×1×1×3×3=54。

每天只能猜六次，理论上最多可猜9天。

现在设第k天猜中的概率为，如表1-3所示，于是：

表1-3  存款密码猜中概率

故这笔存款实际估计价值为：

=

=5（万元）

29．以下命题正确的是（　　）。

A．若在0≤t≤1上严格递增，则

B．若在0≤t≤1上严格递减，则

C．若在0≤t≤1上不单调，则

D．若在0≤t≤1上不单调，则

E．若在0≤t≤1上严格递增，则

【答案】E

【解析】利用分析法：

　  ①

①式左端是一割线的斜率，

①式右端是一个割线的极限斜率，

所以当在0≤t＜1上严格单调增时，有：

，

所以是单调增且是凹的，故是单减的且是上凸的，构造函数：

。

下面证明：，

即：。

再构造函数：，

由于S(x)是上凸的，故，

即，而，

故是单减的且初值为0，所以，

也就是成立，即：

成立。

从而，即是减函数，从而可推出在0≤≤1上随的增大而减小，结论

成立，即证明了当在0≤t≤1上严格单增时，是成立的。

30．已知：，则的取值范围为（　　）。

A．0＜≤4

B．5≤≤9

C．10≤≤15

D．16≤≤20

E．＞20

【答案】A

【解析】①当=0时，，，

所以===e^－0.72=0.4867≠0.92；

②当≠0时，==

===0.92，

所以，

故=0.0366，所以0＜≤4。

31．设死力函数为，则随机变量T(x)的密度函数为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】因为

所以

32．设死力为。则Pr(10<X≤30)=（　　）。

A．0.04835

B．0.05865

C．0.06879

D．0.07896

E．0.07965

【答案】B

【解析】因为F_X(x)=1－exp()=1－exp(－ln(1+x))=，

所以Pr(10<X≤30)=F(30)－F(10)==0.058651。

33．已知死力函数为。则=（　　）。

A．0.13027

B．0.13145

C．0.13157

D．0.13267

E．0.13379

【答案】A

【解析】因为F_X(x)=1－exp()=1－exp(－ln(1+x))=，

所以。

34．设死力函数。则=（　  ）。

A．0.0327

B．0.0428

C．0.0625

D．0.0728

E．0.0825

【答案】C

【解析】因为

所以

35．已知随机变量x的死力函数为：，对于变换后。则Y的死力函数为（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】由，可知：，

所以

故

36．某一产品的死力为，经一精算师测算，死力应修正为－C，原来的产品损坏概率为q_x，一年内该产品损坏的概率减半，则常数C=（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】因为，

，

所以，即，

故，解得：。

37．已知生存函数：，则其死力函数为（　　）。

A．exp(－x)

B．exp（x） 　

C．x

D．1

E．1－exp(－x)

【答案】D

【解析】由已知得：。

38．下列函数中可被作为死力函数的有（　　）。

（1）；

（2）；

（3）。

A．（1）

B．（1）（2）

C．（1）（3）

D．（2）（3）

E．（1）（2）（3）

【答案】D

【解析】（1）由于，

所以。

检验：S(x)≥0，S(0)=1，（由于0＜C＜1），

故不能作为死力函数；

（2）=2B[(x+1)^0.5－l]，

即S(x)=exp{－2B[(x+1)^0.5－l]}。

检验：S(x)≥0，S(0)=1，，

所以S(x)为严格递减函数，因此μ_x=B(x+1)^-0.5可被作为死力函数；

（3），

即S(x)=。

检验：S(x)≥0，S(0)=1，，

所以S(x)为严格递减函数。因此μ_x=k(x+1)ⁿ可以作为死力函数。

39．已知：μ(x)=F+e^2x，x≥0；=0.6。则F=（　  ）。

A．－0.255

B．－0.090

C．0.110

D．0.255

E．0.325

【答案】A

【解析】因为=0.6===，

所以0.6=e^-0.4F-0.6128，两边取自然法对数得：ln0.6=－0.4F－0.6128，

即－0.5108=－0.4F－0.6128，解得：F=－0.255。

40．设S(x)=，则=（　  ）。

A．0

B．0.1

C．0.01

D．0.005

E．0.009

【答案】C

【解析】===0.1，

=1－=1－=1－=1－e^－0.1≈0.095。

故= |0.1－0.095| =0.005。

41．记T(x)为(x)的未来寿命，已知μ(t)=μ，Var[T(x)]=100。则E[T(x)＜10]=（　  ）。

A．3.9

B．5.2

C．6.3

D．7.8

E．8.1

【答案】C

【解析】死力为常数，故，

那么Var[T]=E[T²]－[E(T)]²=，解得：μ=0.1。

所以E[T(x)＜10]==。

42．已知：

则_4|14q₅₀=（　  ）。

A．0.3413

B．0.3783

C．0.3910

D．0.4110

E．0.4213

【答案】B

【解析】因为₄p₅₀=e^－0.05×4=0.8187，₁₀p₅₀=e^－0.05×10=0.6065，

₈p₆₀=e^－0.04×8=0.7261，₁₈p₅₀=₁₀p₅₀·₈p₆₀=0.6065×0.7261=0.4404，

所以_4|14q₅₀=₄p₅₀－₁₈p₅₀=0.8187－0.4404=0.3783。

43．已知F₀(t)=1－e^-λt(λ>0)，则死力μ_x为（　　）。

A．　

B．

C．e^-λt

D．－e^-λt

E．

【答案】B

【解析】因为，所以μ_x=＝=λ。

44．已知死亡服从Makeham分布，μ₂₀=0.003，μ₃₀=0.004，μ₄₀=0.006，则=（　　）。

A．0.7782

B．0.7790

C．0.9795

D．0.9991

E．0.9998

【答案】C

【解析】由于死亡服从Makeham分布，则有：

①μ₂₀=A+BC²⁰=0.003；②μ₃₀=A+BC³⁰=0.004；③μ₄₀=A+BC⁴⁰=0.006；

将①②③联立，解方程组得：A=0.002，B=0.00025，C¹⁰=2。

所以=exp[－10A－m(C¹⁰－1)]=0.9795，其中。

45．设死力为常数α(α＞0)，则简约平均余命e_x=（　  ）。

A．

B．

C．－

D．

E．

【答案】B

【解析】因为μ_x=α，所以_k+1p_x=＝=e^-α(k+1)。

又，故。

46．已知：，则=（　  ）。

A．0.354

B．0.464

C．0.554

D．0.564

E．0.654

【答案】A

【解析】因为，

所以=0.354。

47．已知：，则（　　）。其中表示在Balducci假设下的。

A．0.0002

B．0.00002

C．0.0000002

D．0.0051280

E．0.0051282

【答案】C

【解析】，

所以=0.0051282。

而，

所以

故=0.0000002。

48．已知q₂₀=0.03，则=（　  ）。其中表示UDD假设下的死力，表示Balducci假设下的死力。

A．－0.0005

B．0.0005

C．－0.005

D．0.005

E．0.031

【答案】A

【解析】，

故=0.0302－0.0307=－0.0005。

49．已知某生命表，如表1-4所示，则在UDD假设下，=（　  ）。

表1-4  生命表

A．0.03122

B．0.03129

C．0.03155

D．0.03158

E．0.03160

【答案】A

【解析】在UDD假设下，对于0≤t≤1，，所以

从而，。

又q₆₂=(l₆₂－l₆₃)/l₆₂=3/97，

故。

50．假设新生婴儿的寿命随机变量X在(0，100)上服从均匀分布，则μ(x)=（　  ）。

A．(100－x)/(100+x)

B．1/(100－x)

C．x/(100－x)

D．1/(100+x)

E．100/(100－x)

【答案】B

【解析】由已知得分布函数为：

所以s(x)=1－F(x)=(100－x)/100，f(x)=－s´(x)=1/100。

故μ(x)=f(x)/s(x)=1/(100－x)。

51．如果当20≤x≤25时，死力μ_x=0.001，则_2|2q₂₀=（　　）。

A．0.00197

B．0.00199

C．0.00201

D．0.00203

E．0.00205

【答案】B

【解析】由于在20≤x≤25时，μ_x为常数0.001，故

52．已知l_x=10000（1－），则_5.25q₅₀分别在死亡均匀分布假设、常值死力假设和Balducci假设下概率值之和为（　　）。

A．0.315045

B．0.315248

C．0.315269

D．0.315298

E．0.315312

【答案】C

【解析】由于_5.25q₅₀=₅q₅₀+₅p₅₀×_0.25q₅₅，

其中=0.1，；

，p₅₅=1－q₅₅=。

①在死亡均匀分布假设下：

_0.25q₅₅=0.25×q₅₅，故

_5.25q₅₀=₅q₅₀+₅p₅₀×(0.25×q₅₅)==0.1+0.9×(0.25×)=0.105；

②在常值死力假设下：

_0.25q₅₅=1－_0.25p₅₅=1－(p₅₅)^0.25，故

_5.25q₅₀=₅q₅₀+₅p₅₀×[1－(p₅₅)^0.25]=0.1+0.9×=0.1050422；

③在Balducci假设下：

_0.25q₅₅=，故

_5.25q₅₀=₅q₅₀+₅p₅₀×=0.1+0.9×=0.1050847。

所以三者之和为：0.105+0.1050422+0.1050847=0.315269。

53．已知某细菌的死亡力为为极限年龄，则其x岁的生存函数是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】由已知条件得：

54．已知₅p₁₀=0.4，且μ_x＝0.01+bx，x≥0，则b=（  　）。

A．－0.05

B．－0.014

C．0.005

D．0.014

E．0.05

【答案】D

【解析】由于，

即

即，解得：b=0.014。

55．已知某一选择期为3的选择-终极生命表，如表1-5所示。则_1|q_[40]=（　  ）。

表1-5  选择-终极生命表

A．0.0001

B．0.0002

C．0.0003

D．0.0004

E．0.0006

【答案】E

【解析】_1|q_[40]=＝≈0.0006。

56．设随机变量了T的概率密度函数为：f(t)＝c·exp(－ct)（c＞0，t≥0）。则Var(T)=（　　）。

A．

B． 

C．

D．

E．＋

【答案】B

【解析】依题意，则

（c＞0，t≥0），

（t≥0，c＞0）

故

所以

57．在常值死力假设下，下述用p_x表示f_x的表达式中正确的是（　　）。

A．－　 

B．－

C．＋

D．

E．

【答案】E

【解析】因为在常值死力假设下，

所以

58．在生命表中，已知=1000，=900。若用符号表示在年龄区间(x，x+1]上的死亡中心率，且，则在UDD假设下，=（　　）。

A．0.105

B．0.109

C．0.112

D．0.115

E．0.119

【答案】A

【解析】首先，d_x=－=100，p_x=/=0.9，lnp_x=－0.10536，

在UDD下，L_x=－d_x=950。

所以=d_x/L_x=0.1053。

59．已知生存函数，则=（　　）。

A．20

B．25

C．30

D．35

E．40

【答案】A

【解析】=20

60．对于一个由21名年龄为90岁的人所组成的群体的死亡模型。已知：d₉₀=6，d₉₁=d₉₂=3，d₉₃=d₉₄=d₉₅=d₉₆=2，d₉₇=1。则Var(K)=（　  ）。

A．4.00

B．5.09

C．5.29

D．5.35

E．5.40

【答案】B

【解析】由已知条件可得如表1-6所示的数据。

表1-6  生命表

所以=2.48。

故

=5.09。

61．已知由100个现年40岁的人所组成的团体，其中，有19人预计在41岁死亡。则在UDD假设下，=（　　）。

A．0.102

B．0.308

C．0.506

D．0.602

E．0.604

【答案】A

【解析】由已知，l₄₀=100，l₄₁=100－19=81，d₄₀=19，

故=１－=1－=1－=0.102。

62．已知死亡服从De Moivre规则，且Var[T(15)]=675。则=（　  ）。

A．40

B．45

C．50

D．55

E．60

【答案】A

【解析】由已知，得：T(x)=－t～U(0，－x)，

故，即，

解得：=105。

故。

63．已知某残缺生命表，如表1-7所示，则新生儿在2岁至3岁之间的死亡的概率为（　　）。

表1-7  生命表

A．0.000506

B．0.00506

C．0.0506

D．0.506

E．0.606

【答案】B

【解析】由已知，得：_2|1q₀==0.00506。

64．设某产品的寿险生存函数为：，则该产品中值年龄时的未来期望寿命为（　　）。

A．3.0695

B．4.0695

C．5.0696　

D．6.0698　

E．7.0694

【答案】A

【解析】由已知得：，解得：x=14.142。

故

=3.0695。

65．已知表示Balducci假设下的死力，μ^UDD表示在UDD假设下的死力，这些假设均在[35，36]区间内有效。则=（　　）。

A．0.000263

B．0.00263

C．0.0263

D．0.263

E．1.263

【答案】B

【解析】由于=0.07388；

=0.7125。

故=0.07388－0.07125=0.00263。

66．设一个随机生存组由两个自生存组构成：（1）150个新生儿生存者；（2）90个10年后加入的10岁生存者。适合两者的生存表如表1-8所示。

表1-8  生存表

如果Y₁与Y₂分别是自生存组（1）与（2）中活到40岁的生存者人数，在各生命独立性的假设下估计常数C=（　　）时，能使得P(Y₁十Y₂＞C)=0.05。

A．39

B．150

C．190

D．200

E．250

【答案】D

【解析】因为=190.125，

=39.17；

欲使P(Y₁十Y₂＞C)=0.05，即

，

所以，

故=200。

67．在死力常值假设下，下列公式可以正确表示死亡者死亡平均年龄的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】E

【解析】由已知，得：

=

68．下列表达式中正确的是（　　）。

A．当，则

B．已知是凸的，且在区间[0，1]上严格递减，则

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】A项：

，

。

，

故；

B项应为：

，。

因为是凸的，所以是关于t的减函数，即，

所以；

C项应为：

；

D项应为：

；

E项应为：

。

69．设，则T(x)的期望值=（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】由已知，极限年龄=100。所以

70．设，则在UDD假设下=（　  ）。

A．0.00045

B．0.00081

C．0.00141

D．0.00841

E．1.00843

【答案】D

【解析】在UDD假设下：，

，

所以=0.00841。

71．设生存函数为：，则=（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】

=

72．已知随机变量T(x)的分布函数为：

则Var[T(x)]=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】E

【解析】因为

==E[T(x)]；

而。

故=。

73．设死力函数，则=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】因为，

所以。

由于，，

所以，即=。

74．已知新生儿生命表，如表1-9所示，则新生儿在3岁和5岁之间死亡的概率为（　　）。

表1-9  新生儿生命表

A．0.00468

B．0.01021

C．0.03019

D．0.04018

【答案】B

【解析】P{新生儿在3岁和5岁之间死亡}=

=（509+512）/100000=0.01021。

75．给定生存函数S(x)=e^-0.05x，x≥0，则Var[T(30)]=（　  ）。

A．20

B．80

C．100

D．400

E．800

【答案】D

【解析】因为

=20，

所以E（T）==20。

又

=800，

故Var[T]=E[T²]－[E(T)]²=800－400=400，

即Var[T(30)]=400。

76．刘先生今年25岁，死亡服从De-Moivre规则，ω=100。若他下一年从事登山运动，则他的死亡假设在下一年内变为常值死力0.12，则若从事登山运动，他在11年内的预期寿命将减少（　　）。

A．0.20

B．0.32

C．0.44

D．0.50

E．1.00

【答案】C

【解析】从事登山运动前：===10.1933；

从事登山运动后：p₂₅==e^-0.12=0.88692，

=

=

=

=0.9423+0.886929.9309

=9.7502。

故寿命减少了：10.1933－9.7502=0.4431。

77．某人头上仅剩3根头发，并且他不再长任何头发。

（1）每根头发未来的死亡服从：_k|q_x=0.1(k+1)，k=0，1，2，3，x是此人的年龄；

（2）头发丢失在每年内服从Balducci假设；

（3）三根头发的寿命是独立的。

则此人在x+2.5岁成为光头的可能性为（　　）。

A．0.100

B．0.108

C．0.118

D．0.215

E．0.218

【答案】C

【解析】由于₂p_x=1－0.1－0.2=0.7，₃p_x=0.7－0.3=0.4。

令l_x=1，则l_x＋2=0.7，l_x＋3=0.4。

由Balducci假设得： ，

所以l_x＋2.5=0.509=_2.5p_x，故_2.5q_x=1－0.509=0.491。

故三根头发都不存在的概率为(0.491)³=0.1184。

78．已知下面三个条件：

（1）M、N代表两种死力，并且根据它们计算未来整数年龄期望寿命；

（2）；

（3）=9.5。

则=（　  ）。

A．9.02

B．9.03

C．9.14

D．9.35

E．9.46

【答案】B

【解析】

 =

  =

  ，

有已知，当t>1时，μ相等，故=，

故

==

===，

故

==

　 ==0.951×9.5=9.03。

79．假设：在x∈[0，ω]上为常数，ω=100，则(88)的寿命的方差Var[T(88)]=（　  ）。

A．12

B．24

C．36

D．48

E．60

【答案】A

【解析】，由于为常数，所以为线性函数，

故T(88)～UDD(0，12)，

因此有Var(T)==12。

80．已知某选择生命表，如表1-10所示，则100=（　　）。

表1-10  生命表

A．0.665

B．0.673

C．0.681

D．0.688

E．0.693

【答案】C

【解析】100=100

=（1－）（100）

=（1－0.00567）×0.685

=0.681。

81．已知某简约平均余命表，如表1-11所示，计算78岁活到80岁的概率是（　　）。

表1-11  简约平均余命表

A．0.901

B．0.902

C．0.905

D．0.908

E．0.916

【答案】E

【解析】由=

=

=

=

=

所以，

故==0.916。

82．已知一个生命表满足：μ(79.5)=0.0203，μ(80.5)=0.0409，μ(81.5)=0.0610，且死亡在每一年内服从均匀分布。则一个79.5岁的人在两年内死亡的概率为（　　）。

A．0.0752

B．0.0782

C．0.0788

D．00790

E．0.0810

【答案】B

【解析】因为0.0408=μ(80.5)=，所以=0.0400。

同理可得：=0.0200，=0.0600。

所以

=0.0782。

83．对于一个给定的生命(30)，据估计，由于生活水平的提高，其预期寿命将会增加5年，在生活水平提高前生存函数S(x)服从De Moivre规则，且极限年龄ω=100，假设生活水平提高后S(x)仍然服从De Moivre规则，这种情况下的极限年龄ω′=（　　）。

A．103

B．105

C．106

D．109

E．110

【答案】E

【解析】由De Moivre规则得：

===，

生活水平提高前ω=100，故==35。

生活水平提高后=+5=40，

所以=40=，解得：=110。

84．设S(x)=(1－x/ω)^a，并且=，则ω=（　　）。

A．35

B．50

C．52

D．56

E．63

【答案】B

【解析】===

==

=

即=，解得：ω=50。

85．已知某选择期为1年的残缺生命表，如表1-12所示。假设死亡在各年龄内服从均匀分布，则表中空缺的=（　  ）。

表1-12  残缺生命表

A．8.0l

B．8.13

C．8.21

D．9.19

E．9.32

【答案】C

【解析】由已知得：=910，

=830，=+，=+，

故=+。

[－]=++…   ①

[－]=++…　  ②

①－②得：=[－]－[－]，

即910=（8.5－0.5）×1000－（－）×920，

解得：=8.21。

86．给定，则=（　  ）。

A．12.1

B．13.5

C．13.9

D．14.2

E．16.3

【答案】E

【解析】因为

=

=

=

故=

。

=

=+

=16.2974。

87．已知一个三年期的选择-终极生命表，如表1-13所示。老李是2007年1月1日刚刚接受过选择的先生，而老李在2008年1月1日是61岁生日，设是老李在2008年1月1日活过2012年1月1日的概率。则=（　　）。

表1-13  三年期选择-终极生命表

A．0.2136

B．0.3256

C．0.4178

D．0.4589

E．0.5529

【答案】E

【解析】

=0.89×0.87×0.85×0.84

=0.5528502。

88．考虑选择期2年的选择-终极生命表，如表1-14所示。甲与乙现年均50岁，甲是45岁时被选择的生命，乙是50岁被选择的生命，则在三年末只有一位仍生存的概率为（　  ）。

表1-14  两年期选择-终极生命表

A．0.1405

B．0.2820

C．0.2930

D．0.3640

E．0.4710

【答案】A

【解析】P（仅一位生存）=1－P（两个都死）－P（两个都生存）

=

=1－(1－0.9713×0.9698×0.9682)×(1－0.9849×0.9819×0.9682)

  －(0.9713×0.9698×0.9682)×(0.9849×0.9819×0.9682)

=0.1405。

89．小李今年25岁，死亡率服从的均匀分布，如果在接下来的一年里他将驾驶汽车，他的死亡率在这一年将会被调整，在此年内他的死力为常数0.1，那么他在来年驾驶汽车时12年期期望余命与正常情况下的12年期期望余命的差额等于（　　）。

A．0.10

B．0.35

C．0.60

D．0.90

E．1.00

【答案】D

【解析】在正常情况下：=11.04，

在驾驶汽车后：

==

=

=10.1372。

故寿命减少了：11.04－10.1372=0.9028。

90．对于选择期为两年的选择-终极生命表，如表1-15所示。假设死亡年龄内服从均匀分布假设，则=（　　）。

表1-15  两年期选择-终极生命表

A．0.0087

B．0.0095

C．0.0201

D．0.0301

E．0.0402

【答案】B

【解析】

=

=0.0095

91．已知20岁的生存人数为1000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人。则20岁的人在21岁那年死亡的概率_1|q₂₀=（　　）。

A．0.003

B．0.004

C．0.006

D．0.008

E．0.010

【答案】C

【解析】=0.006。

92．已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06，而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁时生存人数为100人，则43岁时的生存人数为（　　）人。

A．96

B．90

C．83

D．85

E．86

【答案】C

【解析】因为₄₁=100×(1－0.04)=96（人），₄₂=96×(1－0.06)=90.24(人)，

所以₄₃=90.24×0.92=83.02(人)。

93．已知选择期是5年的选择-终极表，如表1-16所示。则3年前购买人寿保险，现年76岁的被保人活到80岁的概率为（　　）。

表1-16  选择-终极表

A．0.7120

B．0.7321

C．0.7422

D．0.7623

E．0.7954

【答案】D

【解析】所求概率为：

==

=(1－)(1－)(1－)(1－)

=(1－0.0507)×(1－0.0620)×(1－0.0714)×(1－0.0781)

=0.7623

94．已知：，并且l₀=1000，l₂₅=800。则=（　　）。

A．0.072

B．0.085

C．0.72

D．0.85

E．0.90

【答案】B

【解析】，解得：C=5625。

故=0.085。

95．在Balducci假设下，已知l_x=10000，q_x=1/4，则l_x+0.25=（　　）。

A．9031

B．9231

C．9331

D．9431

E．9531

【答案】B

【解析】因为在Balducci假设下：，

所以=0.00010833，

故l_x+0.25=9231.05。

96．已知某关于死力的运算表，如表1-17所示，假设在年龄区间（x+k，x+k+1）上为常值死力，则=（　  ）。

表1-17  死力运算表

A．1.2

B．1.5

C．1.9

D．2.5

E．2.8

【答案】C

【解析】

=0.98+0.95×0.97

=1.9。

97．已知：=k，=n，其中B表示Balducci假设，UDD表示线性假设。用n和k表示m，则m=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】E

【解析】=，

所以，故；

又=n，

所以=

。

所以，

故

。

98．对于有5年选择期的选择-终极生命表，已知：=60，=13，=0.92。则=（　  ）。

A．60.8

B．61.8

C．62.8

D．63.8

E．64.8

【答案】D

【解析】因为，

所以=63.8。

99．对于0岁三年选择期的选择-终极生命表，已知：l₆=9000，q_[0]=1/5，₅p_[1]=4/5，d₃=d₄=d₅=500，₃p_[0]+1=。则l_[0]=（　  ）。

A．9289

B．10307

C．12348

D．15434

E．99876

【答案】D

【解析】因为，又，

所以，=12347.56。

p_[0]=1－q_[0]=4/5=l_[0]+1/l_[0]=12347.56/l_[0]，解得：l_[0]=15434.45。

100．如果，其中H表示Balducci假设，L表示UDD假设。用n表示m的表达式为（　　）。

A．

B．2n

C．

D．

E．n²

【答案】C

【解析】因为，所以；

所以，故。

101．已知某生命表，如表1-18所示，则在UDD假设下，=（　  ）。

表1-18  生命表

A．0.001

B．0.002

C．0.003

D．0.01

E．0.02

【答案】C

【解析】跨越了两个年龄（60岁和61岁），需要分别进行计算，由于

d₆₀=l₆₀－l₆₁=10，d₆₁=l₆₁－l₆₂=20，

=0.1×10+0.1×20=3，

故=3/1000=0.003。

102．已知某生命表，如表1-19所示，则在UDD假设下，=（　  ）。

表1-19  生命表

A．0.4842

B．0.4850

C．0.4881

D．0.4899

E．0.4910

【答案】C

【解析】设l₉₇=10，而，这样原生命表变形为如表1-20及表1-21所示。

表1-20  生命表

表1-21  生命表

故在UDD假设下，=0.488095。

103．已知某生命表，如表1-22所示，则（96）的简约平均余命为（　　）。

表1-22  生命表

A．1

B．2

C．4

D．5

E．6

【答案】B

【解析】解法①：=2；

解法②：=2。

104．已知死力函数，则=（　　）。

A．31.0

B．31.4

C．31.6

D．32.0

E．32.5

【答案】E

【解析】已知条件显然满足de Moivre假设。

解法①：f_T(35)(t)=1/65，0<t<65，

所以=32.5。

或者根据，得：

=32.5；

解法②：根据de Moivre假设认为，死亡在被保险人的整个余命中服从均匀分布，故T(x)在其余命（0，65）中服从均匀分布，则=E[T(35)]=65/2=32.5；

解法③：因de Moivre假设是UDD假设的特例，故可先计算e₃₅，再利用完全余命与简约余命之间的关系即可。

由于，Pr(K(35)=k)=_k|q₃₅=1/65，k=0，1，…，64，

所以K(35)在离散点0，1，…，64上均匀分布，其各点分布律均为1/65。

所以=×(0+1+…+64)=32，

或者=×(1+…+64)=32，

故=e₃₅＋0.5=32.5。

105．已知某生存群体55岁的生存人数为89509人，往后5年的死亡率分别为0.006、0.007、0.009、0.012和0.015。则该群体60岁时的生存人数为（　　）人。

A．85006

B．85036

C．85106

D．85206

E．85236

【答案】D

【解析】根据公式p_x=l_x+1/l_x，p_x=1－q_x，得：

l₆₀=l₅₉p₅₉=l₅₈p₅₉p₅₈=l₅₅p₅₅p₅₆p₅₇p₅₈p₅₉

则该群体到60岁时的生存人数为：

l₆₀=l₅₅(1－q₅₅)(1－q₅₆)(1－q₅₇)(1－q₅₈)(1－q₅₉)

=89509(1－0.006)(1－0.007)(1－0.009)(1－0.012)(1－0.015)

=85205.8（人）。

106．已知某电子装置的寿命服从如表1-23所示的生命表，假设装置失灵在一年里服从均匀分布。则这样的新装置的期望余命=（　  ）年。

表1-23  某电子装置的生命表

A．0.7

B．1.0

C．1.7

D．2.7

E．3.0

【答案】C

【解析】由已知条件可得：s(x)=。

所以

=

=，

=1.7（年）。

107．在常值死力假设下，平均生存函数α(x)=（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】E

【解析】在常值死力假设下，有：，

故α(x)=

==。

108．在UDD假设下，平均生存函数α(x)=（　　）。

A．1/5

B．1/4

C．1/3

D．1/2

E．1

【答案】D

【解析】在UDD假设下，，

故。

所以α(x)==1/2。

109．25岁到75岁之间死亡的人群中，其中30%在50岁之前死亡；25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2。则₂₅p₅₀=（　  ）。

A．0.125

B．0.313

C．0.333

D．0.417

E．0.625

【答案】D

【解析】设l_x表示存活到x岁人的数目，则由已知条件得：

0.3(l₂₅－l₇₅)=l₂₅－l₅₀  ①

  ②

由②式，得：0.8l₂₅=l₅₀，代入①式，得：0.125l₅₀=0.3l₇₅

因此。

110．已知存活到x岁的人数满足方程，则=（　　）。

A．0.067

B．0.334

C．2.95

D．14.78

E．32.97

【答案】D

【解析】由已知得：

=7/9；=1/19。

故==14.778。

111．已知存活到x岁的人数满足方程l_x=Ae^-x，A为常数，且死亡在各年龄内服从均匀分布假设，则=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】由已知得40岁时的简约平均余命为：

故=。

112．已知生存函数为，0≤x≤100。则μ₃₆·=（　　）。

A．0.50

B．0.33

C．0.25

D．0.20

E．0.125

【答案】B

【解析】由已知，得：

所以；

而，

故μ₃₆·==。

113．已知某选择期为两年的选择-终极生命表，如表1-24所示，则₂p_[31]+₂q_[31]+2+_1|q_[30]+1=（　  ）。

表1-24  两年期选择-终极生命表

A．0.99872

B．0.99916

C．1.00025

D．1.017203

E．1.01562

【答案】D

【解析】由表中数据得：

=0.99197；

=0.018219；

=0.007014。

故₂p_[31]+₂q_[31]+2+_1|q_[30]+1=0.99197+0.018219+0.007014=1.017203。

114．已知生存函数为，计算(30)的寿命在60岁到80岁之间的概率及其平均余命分别为（　　）。

A．2/7；35

B．3/7；50

C．1/7；35

D．2/7；50

E．3/7；35

【答案】A

【解析】由于，

故　  ，。

所以

Pr{30<T<50}=F₃₀(50)－F₃₀(30)=[1－s₃₀(50)]－[1－s₃₀(30)]

=s₃₀(30)－s₃₀(50)=40/70－20/70=2/7；

平均余命为：=35。

115．设(x)在[x，x+1]上服从死亡均匀分布，其中x为非负整数。则与相等的为（　　）。

A．e_x－1/2

B．e_x+1

C．e_x+1/2

D．e_x－1

E．e_x

【答案】Ｃ

【解析】因为，

所以

又e_x=，

因此。

116．已知(x)在[x，x+1]上服从常数死亡力分布，x为非负整数，0<u<1，0<t<1，u+t≤1。则下列表达式中正确的为（　　）。

A．f_x+u(t)=f_x(t)f_u(t) 

B．f_x+u(t)=f_x(t)

C．f_x+u(t)=f_x(t)+f_x(t)　 

D．f_x+u(t)=f_x(t)－f_u(t)

E．f_x+u(t)=f_x(t)/f_u(t)

【答案】B

【解析】因为，

而

故。

117．假定死亡在年内服从均匀分布，且已知某生命表，如表1-25所示。则等于（　　）。

表1-25  生命表

A．2.11

B．2.27

C．2.50

D．2.61

E．2.75

【答案】B

【解析】根据已知条件，得：

p₇₀=0.94，₂p₇₀=0.85，q₇₀=0.06，q₇₁=,q₇₂=

则

故

=2.27。

118．已知死亡在年龄期内服从均匀分布，且q_x＝1，则下列计算中正确的是（　　）。

（1）_0.75q_x+0.25＝1；

（2）_0.25q_x+0.5＝0.5；

（3）_0.25q_x=0.25；

（4）_0.75p_x=0.25；

（5）μ_x+0.5＝0.5。

A．（1）（2）（3）（4）（5）

B．（1）（2）（3）（4）

C．（1）（2）（3）（5）

D．（1）（2）（4）（5）　 

E．（2）（3）（4）（5）

【答案】B

【解析】（1）

　 =

　 =1=1；

（2）

　 =

　 =1=0.5；

（3）；

（4）；

（5）。

119．已知(20)死亡力函数为：

则=（　　）。

A．22

B．23

C．24

D．25

E．26

【答案】A

【解析】因为死亡力函数是分段函数，所以生存函数也是分段函数。

①当0≤t<20时，_tp₂₀＝e^-0.02t，0≤t<20；

②当t≥20时，；

故

=22。

120．已知某残缺生命表，如表1-26所示，则e₉₈=（　　）。

A．0.5120

B．0.6125

C．1.0120

D．1.6125

E．1.5240

【答案】A

【解析】由于，，

所以由表中数据得：

l₉₉=d₉₉+l₁₀₀=40+24=64；

而d₁₀₀=q₁₀₀·l₁₀₀=0.667×24=16；

故l₁₀₁=l₁₀₀－d₁₀₀=24－16=8；

又d₁₀₁=q_101·l₁₀₁=(1－p₁₀₁)·l₁₀₁=(1－0.25)×8=6；

所以l₁₀₂=l₁₀₁－d₁₀₁=8－6=2。

故=0.6125。

121．在每一年龄年度死亡均匀分布假设下，计算

=（　　）。

A．0

B．0.2

C．0.5

D．0.7

E．1

【答案】B

【解析】

=

=

=

=

=0.5。

122．已知q₇₀=0.06和p₇₁=0.92，且每个年龄年度内死亡服从均匀分布。则70岁的人在70岁与71岁之间发生死亡的概率为（　　）。

A．0.061

B．0.062

C．0.064

D．0.066

E．0.068

【答案】E

【解析】设所求概率为P=，且已知每个年龄年度内死亡服从均匀分布，故

=

=

=0.03+0.94××0.08

=0.068。