第二部分　极限续论

第3章　关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

3.1　复习笔记

一、关于实数的基本定理

1．子列

（1）定义

在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个组成的数列称为{x_n}的一个子列，一个数列可以有无穷多个子列．

（2）性质

①若，则{x_n}的任何子列{}都收敛于a．

②若对任何都有{f（x_n）}收敛，那么f（x）在x₀的极限存在．

2．上确界和下确界

（1）上确界

设给定一数集E，若存在这样一个数，满足以下两个条件：

①对数集E中的一切数x，x≤β；

②对任意给定的正数ε，至少存在一个数x₀∈E，使

则β叫做E的上确界，记为

（2）下确界

对给定的数集E，若存在这样一个数α，满足以下两个条件：

①对数集E中的一切数x，x≥α；

②对任意给定的正数ε，至少存在一个数x₀∈E，使

则α叫做E的下确界，记为

（3）上（下）确界的唯一性定理

设数集有上（下）确界，则这上（下）确界是唯一的．

（4）关于上（下）确界的注意点

①并不是任何数集都有上、下确界，对任何有限数集来说，它们一定存在上、下确界；无限数集不一定存在上、下确界．

②一个无限数集E即使它有上确界（或下确界α），然而这个β（或α）可属于E也可不属于E．

（5）有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界；

（6）单调有界数列必有极限．

（7）若{y_n}为单调增加无界数列，则若为单调减少无界数列．则．

3．区间套定理

设一无穷闭区间列满足下面两个条件：

（1）后一区间在前一区间之内，即对任一正整数n，有

（2）当n→∞时，区间列的长度所成的数列收敛于零，即

则区间的两个端点所构成的数列{}及{}收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点．

4．致密性定理

（1）致密性定理（也称为“魏尔斯特拉斯定理”）

任一有界数列必有收敛的子列．

（2）无界数列的类似特性

若{x_n}是一个无界数列，则存在子列

5．柯西收敛原理

数列{x_n}有极限的充要条件是对任意给定的ε>0，存在正整数N，当m，n>N时，有

6．有限覆盖定理

（1）区间覆盖的定义

设一区间集E（即E的元素为区间）及某一区间I（开或闭都可以），若对属于I的任一点ξ，即ξ∈I，可在E中至少找到一区间Δ，使ξ∈Δ，则称E覆盖I．

（2）有限覆盖定理（也称为“博雷尔定理”）

若开区间所成的区间集E覆盖一个闭区间[a，b]，总可从E中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a，b]．

二、闭区间上连续函数性质

1．有界性定理

若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上有界．

2．最大（小）值定理

在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）一定有最大值和最小值．

3．零点存在定理

若f（x）在[a，b]上连续，且f（a），f（b）异号，则在（a，b）内至少有f（x）=0的一个根ξ．

4．反函数定理

设在上严格增加（减少）且连续，又则在上存在着的反函数在上也是严格增加（减少）且连续的．

5．一致连续性定理

康托尔定理：闭区间[a，b]上的连续函数f（x）一定在[a，b]上一致连续．