二、基本概念与基本结论

（一）数列极限

1.数列极限的定义

定义1 若∀ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时有|xn-a|＜ε，则称常数a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a，记为，或xn→a（n→∞），此时称极限存在.如果数列没有极限，则称数列是发散的，即数列极限的ε-N定义：

，存在N＞0，使得当n＞N时有|xn-a|＜ε.

关于数列极限有如下等价命题（也可以作为数列极限的等价定义）.

命题1 ，存在N＞0，使得当n＞N时有|xn-a|＜kε（其中k是任意给定的正常数）.

命题2 =a⇔∀0＜ε＜1，存在N＞0，使得当n＞N时有|xn-a|＜ε.

证：必要性：设=a，则由定义1可知∀0＜ε＜1，存在N＞0，使得当n＞N时有|xn-a|＜ε.

充分性：∀ε＞0，分两种情况讨论.

当0＜ε＜1，由题设，存在N＞0，使得当n＞N时有|xn-a|＜ε.

当ε≥1时，由题设，任取0＜ε0＜1（比如，取ε0=0.5），存在N＞0，使得当n＞N时有|xn-a|＜ε0成立，从而有|xn-a|＜ε0＜1≤ε.于是，对ε≥1，存在N＞0，使得当n＞N时有|xn-a|＜ε.故命题2成立.

命题3 =a⇔∀0＜ε＜1，存在N＞0，使得当n＞N时都有|xn-a|＜kε（其中k是任意给定的正常数）.

注1：定义1和命题2中的不等式|xn-a|＜ε可以改为|xn-a|≤ε.命题1和命题3中|xn-a|＜kε也可以改为|xn-a|≤kε.

注2：在利用数列极限的定义验证某个数列的极限值时，有时找N比较困难，这时往往需要把|xn-a|适当地变形、放大，若放大后的式子小于ε，那么必有|xn-a|＜ε.

定义2 称≠a，如果∃ε0＞0，∀N＞0，∃n0＞N使得|xn0-a|≥ε0.

2.收敛数列的性质

定理1（唯一性）若数列{an}收敛，则它只有一个极限.

定理2（有界性）若数列{an}收敛，那么它一定有界，即：对于数列{an}，∃正数M，对一切n，有|an|≤M.

定理3（保号性）若=a＞a′＞0（或=a＜a′＜0），则存在正数N，使得当n＞N时有an＞a′＞0（或an＜a′＜0）.

上述极限的保号性有如下的等价描述.

定理3 ′（保正号）若=a＞0，则存在正数N，使得当n＞N时有an＞0.

（保负号）若=a＜0，则存在正数N，使得当n＞N时有an＜0.

定理4（保不等式性）设{an}与{bn}均为收敛数列，若存在正数N0，使得当n＞N0时有an≤bn，则.

定理5（迫敛性）设收敛数列{an}，{bn}都以a为极限，且数列{cn}满足：存在正数N0，当n＞N0时有an≤cn≤bn，则数列{cn}收敛，且=a.

（二）函数的极限

1.自变量趋向有限值x0时函数的极限

定义3 如果∀ε＞0，∃δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时有|f（x）-A|＜ε，就称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为=A，或f（x）→A（x→x0），此时称极限存在.即函数极限的ε-δ定义：

=A⇔∀ε＞0，∃δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时有|f（x）-A|＜ε.

注3：定义3中0＜|x-x0|表示x≠x0，这说明当x→x0时，f（x）有无极限与f（x）在x0点是否有定义无关（可以无定义，即使有定义，与f（x0）值也无关）.定义3中要求f在U。（x0；δ）={x|0＜|x-x0|＜δ}中有定义.

定义4 如果∀ε＞0，∃δ＞0，当x0-δ＜x＜x0时（当x0＜x＜x0+δ时），有|f（x）-A|＜ε，则称A为f（x）当x→x0时的左（右）极限，记为=A或f（x0-0）=A（=A或f（x0+0）=A）.

定理6 .

定义5 ≠A⇔∃ε0＞0，∀δ＞0，∃x1使得当0＜|x1-x0|＜δ时有|f（x1）-A|≥ε0.

2.自变量趋向无穷大时函数的极限

定义6 设f（x）当|x|＞a（a＞0）时是有定义的，若∀ε＞0，∃X（X＞a），当|x|＞X时，有|f（x）-A|＜ε，就称A为f（x）当x→∞时的极限，记为=A或f（x）→A（x→∞）.即

=A⇔∀ε＞0，∃X＞0（X＞a），当|x|＞X时，有|f（x）-A|＜ε.

注4：设f（x）在[a，+∞）（（-∞，b]）上有定义，若对∀ε＞0，∃X＞0，当x＞X（x＜-X）时，有|f（x）-A|＜ε，就称A为f（x）当x→+∞（x→-∞）时的极限，记为=A，或f（x）→A（当x→+∞）（=A，或f（x）→A（当x→-∞））.

注5：.

（三）极限存在的条件

1.单调有界定理

定理7 单调有界数列必有极限.

如果数列xn满足：x1≤x2≤…≤xn≤…，就称之为单调递增（或单调上升）数列；若满足：x1≥x2≥…≥xn≥…，就称之为单调递减（或单调下降）数列.

注6：单调递增数列必有下界；单调递减数列必有上界.

定理8 有界的单调数列必有极限.具体包括两个方面：

单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限.

2.迫敛性（两边夹法则）

数列的迫敛性见定理5.下面介绍函数的迫敛性.

定理9 如果函数f（x），g（x），h（x）满足下列条件：

（1）当（x0；δ）（|x|＞M）时，有g（x）≤f（x）≤h（x）；

（2）当x→x0（x→∞）时，有g（x）→A，h（x）→A.那么当x→x0（x→∞）时，f（x）的极限存在，且等于A.

3.柯西（Cauchy） 收敛准则

定理10（数列极限柯西收敛准则）数列{xn}收敛⇔∀ε＞0，∃N＞0，当n ＞N，m＞N时，有|xn-xm|＜ε.

4.归结原则

定理11（归结原则）设函数f在点x0的某空心邻域内有定义，则极限存在⇔对任何且xn→x0（n→∞），都存在且相等.

5.子列收敛原则

定理12（子列收敛原则）数列{xn}收敛⇔子列{x2n}与{x2n-1}都收敛且极限相等.

（四）无穷小与无穷大

1.无穷小

若f（x）当x→x0的极限为零，就称f（x）为当x→x0（或x按照其他任何趋势）时的无穷小，即有

定义7 若∀ε＞0，∃δ＞0（X＞0），使得当0＜|x-x0|＜δ（|x|＞X）时，有|f（x）|＜ε成立，就称f（x）为当x→x0（x→∞）时的无穷小，记为=0）.

注7：除上两种之外，还有x→-∞，x→+∞，的情形.

定理13 当自变量在同一变化过程（例如x→x0或x→∞）中时，则

（1）具有极限A的函数f（x）等于其极限A与一个无穷小之和，即：A为f（x）的极限⇔f（x）-A为无穷小.

（2）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限.

2.无穷大

若当x→x0（或x→∞）时有f（x）→∞，就称f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷大.

定义8 若对∀M＞0，∃δ＞0（X＞0），使得当0＜|x-x0|＜δ（|x|＞X）时，有|f（x）|＞M，就称f（x）当x→x0（x→∞）时的无穷大，记作=∞）.

注8：同理还有f（x）→-∞，f（x）→+∞时的定义.

注9：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆.

注10：若limf（x）=∞（或-∞，+∞），按通常意义是f（x）的极限不存在.

定理14 当自变量在同一变化过程中时

（1）若f（x）为无穷大，则为无穷小.

（2）若f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则为无穷大.

注11：由于数列是一个特殊的函数，故数列也有无穷大和无穷小的定义.

3.无穷小的阶

定义9 设α与β为x在同一变化过程中的两个无穷小，

（1）若，就说β是比α高阶的无穷小，记为β=o（α）.

（2）若，就说β是比α低阶的无穷小.

（3）若，就说β是比α同阶的无穷小.

（4）若，就说β与α是等价无穷小，记为α～β.

注12：等价无穷小具有传递性：即α～β，β～γ⇒α～γ.

用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有如下定理.

定理15 若α，β，α′，β′均为x的同一变化过程中的无穷小，且α～α′，β～β′及存在，那么.

注13：用等价无穷小代换适用于乘、除运算，对于加、减运算须谨慎.

4.函数极限的性质

我们在前面引入了下述六种类型的函数极限：

（1）;

（2）;

（3）;

（4）;

（5）;

（6）.

下面以第（4）种类型的极限为代表叙述并证明这些性质.

定理16 函数极限具有以下性质：

（1）（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的.

（2）（局部有界性）若存在，则f在x0的某空心邻域内有界.

（3）（局部保号性）若=A＞r＞0（或=A＜-r＜0），则存在某空心邻域，使得对一切有f（x）＞r＞0（或f（x）＜-r＜0）.

（4）（保不等式性）设与都存在，且在某空心邻域内有f（x）≤g（x），则.

（5）（迫敛性）设，且在某空心邻域内有f（x）≤h（x）≤g（x），则=A.

（6）（四则运算法则）若极限与都存在，则函数f±g，f·g当x→x0时极限也存在，且

①;

②;

又若≠0，则f/g当x→x0时极限存在，且有

③.

5.函数极限存在的条件

定理17（归结原则）设f在内有定义.存在的充要条件是：对任何含于且以x0为极限的数列{xn}，极限存在且相等.

定理18（单调有界定理）相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以这种类型为例叙述如下：设f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在.

定理19（柯西准则）设函数f在内有定义.存在的充要条件是：任给ε＞0，存在正数δ（＜δ′），使得对任何有|f（x′）-f（x″）|＜ε.

6.两个重要极限

（1）;(2)e.