2.9 重要极限为何重要
在学校，老师会告诉你：大部分求极限的题目中都可以视为考察重要极限公式。日本著名数学教育家 米山国藏注25先生说过：“作为知识的数学，出校门不到几年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精髓、数学的思想研究方法和着眼点等，才会随时随地发生作用，使人们终身受益。”两个重要极限在微积分思想中起着举足轻重的作用，对深入了解极限理论具有决定性的指导意义。
假设有一个边长为1的等边三角形，将每条边三等分，然后再以两个等分点为端点，向外画一个边长为其三分之一的等边三角形，这样便可以得到一个六角形。现在取六角形的每个边，反复做同样的变换，如图2-11所示。
图2-11
当重复无数次这样的操作之后，深灰色部分的面积是如何变化的呢？这样的变化会停止吗？如果会停止，那么该区域最终会变成什么样子呢？如果不会停止，它会以什么样的趋势发展下去呢？
现在你可以说：“我也懂高等数学了！”看，那些理工学霸们会的花哨小玩意儿也不过如此吗。
之前说过的导数的表示方法。最常见的导数表示方法自然是 拉格朗日注26的方法。
但是，函数求导后得到的导函数(即求导后的函数)有时需要再次求导。这样就有了二阶导数。拉格朗日想出的方法是，在函数的上标的位置加两个撇来表示二阶导数。但是，还有三阶导数、四阶导数、五阶导数、六阶导数，甚至是十几阶或者是二十几阶的导数。万一遇到求几百阶几千阶的导数的话，如果还用拉格朗日的画撇方法，可能光是画撇就要画上好几分钟甚至个把小时。于是就出现了一种将拉格朗日的表示方法简化了的表示方法。即在函数上标的位置上画一对儿小括号来表示求导，括号内的数值则表示求几阶导数。如f(x)的五阶导数可以写成f(5)(x)。
图2-12 莱布尼茨
图2-12中是微积分的另一位发明者莱布尼茨。莱布尼茨在科学领域的贡献分散在各种学术期刊、成千上万封信件和未发表的手稿中，其中约有四成为拉丁文、约有三成为法文、约有一成五为德文。截止2010年，莱布尼茨的作品还没有收集完全。2007年，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆暨下萨克森州州立图书馆收藏的莱布尼茨手稿被收入联合国教科文组织编写的世界记忆项目。
莱布尼茨是最早接触中华文化的欧洲人之一，他从一些曾经前往中国传教的传教士那里接触到中国文化，之前应该也通过马可·波罗引起的“东方热”了解过中国文化。法国汉学大师若阿基姆·布韦曾向莱布尼茨介绍了[ 《周易》注27和八卦的系统。在莱布尼茨眼中，“阴”与“阳”基本上就是他的 二进制注28的中国版。他曾断言： “二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言”。今天在德国图林根著名的郭塔王宫图书馆内，仍保存一份莱氏的手稿，标题写着“1与0，一切数字的神奇渊源。”
莱布尼茨一生中最大的贡献就要数发明了一套简单明了的微积分符号。但是我们为什么不用莱布尼茨发明的导数符号来表示导数，而是使用了拉格朗日发明的符号呢？实际上，莱布尼茨发明的符号体系在物理学和医学等诸多专业领域中有着非常广泛的应用。在第10章我们就会见到莱布尼茨的符号在医学领域的应用。不得不说莱布尼茨发明的符号之所以能够保留至今，是因为他的符号能够最简单明了的表明求几阶导、参与求导的是哪一个变量。而且非常清楚地说明了导数实际上是求极限。图2-13展示的是莱布尼茨的手稿，在这份手稿中就有莱布尼茨自己发明的微积分符号。
比如为第1章涉及的多元函数求导，就会有到底是x1参与求导，还是x2参与求导的问题。即使两个自变量都要 求导注29，它们之间也有先后顺序。
这时候拉格朗日的方法就不再适用了，一般我们都会选择适用莱布尼茨的表示方法。
图2-13
我们知道在横纵坐标都去极限的情况下，导数所表示的是非常小的直线段，导数的值恰好是该线段的垂直跨度比上它的水平跨度，而这正是一次函数y=kx+b中斜率k的求法。所以导数也被认为是曲线上的点的斜率。如果曲线上某点的斜率不存在，我们就可以认为其导数不存在。
现在我们可以直接从导数的表达形式看出，导数的几何意义是斜率，这是莱布尼茨的表示方法的另一个优点。
若干个巫婆和一个公主共同居住在一个小岛上。如果一个巫婆吃掉公主，她就会变成公主。但这样她也会失去自己的法术，因此就有可能会被其他巫婆吃掉。假如所有巫婆在能够保命的情况下，都希望自己能够变成公主，那么在有20个巫婆的情况下，公主能不能安全地生活在岛上呢？
提示：和第1章中提到的海盗的问题一样，我们还是来建立一个比较简单的模型，然后将其一点点复杂化，这样就可以知道答案了。
假如只有一个巫婆和公主生活在岛上，那么巫婆肯定会吃掉公主。因为她知道在吃掉公主之后，也没有人能威胁她了。
如果有两个巫婆和公主一同生活在岛上，公主会不会安全呢？答案是肯定的。因为如果哪个巫婆先吃了公主的话，就会变成一个公主和一个巫婆的情况，那么先吃掉公主的巫婆就会被另一个巫婆吃掉。为了保命，两个巫婆都不敢去吃公主，所以公主会是安全的。
接下来再让模型复杂一点。如果有三个巫婆的话，她们中肯定有一个会先吃掉公主。因为这样就变回了上一段中的情况，剩下两个巫婆谁也不敢吃她，因为先吃她的巫婆肯定会被另一个吃掉。
然后再让模型复杂一点点，当有四个巫婆的时候，如果有谁先吃了公主，那么马上就会变成三个巫婆的情况，那时谁也不敢先吃公主。所以公主是安全的。
根据这样的规律，当岛上有奇数个巫婆的时候，巫婆会先下手为强吃掉公主；当岛上的巫婆是偶数个的时候，所有巫婆都不敢先吃公主，以避免变为奇数个巫婆的情况之后自己被吃掉。由此我们就得出了这样的结论：
当岛上的巫婆是偶数个的时候，公主能安全地生活在岛上。题目中说岛上有20个巫婆，而20显然是个偶数，所以公主能安全地生活在岛上。