三、计算题

1．在某一个晚上，J.P.以下列效用函数的形式享用雪茄（C）与喝白兰地酒（B）

（1）问：他这晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用？（假定他不受预算约束）？

（2）后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位，在这一条件下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄呢？（北京邮电大学2008研）

解：（1）由题意可知，他不受预算约束，要使他的效用最大，则需满足：

且

解得：。

即不受预算约束时，他这晚上要抽10支雪茄，喝3瓶白兰地酒才能得到最大效用。

（2）由题意可知，他的约束条件为：，在此约束条件下达到最大效用。

由代入效用函数可得：

效用最大化的一阶条件为：

，解得：。

将代入约束条件，可得：。

即如果每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位，为了获得最大的效用，他会喝1瓶白兰地，抽4支雪茄。

2．假定效用函数为，为消费的商品量，为收入。求：

（1）需求函数；

（2）反需求函数；

（3），时的消费者剩余。（东华大学2010研）

解：（1）由效用函数可得：，此即为货币的边际效用。

由效用函数可得：，此即为该商品给消费者带来的边际效用。

根据消费者效用最大化的均衡条件，即有：，整理可得需求函数为：。

（2）由需求函数可得反需求函数为：。

（3）消费者剩余。

3．已知效用函数为，收入为，、的价格分别为、，求：

（1）两种商品的需求函数；

（2）当，，时，求边际替代率，并求出此时、的需求价格弹性和收入弹性。（山东大学2002、2007研）

解：（1）消费者的预算线方程：。

由消费者的效用函数，可得出商品和的边际效用，即，

根据消费者效用最大化的条件，可得：。

将上式代入预算线方程，可得：，。

（2）商品对商品的边际替代率为：

的需求价格弹性，同理可得，的需求价格弹性也等于1。

的需求收入弹性，同理可得，的需求收入弹性也等于1。

4．已知，某消费者的效用函数，请给出均衡条件的需求函数，并证明其收入将均摊于商品，。（中央财经大学2009研）

解：（1）由效用函数，可得：

　①

　②

由消费者效用最大化的均衡条件可得：

　③

联立①、②、③式可得：

，即：

所以，均衡条件的需求函数为。

（2）证明：设收入为，则有：。

根据均衡条件的需求函数：。

所以，。

即该消费者的收入将均摊于商品，。

5．一个消费者，收入为120元，购买两种商品，效用为。

（1）设商品价格分别为，，求消费者均衡；

（2）商品1的价格下降为，求商品1的替代效应和收入效应。（华中科技大学2004研）

解：（1）由效用函数可得出商品和商品的边际效用，即：

，

根据消费者效用最大化的条件，有：

得：

　①

另可得预算线方程为：

　②

联立①②式可得，。

即消费者均衡时，消费者消费5单位，6单位。

（2）当商品1价格下降为时，同理可求得消费者均衡时，消费者消费6单位商品，6单位商品。现求价格下降所造成的替代效应，若维持原有效用水平不变，此时：

解得：。

则可得商品1的替代效应为，收入效应为。

6．设一个消费者使用两种商品（），效用函数为，商品价格元，元。

（1）设他的收入为40元，求消费者均衡；

（2）求恩格尔曲线。（华中科技大学2002研）

解：（1）当达到消费者均衡时，有

即：

得：

　①

另可得预算线方程为：

　②

联立①②式可得：。

即达到消费者均衡时，消费者消费商品数量为6个单位，消费商品数量为10/3个单位。

（2）假设消费者收入为，则消费者均衡时，，即，又根据预算约束线，有，联合可得：

恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平对某商品的需求量，因此商品的恩格尔函数为，相应的商品的恩格尔曲线为一条向右上方延伸的直线；商品的恩格尔函数为，相应的商品的恩格尔曲线也为一条向右上方延伸的直线。

7．某消费者的偏好由以下效用函数描述：，其中是的自然对数。商品1和商品2的价格分别为和，消费者的收入为。

（1）写出消费者的最大化问题。

（2）求出需求函数和。

（3）设价格，画出每种商品与此价格相应的恩格尔曲线，该曲线描述了商品需求和收入之间的关系（经济学家的习惯是把收入作为纵坐标）。

（4）设，，画出商品1的需求曲线，该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家的习惯是把价格作为纵坐标）。

（5）判断商品1和商品2是正常品还是劣等品，是普通品还是吉芬品，是互补品还是替代品。（复旦大学2004研）

解：（1）消费者的最大化问题即在收入约束下，消费者效用最大化。用数学表达式表示为：

（2）消费者的预算线方程：。

由消费者的效用函数，可得出商品和的边际效用，即，。

根据消费者效用最大化的一阶条件，可得：。

将上式代入预算线方程，可得：，。

（3）当价格时，，。与价格相对应的两种商品的恩格尔曲线如图3-16所示。

图3-16  时两种商品的恩格尔曲线

（4）当，，商品1的需求函数为：。商品1的需求曲线如图3-17所示。

图3-17  商品1的需求曲线

（5）由商品1、商品2的需求函数以及商品的收入弹性可以看出，商品1和商品2都是正常品。根据需求交叉弹性可以得出，，因此商品1和商品2是无关品，不存在相关关系。

8．假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1，2，3，同时该社会存在着两种商品，分别是和。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1，2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示：

①；

②，其中；

③，其中。

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集；

（2）假如商品和商品的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对和的最优消费量；

（3）证明：消费者2和消费者3的偏好是一致的；

（4）现在假设商品和商品的价格分别是和，消费者2拥有单位货币，请计算他的消费选择；

（5）用公式和图像给出消费者3对于商品的收入—消费路径。（复旦大学2007研）

解：（1）根据序数效用理论，无差异曲线是维持效用不变的商品组合的轨迹，偏好的上等值集就是无差异曲线右上方部分。根据消费者1的效用函数，其无差异曲线及上等值集如图3-18所示。

图3-18  消费者1的无差异曲线及上等值集

（2）消费者1的预算线方程：。

由消费者1的效用函数，可得出商品和的边际效用，即。

根据消费者效用最大化的一阶条件，可得：。

将上式代入预算线方程，可得：。

即消费者1对和的最优消费量为（30，20）。

（3）根据效用函数的性质：效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可得：。

令，，因此。

因此，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏好是一致的。

（4）消费者2的预算线方程：。

由消费者2的效用函数，可得出商品和的边际效用，即。

根据消费者效用最大化的一阶条件，可得：。

将上式代入预算线方程，可得：，。

即消费者2对和的最优消费量为，。

（5）消费者3的偏好和消费者2的偏好是一致的，因此消费者3的最优化问题和消费者2是相同的。

消费者3的恩格尔曲线方程为：，其中的价格为常数。恩格尔曲线方程就是商品的收入—消费路径，如图3-19所示。

图3-19  消费者3对于商品的收入—消费路径

9．市场上黄瓜价格元，西红柿价格元，张三的收入为50元，其效用函数为的平方根。

（1）根据上述条件计算张三的最大效用；

（2）作出张三的无差异曲线和预算线的图，分析张三的最优消费组合，与（1）对比，说明其有何区别并说明理由。（中国人民大学2010研）

解：（1）由题意得预算约束方程为。

由效用函数得，。

边际替代率：。

可见边际替代率是随着的增加而增加的，所以不能根据消费者均衡条件去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足）。

此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得，在点处的效用为，在另外一个点的效用为，因此张三的最大效用是。

（2）张三的无差异曲线和预算线如图3-20所示。

可以看出，无差异曲线是以原点为中心的一条条圆弧，而预算线是一条直线，一条无差异曲线与预算线相切于点，而另一条无差异曲线与预算线相交于点，点是张三效用最小化的那一点，而点是张三效用最大化的那一点，不难算出张三的最优组合为，这和（1）的结果一致。

图3-20  张三的无差异曲线和预算线

10．小李在时期1的收入为1000元，在时期2的收入为1200元，他跨期的效用函数为，利率为25%。请回答以下问题：

（1）画出小李的预算线，并标明其斜率和收入禀赋点；

（2）求小李两个时期的最优消费，并标注在上图中；

（3）如果政府加征20%的利息收入税，请重新计算小李的预算线以及跨期最优消费，并标注在图中。（南开大学2007研）

解：（1）由题意知：，，，则：

小李第1时期的最大的消费量；

小李第2时期的最大消费量。

因此，小李的预算线如图3-21所示，其斜率。

收入禀赋点为点（1000，1200）。

（2）把相关参数代入小李预算线方程可得：。

小李第1期边际效用为：；

小李第2期边际效用为：。

根据消费者效用最大化的条件，可得。

将上式代入预算线方程，可得：，，小李的最优消费点为点（1568，490），如图3-21所示。

图3-21  跨期预算约束与最优选择

（3）如果政府加征利息收入税，则此时小李的预算约束为：

代入有关参数可得预算约束方程：。

把预算约束方程代入效用函数可得：。

效用最大化的一阶条件为：

求解可得：。

将代入预算约束方程，可得：。

因此，消费者的最优选择点为B点（440，1760），如图3-21所示。