第2章 序列的极限
2.1 复习笔记
一、序列极限的定义
1．序列
序列（也称为数列）,即按照一定顺序排列的一列数：
一个序列实质上就是一个从正整数集N到实数集R的函数：N→R，通常记为
，其中
称为通项.
2．序列极限
（1）ε-N定义
①设{xn}是一个序列，若存在常数
则称该序列是收敛序列，并称a为该序列的极限（或者说序列
收敛于a），记做
或
，若不存在
使得
收敛于a，则称之为发散序列.
②设
是一个序列，若
对
，总存在
使得
，则称
为发散序列．
（2）无穷小量
①定义
设
是一个序列，若
则称序列
为无穷小量，记为：
，需特别指出的是，无穷小量并不是一个很小的量，而是极限为零的一个变量．
②基本性质
定理 设
是一个序列，分为三种情形讨论：
a．
是无穷小量的充分必要条件是
是无穷小量.
b．若
是无穷小量，M是一个常数，则
是无穷小量.
c．
的充分必要条件是
是无穷小量.
（3）无穷大量
①正无穷大量
设
,使得对于任意的
，有
的极限为＋∞,记为
）；
②负无穷大量
若
，当
时有
，则称
为负无穷大量（有时也称
的极限为－∞，记为
；
③无穷大量
若
是正无穷大量，则称
为无穷大量（有时也称
的极限为∞，记为
．
（4）无穷大量和无穷小量的关系
定理 
二、序列极限的性质
1．有界序列
设
是一个序列，若
对
有
成立，则称
是有界的．
2．序列极限的基本性质
（1）极限的不变性
改变一个序列
的有限多项，不改变其敛散性；当
收敛时，则不改变其极限值.
（2）极限的唯一性
定理 收敛序列的极限是唯一的.
（3）有界性
①定理
收敛序列是有界的.
②推论
有界序列不一定收敛.
（4）保序性
①定理
给定两个序列
则有：
a．若b＞0，则对任意给定的
使得当
时，有
b．若
,当
时有
,则a≤b.
②推论
设
,则对任给
使得当
时，有
若
则对任给
使得当
时，有
（5）四则运算
设
则
①
②
③
其中
（6）夹逼收敛定理
定理 设序列
和
满足
若
三、单调收敛原理
1．单调收敛理论
（1）单调序列
①若序列
满足
则称
是单调递增（上升）的序列；
②若序列
则称
是单调递减（下降）的序列；
③单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列.
（2）单调收敛定理
①定理
单调有界序列必收敛.
②推论
单调序列总是广义收敛的，并且有
a．若
单调上升，则
b．若
单调下降，则
.
2．单调收敛原理的应用
（1）无理数e
序列
单调上升有上界，
单调下降有下界，故二者都收敛且有相同的极限，约定用字母e来表示其极限值，即
e是数学中最重要的常数之一，其近似值为：
（2）欧拉（Euler）常数c
序列
单调下降有下界，由单调收敛定理可知
收敛.记
称c为欧拉（Euler）常数，可计算出
.
四、实数系连续性的基本定理
1．闭区间套定理
定理 设
是一列闭区间，并满足：
（1）
（2）
则存在唯一的一点
使得
即
注：闭区间这个条件是重要的，若区间是开的，则定理的结论不一定成立.
2．有限覆盖定理
（1）覆盖的概念
设A是R中的一个子集，
是R中的一族子集组成的集合，其中A是一个指标集.
①若
，则称
是A的一个覆盖；
②若
的一个覆盖，而且对每个
均是一个开区间，则称
为A的一个开覆盖；
③若
是A的一个覆盖，而且n的元素只有有限多个，则称
是A的一个有限覆盖.
（2）有限覆盖定理
定理 设[a，b]是一个闭区间，
是[a，b]的任意一个开覆盖，则必存在
一个子集构成[a，b]的一个有限覆盖，即在
中必有有限个开区间
使得
3．聚点原理
（1）聚点的定义
设E是R中的一个子集，若
（x0不一定属于E）满足：对
有
则称x0是E的一个聚点.若
，但它不是E的聚点，则称x0是E的一个孤立点.
（2）聚点原理
定理 R中的任何一个有界无穷子集至少有一个聚点.
（3）子序列
①定义
设
是一个序列，则由该序列的一部分元素按原来的顺序构成的序列
称为是
的一个子序列，其中下标
满足如下三点
a．
中的每一项都是正整数，并且它是一个严格递增序列：
b．
表示在子序列中它是第k项，在原序列中它是第
项；
c．必有
从而
②定理
设
,则对
的任意子序列
都有
.
③推论
若在一个序列
中可以找到两个收敛的子序列
和
使得
则该序列必然发散.
④波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
定理 任何有界序列必有收敛的子序列.
4．柯西收敛原理
（1）柯西收敛原理
①柯西序列
设
是一个序列，若
,当
时，有
,则称
是一个柯西序列.
②柯西收敛原理
序列
收敛的充分必要条件是是一个柯西序列.
③实数的完备性
将一些数构成的集合K称为是一个空间.如果一个空间K中的任何柯西序列
都在K中存在极限，即存在
,使得
,则称K是完备的.实数域R是完备的，有理数域Q是不完备的，任何开区间（a，b）也是不完备的.
（2）压缩映照原理
设
在
上有定义,
且满
其中
，则存在唯一的
使得，
＝c.
五、序列的上、下极限
1．上、下极限的定义
（1）设
是有界序列，令
则有
即
和
是单调有界序列.令
则l与h分别称为
的下极限和上极限，记为
（2）若为无界序列，则规定：
①若
无上界，则
注意此时必有：
②若
无下界，则
注意此时必有：
③若
有下界但无上界，则
有定义，故可定义
，但须注意的是，此时
可能为＋∞.
④若
有上界但无下界，则
有定义，故可定义
，但须注意的是，此时
可能为－∞.
这样，对任意的序列
，
和
都有明确的定义，而且恒有
2．上极限的等价定理
设
是一有界序列，h是一实数，则下列三个命题等价：
（1）h是
的上极限；
（2）
,当n＞N时有
而且对
，
,使得
（3）存在子列
使得
,而且对任何其他收敛子列
有
.
3．上、下极限的相关定理
（1）若有界序列
由互不相同的数组成，则上极限
是
的最大聚点，而下极限
是
的最小聚点.
（2）
是
的任一子列，则
（3）
的充分必要条件是
,其中a可以是有限数、－∞或＋∞.
4．上、下极限的重要性质
（1）设
和
是任意给定的两个有界序列，若有
，则必有
（2）设
和是任意给定的两个有界序列，则有
（3）设和是任意给定的两个有界序列，则有
（4）设
则有
