1.3　名校考研真题详解

一、选择题

是（　　）。[同济大学研]

A．右界函数　 

B．单调函数　 

C．周期函数　 

D．偶函数

【答案】D

【解析】

二、解答题

1．证明下列不等式：[浙江师范大学2006研]

证明：因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以

2．设，当y=1时，z=x，求f（x）和z。[西安交通大学研]

解：依题意令，则

，

所以

3．设求f（x）的表达式。[北京大学研]

解：令t=lnx，则，所以

4．设，求f（x）的定义域和[中国人民大学研]

解：由，解得，从而f（x）的定义域为

5．求函数的定义域和值域．[华东师范大学研]

解：由可得．解得函数的定义域为

又因为

所以函数的值域：

6．已知的定义域为，求的定义域．[武汉大学研]

解：，即f（x）的定义域为．

再由

解得，∴所求定义域为

7．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上是奇函数，f（1）＝a且对任何x值均有

（1）试用a表示f（2）与f（5）；

（2）问a取什么值时，f（x）是以2为周期的周期函数．[清华大学研]

解：（1）

在①式中，令x＝－1．

（2）由①式知当且仅当f（2）＝0，即a＝0时，f（x）是以2为周期的周期函数．

8．已知，设．[南京邮电大学研]

解：令，可用数学归纳法证明

  ①

当n＝1时，显然①式成立．

假设当n＝k时，①式成立．

当n＝k＋1时，

即对n＝k＋1，①式也成立。命题得证．

9．已知．求．[北京理工大学研]

解：由

解得，互换x，y得当

10．设，试验证，并求．[华中科技大学研]

解：

又