第4章　函数极限和连续性

一、选择题

下列函数在开区间（0，1）内一致连续的是（　　）．[天津大学研]

【答案】C

【解析】因为若f（x）在开区间（a，b）上连续，则f（x）在（a，b）上一致连续都存在．或在闭区向[0，1]上连续，因而一致收敛．因此答案选C．

二、解答题

1．计算下列各题：

[北京农业大学、南京农业大学、华南农业大学、浙江农业大学、华中农业大学研]

解：

2．已知，求a和b．[武汉大学2006研]

解：，因为，要使极限存在且不为无穷大，则有，所以a＋b＋1＝0．再利用洛必达（L’Hospital）法则有，所以a＋5＝0，则a＝－5，b＝4．

3．用Heine定理及数列极限和的运算性质证明函数极限和的运算性质：若极限，

，则存在且．[天津大学研]

证明：因为极限，由Heine定理知，对任意的，有

于是

再由Heine定理可得

．

4．求．[南京理工大学2006研]

解：由于，易知

由等价无穷小量知

故由夹逼法知

5．求：

（1）．

（2）．[浙江师范大学2004、2006研]

解：（1），，所以

同理对于（2），有．

6．设，n为自然数，问在什么条件下，下列成立：（1）在x＝0处连续？（2）在x＝0处可导？（3）在x＝0处导函数连续？[中国地质大学研]

解：（1）若f（x）在x＝0处连续，则，所以只要n＞0即可（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量）．

（2），要使上面的极限存在必须n＞1，且．道理同上．

（3）当x≠0时，要使在x＝0处连续，必须，所以n＞2．

7．设函数f（x）是区间上的单调函数，定义g（x）＝f（x＋0）。证明：函数g（x）在区间上每一点都右连续。[北京交通大学、江苏大学2006研]

证明：不妨设f（x）单调递增。对任意的，有，所以对任意的ε>0，存在δ>0，使得。对任意的，由f（x）单调递增知

故。同样由f（x）单调递增知

从而，则函数g（x）在区间上每一点都右连续。

8．（1）设数列满足。定义集合

Z为整数集，N为自然数集。求证对任何实数b，存在数列使得

（2）试证一个非常数的周期连续函数必有最小正周期。[西南师范大学研、南开大学2006研]

证明：（1）由于，且，所以对任意的k∈N，存在使得，从而存在使得。记，则，故。

（2）方法一：反证法。假设一个周期为T的连续函数f（x）没有最小正周期。先证明f（x）的所有正周期没有正的下界。事实上若f（x）的所有正周期有正的下界，记下确界为a>0，则存在单调递减的非负数列使得都是f（x）的周期。从而由f（x）的连续性知

，故a是f（x）的周期，这与f（x）没有最小正周期矛盾。

因此存在单调递减的非负数列使得都是f（x）的周期。由（1）的结论知对任何实数b，存在数列使得，从而由函数的连续性可得

这与f（x）是非常数函数矛盾，得证。

方法二：令

E＝{T>0为f（x）的正周期}

则E非空且有下界。由确界原理可记.

证是f（x）的周期。反证法。否则必有，从而存在，使得利用f（x）的连续性，对任意的有

这说明是f（x）的周期，与反证法假设不符合。

最后证明。显然有，要证。若，则，从而存在，使得

。由此可推出对任意的，有f(x)＝ff(0)，仍用反证法。

事实上，若存在，而。由f（x）在点处连续可知存在，使得。在上述中取，则总有k∈N，使

，此时即有

显然矛盾。但f（x）在上恒为常数又与题设条件不符合，故必定有.