第9章　离散傅里叶变换以及其他离散正交变换

一、选择题

1．信号的周期为(　  )。[北京邮电大学研]

A．8 

B．24 

C．12π 

D．12

【解答】B

【解析】的周期为8，周期为12，两部分是相加的形式，因此周期是两个周期的最小公倍数，也即24。

2．序列的周期为(　  )。[华中科技大学2009研]

A．10　 

B．12　 

C．15　 

D．30

【答案】B

【解析】由于，又因为序列周期是一个整数，所以所求周期为。

二、判断题

考虑一离散时间理想高通器，其频率响应是，当减小时，该滤波器的单位冲激响应是更远离原点( 　 )。[华南理工大学2008研]

【答案】对

【解析】改写频率响应为，其中。根据常用傅里叶变换可知，的逆变换为。所以，由波形可知，当减小时，该滤波器的单位冲激响应是更远离原点。

三、填空题

若已知傅立叶变换对，则图9-1所示频谱函数的傅立叶逆变换为y[n]=______。[华中科技大学2009研]

图9-1

【答案】

【解析】由已知和卷积定理，得到。则中部分的傅里叶反变换为，则，所以

四、计算题

1．已知如图9-2（a）所示的离散时间函数x（n）

（1）求x（n）的离散时间傅里叶变换

（2）以周期N=100，把x（2n）开拓为一个周期性信号

①画出周期信号的波形图；

②把展开成离散傅里叶级数，并画出频谱图。

③若把周期信号通过一个单位采样响应的系统，求系统的输出响应y（n）。 [北京理工大学研]

解：

图9-2

（2）①按照离散信号尺度变换的特点，特别注意离散信号只在n为整数时才有意义，画x（2n）图形如图9-2（b）所示。

再以N=10为周期开拓为周期序列，如图9-2（c）所示。

②令，将展开为离散傅里叶级数，即

式中，，将N=10并令数字角频率代入上式，得

当k=0时，；k=1时，；k=2时，

当k=3时，；k=4时，；k=5时，

当k=6时，；k=7时，；k=8时，

当k=9时，

一个周期的图形如图9-2（d）所示。

③系统的，则由对称性质，该离散系统的频率响应函数一定是频域的周期函数，周期为2n。

将加在这样一个系统的输入端，只有它的直流分量，基波分量（k=1），，二次谐波分量（k=2），0.4πrad可以通过该系统，其他的谐波分量均被滤除。根据以上分析并考虑，所以

所以

2．希尔伯特变换给出了因果系统的系统函数中实部和虚部的关系，对于任意序列x（n），有其离散时间傅里叶变换为，求与的关系。[上海交通大学研]

解：x（n）为实的因果信号，n<0，h（n）=0

令泊松，

共轭，

3．假设信号x（n）的频谱另一信号s（n），x（n）之间的关系表示为：

1－4k）。试设计一个低通滤波器的频率响应，使之当该滤波器的输人为S（n）时，输出为x（n）。[上海交通大学研]

解：（1）设

图9-3

4．已知序列，令

求：（1）和X（k）。

（2）X（k）与的关系。[上海交通大学研]

解：

5．已知序列值为2、1、0、1的4点序列，试计算8点序列

离散傅里叶变换。[中国科学院2006研]

解：先用DFT公式或4点DFT的矩阵计算式，即

或者

可得的4点DFT为

由于

因此，，其中和分别是和的离散时间傅里叶变换（DTFT）。

再根据DFT与DTFT之间的关系，可得的8点DFT为