第7章 应力状态和强度理论
一、填空题
1．如图7-1所示单元体的三个主应力为：σ1＝______；σ2＝______；σ3＝______。[北京航空航天大学2005研]
图7-1
【答案】10MP；5MP；-10MP。
【解析】该单元体为三向应力状态，则有：
， 
， 
2．受内压P作用的封闭薄壁圆柱形筒，平均直径为D，壁厚为t，且筒壁材料处于二向应力状态，材料的许用应力为[σ]。若采用第三强度理论建立的强度条件______。[西安交通大学2005]
【答案】
【解析】由薄壁圆筒的应力公式知应力分量为
轴向应力为
，周向应力为：
所以主应力为：
。
采用第三强度理论建立的强度条件为
3．如图7-2所示，在体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其宽度和深度都是1 cm，在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸是1 cm×1 cm×1 cm。当铝块受到压力P＝6 kN的作用时，钢块不变形，铝的弹性模量E＝70 GPa，ν＝0.33。则铝块按第三强度理论的相当应力σr3＝______，按第四强度理论的相当应力σr4＝______。[大连理工大学2002研]
图7-2
【答案】60 MPa；52.9 MPa。
【解析】该单元体是如下二向应力状态：
图7-3
在铝块横截面上的压应力为：
这是两个个主应力中绝对值最大的一个。
钢块不变形，铝块收受到P作用时产生横向均压力，
有广义胡克定律
由此求得：p＝-19.8 MP
因此，两个主应力为：σ1＝-19.8 MP，σ2＝-60 MP
第三强度理论：
第四强度理论：
二、选择题
1．对同一个单元体的应力状态，用第三强度理论和第四度理论计算的相当力σr3与σr4，比较二者（ ）。[西安交通大学2006研]
A．σr3＝σr4
B．σr3＞σr4
C．σr3＜σr4
D．无法确定固定关系
【答案】B
【解析】第三强度理论：
第四强度理论：
因为
，所以
三、计算题
1．两端封闭的薄壁铸铁圆筒如图7-4所示，已知圆筒内径d＝200mm，壁厚t＝10mm，材料的泊松比μ＝0.25，许用应力
，圆筒随受内压力q＝10MPa和轴向压力F＝200kN以及外力偶矩T＝6kN·m，试按第二强度理论校核圆筒的强度，并画出筒壁上各点的应力状态。[华南理工大学2012研]
图7-4
答：薄壁圆筒的横截.轴向应力为：
①
薄壁圆筒环向应力为：
②
径向应力为：
③
切应力为：
④
其中
由以上各式解得：
取单元体进行分析，其应力状态如图7-5所示。
图7-5
=103.77MPa
=78.06MPa
按照第二强度理论校核
所以，该薄壁筒的强度不满足要求。
2．曲拐受载如图7-6所示，已知危险点处单元体的应力分量分别为σx＝10 MPa，σy＝30 MPa，τxy＝20 MPa，试求单元体的主应力大小、主平面的方位及其最大剪应力，并画出主单元体应力状态。[武汉理工大学2010研]
图7-6
解：由题已知：σx＝10 MPa，σy＝30 MPa，τxy＝20 MPa
（1）由主应力计算公式可得：
} 
{ 
按照主应力的记号规定
可得单元体的三个主应力为：
σ1＝42.4 MP，σ2＝0 MP，σ3＝-2.4 MP
（2）主平面位置由公式可得：
解得：
或
（3）最大剪应力：
（4）主单元体示意图：
图7-7
2．构件上某点单元立方体的应力状态如图7-8所示（应力单位为MPa）。材料的弹性模量E＝200GPa，泊松比为μ＝0.3，试求：（1）三个主应力；（2）最大剪应力；（3）三个主应变；（4）体积应变；（5）分别按最大拉应力理论，最大拉应变理论，最大剪应力理论及形状改变比能量理论求相当应力。[浙江大学2006研]
图7-8
解：（1）对于图示应力状态，已知σz为主应力，其他两个主应力可由xy平面内的σx，τxy，σy$求出。
由公式
可得：
于是三个主应力为：
（2）最大剪应力：
（3）三个主应变
由广义胡克定律得：
同理：
（4）体积应变：
（5）①最大拉应力理论：
②最大拉应变理论：
③最大剪应力理论：
④形状改变比能量理论
