在介绍另一个重要极限之前，我们先来了解一下什么叫无穷小。无穷小并不是无穷大(∞)的相反数。按照之前取极限的说法，当x→0时，x、x³和sinx等函数的值都是无穷小。有一种不严谨的说法是：可以把无穷大的倒数理解为无穷小。这种说法来源于。对于这种不严谨的说法，我们很容易就能找出一个反例：

假如我们设了一个变量，它的大小是无穷大的话。那么它的平方是不是等于它本身呢？

如果我们假设x²=∞，那么就可以推导出x=x²。显然，如果要使x=x²成立，x应等于1或0而1和0都不是无穷大。由此推出之前的假设是不成立的。此时我们发现，虽然x和x²都是无穷大，但它们是不相等的。

而相同的情况也出现在无穷小中。

前面说过，当x→0时，x、x³和sinx等函数的值都是无穷小，而且无穷大之间不相等的情况也会出现在无穷小中。既然无穷小不相等，那么它们之间是否存在大小关系呢？换句话说， 我们能不能比较出两个无穷小的大小呢^注22？我们用、和分别表示当x→0时的x、x³和sinx。当需要比较两数值大小时常用的方法为两数相减和两数相除，这里我们选择两数相除的方法。

我们来比较和：

欲比较和的大小，只需将两数相除。则有。

综上所述，的低阶无穷小。而比较无穷小之间大小的方法总结如下：

当时，β是α的高阶无穷小；当时，β是α的低阶无穷小；当=非零常数时，β是α的同阶无穷小。特殊地，当=1时，β是α的等价无穷小。