第12章　傅里叶级数和傅里叶变换

12.1　复习笔记

一、函数的傅里叶级数展开

1．傅里叶级数

设f（t）是一个周期为T的波，在一定条件下可以把它写成

其中是n阶谐波，，称上式右端的级数是由f（t）

所确定的傅里叶级数，它是一种三角级数．

2．三角函数系的正交性

考察三角函数系

其中每一个函数在长为2π的区间上定义，其中任何两个不同的函数的乘积沿区间上的积分等于零，而每个函数自身平方的积分非零，则称这个函数系在长为2π的区间上具有正交性．

3．傅里叶系数

设函数f（x）已展开为全区间上的一致收敛的三角级数

则

；

；

因此欧拉-傅里叶公式为

称三角级数

是f（x）关于三角函数系的傅里叶级数，而称为f（x）的傅里叶系数，记为

4．傅里叶级数的收敛判别法

设函数f（x）在[－π，π]上可积和绝对可积，且

若f（x）在x点的左右极限f（x＋0）和f（x－0）都存在，并且两个广义单侧导数

都存在，则f（x）的傅里叶级数在x点收敛．当x是f（x）的连续点时它收敛于f（x），当x是f（x）的间断点（一定是第一类间断点）时它收敛于

5．傅里叶级数的复数形式

傅里叶级数的n阶谐波可以用复数形式表示．由欧拉公式

得

记，则上面的傅里叶级数就化成一个简洁的形式

这就是傅里叶级数的复数形式，c_n为复振幅，c_n与c_-n是一对共轭复数．其中

归结成一个形式，就是

（其中n＝0，±1，±2，…）．

6．收敛判别法

（1）狄利克雷积分

设f（x）在[－π，π]上可积和绝对可积，它的傅里叶级数为

其中

傅里叶级数的部分和为

上面的几种积分表达式都称为狄利克雷积分．又因为

所以

记，若能否取到适当的s，使

成立，则f（x）的傅里叶级数在x点就收敛于s．

（2）黎曼引理

设函数ψ（u）在区间[a，b]上可积和绝对可积，那么以下的极限式成立

（3）傅里叶级数收敛性的判定

①迪尼（Dini）判别法（迪尼定理）

设能取到适当的s，使由函数f（x）以及x点所作出的满足条件：对某正数h，使在[0，h]上，为可积和绝对可积，那么f（x）的傅里叶级数在x点收敛于s．

②利普希茨（Lipschitz）判别法（迪尼判别法的一个推论）

如果函数f（x）在x点连续，并且对于充分小的正数u，在x点的利普希茨条件

成立，其中L，α皆是正数，且α≤1，那么f（x）的傅里叶级数在x点收敛于f（x）．更一般地．如果对于充分小的u，成立L，α同前，那么f（x）的傅里叶级数在x点收敛于

7．傅里叶级数的性质

（1）傅里叶系数与函数f（x）在整个积分区间上的值有关．

（2）局部性定理

函数f（x）的傅里叶级数在x点的收敛和发散情况，只和f（x）在这一点的充分邻近区域的值有关．

（3）可积和绝对可积函数的傅里叶系数趋于零，即

（4）一致收敛性

①设周期为2π的可积和绝对可积函数f（x）在比[a，b]更宽的区间[a－δ，b+δ]（其中δ>0）上有有界导数，那么f（x）的傅里叶级数在区间[a，b]上一致收敛于f（x）；

②设周期为2π的可积和绝对可积函数f（x）在比[a，b]更宽的区间[a－δ，b+δ]（其中δ>0）上连续且为分段单调函数，那么f（x）的傅里叶级数在区间[a，b]上一致收敛于f（x）．

（5）傅里叶级数的逐项求积和逐项求导

设f（x）是[－π，π]上的分段连续函数，它的傅里叶级数是

则右端级数可以逐项积分，设c和x是[－π，π]上任意两点，则有

（6）最佳平方平均逼近

设是任意一个n次三角多项式

其中都是常数．设f（x）是[－π，π]上可积和平方可积函数，称

是用三角多项式在平方平均意义下逼近f（x）的偏差．

设f（x）的傅里叶级数是

右端级数的n次部分和

是f（x）的最佳平方平均逼近，亦即对任何n次三角多项式都有

二、傅里叶变换

1．傅里叶变换的概念

称是f（x）的傅里叶变换，并把它记为F（f）或即

由f（x）的绝对可积性以及，可以得到

（1）是ω∈（﹣∞，+∞）内的连续函数；

（2）黎曼引理：

2．傅里叶变换的性质

（1）线性

，其中是两个任意给定的常数．

（2）平移

对任何f（x），设（即f（x）的平移），那么这个性质表明平移后的傅里叶变换等于未作平移的傅里叶变换乘

（3）导数

设f（x）→0（x→±∞），则

由这一性质知，求导运算在傅里叶变换下变为乘积运算．

（4）