前言

数学是什么？随着人们对数学的认识不断深入，在不同的时期，不同的人作出了不同的回答：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学；数学是一种秩序；数学是一种文化；数学是思维的体操，等等。

我们的学生会怎样回答呢？有的会说：数学就是解题、数学就是考试。少量的学生会说：数学可以锻炼思维，可以帮助我考上名牌大学……

那作为一名数学教师该如何回答这个问题呢？不说高深的理论，若只是对着我们的学生该如何回答？数学是以基本知识、基本技能为载体，积累基本数学活动的经验，逐步形成数学思维的意识，养成良好的数学思维习惯，提升数学思维的能力，最终形成即便走出校门、忘记了数学的概念公式却在你身上留下来的，叫作数学素养的东西。她说不清道不明，但却表现在你的日常生活形态之中，处处表现出数学的思想、方法及精神的形态。简单地讲，数学是一个没有学过数学的人与学过数学的人在思维上的差异性及生活形态上表现的根本差异性。

这样讲似乎自然而然地就得出一个结论：数学是抽象的。没错，数学不但抽象而且高度抽象，她的抽象会给人们认识她带来很大的障碍，很多人迈不过这个坎，于是认为数学很难学，学了数学没用，将来自己不会与数学打交道。但是越过这个障碍的人会特别喜爱数学，因为越接近数学的本质，越能发现数学的美好与价值，越能发现正是因为数学的高度抽象才使得数学的应用更加广泛，她几乎充斥着我们工作与生活的每一个角落。只要你具有发现数学的眼光，数学就无处不在。

数学的抽象是数学的一个显著特征。数学的抽象含有两个层次的抽象，首先，由具体抽象到形，形是具体抽象的存在。比如看到一根竹竿、一把杆秤、一支标枪等，我们发现它们具有一个共同的属性：直直的。于是我们就忽略他们的粗细长短，抽象出一条直线画在纸上，没有粗细之分，可以向两端无限延伸，并且这个形象会停留在我们的脑海里，哪怕我们面前没有这些实物。这便完成了第一次抽象，这样人们就得到了数学研究的对象。光有研究的对象还不够，我们还需要研究数学对象之间的关系，于是我们要进行数学的第二层次抽象：符号表达。于是前面的直线用符号a或直线AB来表达。立体几何中面的抽象也是如此，因此数学中的推理和证明都是用数学符号语言来表达的，而且我们说直线与平面平行，依赖的不是具体的实物，而是脑子里抽象的形的存在。那么反过来，我们抽象出来的直线与面是否可以广泛应用于生活实际呢？你会说，墙上挂的画歪了，为什么呢？因为竖直的框与地面不垂直。各种设计图中是否要用到线面关系来表达设计？“数轴”“正号与负号”是怎样抽象出来的？它们又广泛应用在什么领域？这样的例子太多了，就看你想不想理解抽象，想不想让人理解抽象了。

作为数学教师，既能欣赏数学的抽象，又要能带领学生走进抽象的数学世界去领略数学世界的美好与魅力。那么，数学教育教学的本质是什么？在上海市浦东新区教师“十二·五”“十三·五”培训教师的课堂上，每一期我都会向学员提出这样的问题。作为一名数学教师，除了要思考“数学是什么”这个问题外，出于“教”的职责，如果不去思考及讨论这个问题，那么教起书来不是生搬硬套、囫囵吞枣，就是云里雾里、误人子弟。

数学学习的本质是什么？在问完“教”的问题后，依然会有“学”的问题，因为这两者是孪生共同体。作为教师不要以为弄清楚了“教”的问题就可以万事大吉了，如果对“教”的对象“学”认知不足的话，同样会影响教学的效果。

因此，对于上述问题，不同的人会有不同的回答，正所谓“仁者见仁，智者见智”。但是，作为数学教育工作者，必须要有一个清醒且准确的认知：只有思想清明，数学的课堂才可能有效，才可能发展学生的数学思维，才可能提升学生的数学素养。所以在数学的征途上没有坦途，不仅对学生，对数学教师也是如此。

本书将和大家共同探究这些问题。