2.3 二阶二叉树模型

为了让一阶二叉树模型更符合实际，我们把一阶段分成多个阶段，即二阶、三阶等，然后查看在多阶模型中Delta对冲是否同样有效。

先来看二阶二叉树模型。二阶二叉树模型由开始、中间、到期三个时点组成。这里假定利率为10%。在各个时点上，矩形的上半部分为标的资产的价格，下半部分为认购期权的价格，如图2.4所示。

图2.4 二阶二叉树模型

与前面的案例不同的是，到期时标的资产的价格不再是两种情形而是三种情形。二叉树模型的阶段越多，到期时标的资产价格可能的情形也会越多。本模型的阶段每增加一个，标的资产价格变化的幅度就会发生改变。假设标的资产价格上涨和下跌的幅度一律为1000，那么二阶二叉树模型应该如何上手？我们可以采用数学归纳法求解二阶二叉树模型。所不同的是，我们不知道初值，反而知道终值（期权到期价格）。另外，利用一阶模型中的方法也可知道各阶段和其前一阶段的关系。因此，依靠数学归纳法可以求出认购期权价格。

在图2.4中，该认购期权的行权价为5000元，因此到期时期权价值在标的资产价格为7000元、5000元、3000元时分别为2000元、0、0。在这里关注到期价格变为7000元和5000元的情形，及其前一时点（6000, C1）。仔细观察该情形可以发现，该问题的求解和求解初始价格为6000元、行权价为5000元的认购期权一阶二叉树模型的方法相同，即与一阶二叉树模型中求期权合理价格时的结构相同，只是数字稍有变化。重复之前在介绍一阶二叉树模型时使用的方法可以求出C1，同样的方法也可以求出C2，再利用C1、C2，最终求出开始阶段认购期权的合理价格C。

总之，只要我们知道最终阶段（到期）的期权价格，就可以求出其前一时点的认购期权合理价格，再利用该时点的认购期权合理价格，求出再前一阶段的期权合理价格，重复该方法最终可以求出开始阶段认购期权的合理价格。

利用这个案例，我们一起来求开始阶段的认购期权合理价格。在一阶二叉树模型中，已知下一阶段期权价格（ CU, CD）和标的资产价格（ SU, SD），求解开始阶段期权合理价格的公式如下：

利用公式（2.1）求C1、C2、C。在给定的条件中，SU=7000,SD=5000,CU=2000，CD=0,r=0 .1，带入公式得。虽然C2也可以用如上公式求得，但从图2.5可以看到，C2在到期时不管标的资产上涨还是下跌，期权价值均为0。

图2.5 二阶二叉树模型中求认购期权合理价格

到期时价值恒为0的期权现在的价值也只能为0。因此可将二阶二叉树模型还原为如图2.6所示的一阶二叉树模型。

图2.6 还原为一阶二叉树模型

二阶模型可以还原为一阶模型，同样三阶模型也可以还原为二阶模型。因此，即便是100阶二叉树模型，虽然计算量会较大，但依然能求出二叉树模型开始时点的期权合理价格。