第2部分　函数项级数

第11章　函数项级数、幂级数

11.1　复习笔记

一、函数项级数的一致收敛

1．函数项级数的概念

（1）函数项级数定义

设是定义在实数集X上的函数，则称是函数项级数，并称是这一级数的n次部分和.

（2）收敛性定义

如果对X中的一点x₀，数项级数

收敛，就称函数项级数在x₀点收敛，否则就说它在x₀点发散．如果对X中任何一点x，级数收敛，则函数项级数在X上收敛（即在每一点都收敛）．这时，对每一点，级数有和，记此和为S（x），即可见，S（x）是X上的函数．

2．一致收敛的定义

（1）一致收敛的定义

①设有函数列（或函数项级数的部分和序列）,若对任给的，存在只依赖于而不依赖于x₀的正整数，使时，不等式

（对函数项级数，此式也可写为）对X上一切x都成立，则称

②设如果就称在X上一致收敛于．

（2）内闭一致收敛、收敛、一致收敛的关系

①当在（a，b）内任一闭区间上一致收敛时，称在区间（a，b）内闭一致收敛；

②函数列在（a，b）一致收敛，则一定内闭一致收敛．但反之不然．但在（a，b）内闭收敛，则它在区间（a，b）也收敛．

（3）一致收敛的柯西充要条件

函数列在X上一致收敛的充要条件为，对任给的，可得正整数，使时，不等式对任意的正整数p和X上任意的x都成立．

3．一致收敛级数的性质

（1）若在[a，b]上，函数列的每一项都连续，且一致收敛于,则其极限函数也在[a，b]上连续．

这个定理表明：在定理的条件下，对[a，b]上任一点x₀，有

即两个极限运算（一个对x→x₀取极限，另一个对n→∞取极限）可以交换顺序．

（2）设在[a，b]上一致收敛于，每一都在[a，b]上连续，那么

亦即极限号与积分号可以互换，又函数列也在[a，b]上一致收敛于

（3）若在[a，b]上函数列的每一项都有连续导数，收敛于一致收敛于则

亦即

也就是极限号与求导数号可以交换．又此时在[a，b]上也是一致收敛的．

（4）和的连续性

若在[a，b]上级数的每项都连续，且一致收敛于S（x），则S（x）也在[a，b]上连续．

（5）逐项求积

设在[a，b]上一致收敛于，并且每一都在[a，b]上连续，则

亦即和号可以与积分号交换，又在[a，b]上，函数项级数也一致收敛于

（6）逐项求导

若在[a，b]上，的每一项都具有连续导数，且一致收敛于收敛于，则，亦即

且一致收敛于S（x）．

4．一致收敛级数的判别法

（1）魏尔斯特拉斯判别法

若对充分大的n，恒有实数，使得对X上任意的x都成立，并且数项级数收敛，则

在X上一致收敛．

（2）阿贝尔判别法

若在X上一致收敛，又对X中每一固定的x，数列单调．而对任意的n和X中每个x，有

（不依赖于x和n的定数），那么在X上一致收敛．

（3）狄利克雷判别法

的部分和在X上一致有界，又对X内每个x，数列单调，并且函数列在X上一致收敛于零，则在X上一致收敛．

二、幂级数

1．收敛半径

（1）幂级数定义

形如的函数项级数称为幂级数．它的部分和是多项式，它的一般项为

（2）收敛半径定义

R叫作幂级数的收敛半径．

（3）相关定理

①柯西－阿达马（Hadamard）定理

幂级数在内绝对收敛，在内发散．

②阿贝尔第一定理

若在点x＝ξ收敛，那么它必在内绝对收敛，又若在x＝ξ发散，则它必在也发散．

③阿贝尔第二定理

若的收敛半径为R，则此级数在内的任一个闭区间[a，b]上一致收敛，也就是在内闭一致收敛；又若级数在收敛，则它必在一致收敛．

2．幂级数的性质

（1）设幂级数的收敛半径为R，则其和函数S（x）在内连续．又若幂级数在（或R）收敛，则S（x）在（或（）连续．

（2）设幂级数的收敛半径为R，其和函数为S（x），则在内幂级数可以逐项积分和逐项微分．即对内任意一点x，有

以及

并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R．

3．函数的幂级数展开

（1）假若函数f（x）在某点及其某一邻域内能表示为幂级数，也就是在内恒有那么，它在这个邻域内必有任意阶的导数，并且

上式右端的幂级数称为f（x）的泰勒级数．

（2）如果f（x）在点的某个邻域内有任意阶的导数，不一定有

设余项

只有当余项在这区间内趋于零时，一个任意阶可导的函数能够表示为一个幂级数．

（3）余项的各种形式

①的拉格朗日形式

其中ξ是介于和x之问的一个数．

②的积分余项形式

③

其中ξ为，x之间的某一值，这称为柯西余项．

（4）一些基本初等函数的麦克劳林级数

①

②

③

④

⑤

⑥二项式在－1＜x＜1内，恒有

三、逼近定理

魏尔斯特拉斯逼近定理

设f（x）是[a，b]上的连续函数，那么对任意给定的ε＞0，总存在多项式P（x），使得

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