第一部分 逻辑的力量
第一章 为什么要有逻辑？
世界既广阔又复杂。我们如果想要理解它，就需要简化它。有两种方式可以让事物变得更简单，一种是忘记它的某些部分，另一种是让自己变得更加聪明。这样，原先看起来无法理解的事物对于我们来说就变得清晰明了了。本书论述了在理解的过程中，逻辑能够并且应该起到的作用；分析了逻辑如何帮助我们更加清晰地观察和理解这个世界；呈现了逻辑所闪耀的光芒。
逻辑包含了让事物变得更简单的这两种方式。忘记细节是一个抽象化的过程，在这个过程中我们可以看到事物的本质，并且暂时将注意力集中在它身上。重要的是，我们一定不能忘记关键性的细节。如果忘记关键的细节，这个过程就会变成过度简化，不具有启发作用了。而且我们只是暂时这么做，所以我们并没有宣称已经理解了所有事物，而是认为自己理解了一个核心，所有进一步的理解都可以建立在这个核心上。
在本章中，我们将首先讨论为什么逻辑是所有理解过程的良好基础，以及在一个不符合逻辑的人类世界中，逻辑可能发挥什么作用。
获取真相
所有研究和学习的领域都致力于揭示与世界相关的真相，内容可能包括地球、天气、宇宙、鸟类、电子、大脑、血液、数千年前的人类、数字或者其他事物。根据所学的内容，你需要用不同的方法来确定什么是正确的，并且说服其他人接受你的想法。任何人都可以宣称自己的想法是正确的，但是除非他们能以某种方式来支持自己的主张，否则没有人会相信他们是正确的。
因此，不同的学科需要通过不同的方式来获取真相。
科学真相是利用科学方法来确定的，科学方法是一个明确定义的框架，用来决定某件事物为真的可能性。它通常包括建立一个理论，收集证据，然后用证据来严格检验理论。
数学的真理是通过逻辑来实现的。虽然我们可以利用情感去感受它，理解它，并且说服他人接受它，但是我们只能用逻辑来验证它。其中的差异是非常重要而且微妙的。在某种程度上，我们确实是通过情感来获取数学的真理的，但是在我们使用逻辑验证它之前，它都不能算是正确的。
人们在分歧中有时会抛出“逻辑”这个词，试图给论点增添些分量。人们可能会说“在逻辑上，这是正确的”，或者“在逻辑上，这不可能是正确的”，或者“你就是不符合逻辑”。“从数学上讲”这种说法也常常会以这种方式抛出。比如，“从数学上讲，他们可能无法赢得选举”。不幸的是，这些用法常常是毫无意义的，这更像是人们试图支撑一个薄弱论点发出的最后一击。与此同时，人们对这些词语的滥用降低了它们的含金量，这令我感到悲哀。但我是一个乐观主义者，所以我也选择从中找到令人振奋的东西：我很高兴地认为，在某种程度上，人们知道逻辑和数学是不可辩驳的，所以它们的出现可以令人信服地结束一场争论。虽然人们用这类名词来击败对手是徒劳的，但是至少在某种意义上它们的力量是被公认的。
我不是简单地哀叹人们对逻辑和数学的误解，而是选择解决这个问题，我希望它们的力量能被真正用于良好的目的。这就是我写这本书的原因。
使用逻辑的优点
利用一个明确的框架来获取真相，主要原因之一就是我们可以就某些事物达成一致。人们总是尽可能多地反对他人，并且沉醉于此，这似乎是非常激进的。在体育运动中就会出现这种情况，尽管裁判只是简单地运用了约定的规则，粉丝们还是会对裁判做出的裁决感到愤怒。
记得有一年，我观看牛津—剑桥赛艇对抗赛。当赛艇发生危险的碰撞时，剑桥队被处罚了。作为一个剑桥人，我非常气愤，因为在我看来显然是牛津队蓄意转向剑桥队的，所以看起来应该是牛津队的错。我认为裁判与牛津队之间有阴谋，所以裁判故意偏袒牛津队。然而，我并没有一味地抨击这种猜测的阴谋，而是查阅了许多专家的评论，试图理解到底发生了什么。我了解到，在泰晤士河赛艇比赛中，人们会沿着河中心画出一条假想的分界线，每艘赛艇在自己这一侧河水中都具有优先权。这意味着一艘赛艇可以留下很多空间，也许在过弯道时，可以“引诱”其他赛艇越过这条线。接下来，拥有优先权的这艘赛艇就可以故意转向越线的赛艇，因为它们很清楚自己并不会受到惩罚。这在道德上是正确的吗？这到底是谁的错？我们将在第五章阐明责备与责任的问题。
使用一个明确的框架来达成共识，这个观念也有点儿像医学诊断的工作原理。医学界试图制定一个清晰的检查表，以便做出的诊断是明确的，整个行业的不同人员都能够一致地做出这样的诊断。
逻辑需要有明确的规则，以便不同的人能够明确地得出一致的结论。这在理论上是美妙的，也许这里的“在理论上”意味着在数学的抽象世界中。数学取得进展的能力是惊人的。哲学家迈克尔·达米特在《数学哲学》中写道：
数学在稳步前进，而哲学则不停地挣扎在无穷无尽的困惑中，困惑于哲学一开始就面对的问题。
为什么数学家能够就什么是正确的达成共识？为什么这些事物在几千年后仍然是正确的，而其他学科似乎在不断改进和更新它们的理论？我相信答案在于逻辑的稳健性。这是它巨大的优势。
逻辑世界也存在一些缺点，其中一个就是只通过大声喊叫你是无法赢得争论的。当然，只有在你喜欢通过喊叫来赢得争论时这才是一个缺点。我通常不会这么做，但不幸的是，有很多人这样做，所以他们不喜欢逻辑世界。而且他们也不喜欢这个事实——在逻辑的世界中，他们无法在我这样一个不高大、轻声细语、不酷的人面前占上风。因为在逻辑的世界里，力量并不来源于大块儿的肌肉、大量的金钱或者过人的运动能力，而是来源于纯粹的逻辑思维能力。
逻辑世界的另一个缺点是你不再真正地脚踏实地了，因为我们已经不在具体的世界里了。有时，你会感觉自己在四处飘荡。但我发现，一个人一旦习惯了这种状态，就会觉得这是一种非常愉快的感受。这就像把第一个人送入太空，其关键之处在于怎样使其回到地球上。在本书中，我们将在抽象世界中漂流，而这不仅仅是为了好玩儿。我们将回到地球上，使用强有力的逻辑技术，解决围绕社会状况的真实的、密切的、紧迫的争论。进入逻辑的抽象世界可以使我们在现实世界中走得更远，就像在天空中飞行可以使我们在现实生活中旅行得更远、更快一样。从本质上而言，这就是数学的全部意义。
数学是什么，不是什么
人们对数学有许多误解。这可能来源于数学在学校中被呈现的方式——作为一系列规则，你必须遵循这些规则才能得到正确的答案。在学校中，数学的正确答案通常是一个数字。当证明终于进入数学课堂时，它通常以几何学的形式出现。在几何学中，“逻辑论证”的构成是使用特定的事实来证明其他无意义的结果。例如，有一些已经被设定条件的直线，在不同的位置彼此相交，然后这里的一个角会与另一个地方的角相关。
证明角A是角B的一半
（注意：这个例子是一个恶作剧，是不可能被证明的。）
然后，你会面临一系列的测试和考试，在限定的时间内做一整套无意义的练习。如果你克服了这些困难，仍然相信自己喜欢数学，那么你就可以进入大学继续进行数学的学习。这时，所有事情都有可能重演，除了难度——大学数学更难。如果你完成了这一切，并且仍然认为自己喜欢数学，那么你可以攻读博士学位，开始从事相关研究。到了这里，数学终于变成我心目中真正的数学的样子了。它不再是一连串需要跃过的障碍，不再是为了获得“正确答案”而做出的尝试，而是一个需要探索、发现和理解的世界——逻辑世界。
在这一点上，许多人意识到，他们之前对“数学”的喜欢在于越过这些障碍，获取正确的答案。他们喜欢这种能够轻松地获得正确答案的感觉，所以一旦踏入这个探索性的数学世界，他们就逃跑了。
其他人在经历了不幸的学校生涯后，仍然保持着对数学的热爱。因为他们认为，当自己开始做研究时，数学会变得越来越好，越来越让人兴奋。教育学家丹尼尔·芬克尔称这种现象是对学校数学课程的“免疫”。我的妈妈为我接种了数学课程的“疫苗”，她向我展示了一个比我们在学校里所学的丰富得多的数学世界。很多人都是通过一位优秀的数学老师对数学免疫的——有时，我们只需要一个老师、一堂课，就能产生免疫效果，并且使学生相信，无论这堂课前发生过什么，以及这堂课后会发生什么，只要他们追随数学足够长的时间，数学的世界就会向他们敞开大门，让他们着迷。
那么，当我们开始研究时才会遇到的这个“真正的数学”是什么？什么是数学？许多人认为数学就是“对数字的研究”，但是它远不止于此。我曾经在芝加哥的一所小学做过一个关于对称性的讨论，一个小男孩后来抱怨道：“数字在哪儿呢？”我解释说数学不仅仅与数字相关，于是他哭叫道：“可是我想要让它与数字相关！”
科学发现的规则包括实验、证据和可重复性。数学发现的规则不涉及以上任何一项，但它涉及逻辑证明。数学真理是通过构建逻辑论证来建立的，而且这就是全部。
我最喜欢的思考数学的方式是：它是对事物如何运作的研究。但这并不是对任何已有事物如何运作的研究，而是对逻辑事物如何运作的研究。而且，这不是对逻辑事物如何运作的任何已有的研究，而是对逻辑事物如何运作的逻辑性研究。
● 数学就是对逻辑事物如何运作的逻辑性研究。
● 任何研究型学科都包含两个方面：
（1）研究的是什么。
（2）如何研究它。
这两者是有联系的，但是在数学中，它们之间的联系具有周期性。通常，我们正在研究的对象决定了我们如何研究它们，但是在数学中，我们研究它们的方式也决定了我们能够研究什么。我们使用的方法是逻辑，所以我们可以研究任何按照逻辑规则运行的对象。但是这些对象是什么呢？这是本书第一部分的主题。
规则
不同的游戏和运动采用不同的规则，它们都以一种非常明确的方式决定谁是最好的。就我个人而言，我更喜欢那些可以非常清晰地判定结果的游戏和运动，比如谁第一个冲过终点线，或者谁在不碰掉横杆的情况下跳得最高。像体操或者跳水这样的运动，如果需要一组评委根据已经确定的标准来做出决定，就会显得更加复杂、混乱和模棱两可。标准的设定应该是明确的，并且将人类的判断从当前的情况中移除。但是，如果标准真的是明确的，那么裁判之间就绝对不会有分歧，我们也就不需要整整一组裁判员了。
但是，即使是看起来很容易判定的运动也有很多规则。如果更仔细地观察100米短跑或者跳高，我们就会发现，还有许多关于抢跑、使用药物、谁被允许作为女人参赛、谁被允许作为体格健全的人参赛等规则。
和运动一样，逻辑有一个问题：你如果非常不习惯规则，就会为之感到困惑。我就对美式足球（橄榄球）的规则感到非常困惑。美国人通常认为这是因为我是一个英国人，我已经非常习惯“英式”足球。但事实上，我对英式足球的规则也感到困惑。但是，英式足球至少是用脚来移动球的运动，所以我理解得更多一些。
在真正开始从事运动之前，我们需要清楚地知道运动的规则是什么。在能够真正开始运用逻辑之前，我们也需要清楚逻辑的规则是什么。就像运动一样，我们越想取得进步，就越要深刻地理解这些规则以及它们的微妙之处。这是一件费力的事，但是对逻辑的基本原理了解得越多，我们越能得到更好、更富有成效的论点。
争论的理论
互联网是有缺陷论点的一个丰富的、无穷无尽的来源。与气候科学和疫苗接种一样，非专家逐渐将专家共识视为精英阴谋，这种情况已经出现了惊人的增长。很多人对某事达成共识并不意味着存在阴谋。很多人都赞同罗杰·费德勒在2017年获得了温布尔登网球锦标赛冠军。事实上，可能每一个关注比赛的人都会赞同这个结果。这并不意味着这是一场阴谋，而是意味着温布尔登网球锦标赛是有非常明确的规则的，很多人都看着他比赛，并依据规则证实他确实赢了。
在这方面，科学和数学的问题在于它们的规则更难以理解，因此，非专家更难验证规则是否被遵守。但是，这种理解的缺乏可以追溯到一个更基本的层面：“理论”一词的不同用法。在某些用法中，“理论”只是对某些事物的一个建议性解释。在科学中，“理论”是一种解释，它根据明确的框架被严格检验，并且在统计学上很有可能是正确的。（更准确地说，如果没有正确的解释，那么在统计学上结果是不可能发生的。）
然而，在数学中，“理论”是根据逻辑被证明是正确的一系列结果。这不涉及任何可能性，不需要任何证据，也没有任何疑问。当我们询问这个理论如何为周围的世界建模时，疑问和问题才会出现。但是，在这个理论中，正确的结论必须在逻辑上是正确的，并且数学家们都赞成它是正确的。如果数学家们质疑这个理论，那么他们必须在证明的过程中找到错误，仅仅是大声喊叫是不会被接受的。
数学有一个显著的特点，数学家们非常善于就什么是正确的、什么是错误的达成一致。有一些开放性的问题，我们还不知道答案，但是2000年前的数学仍被认为是正确的，而且依然在被传授。这一点与科学不同，科学正在不断地被完善和更新。除了在科学史的课堂上，在其他任何场景中，我都不确定2000年前的科学是否依然在被传授。出现这种情况的主要原因是，在数学中，用来证明事物正确的框架是逻辑证明，这个框架足够清晰，数学家们能够对此达成一致。这并不意味着有一个阴谋正在酝酿。
当然，数学不是生活。在现实生活中，逻辑证明并不是十分奏效。这是因为真实生活中的细微差异和不确定性远比数学世界中多。数学世界是专门为消除这种不确定性而建立的，但我们不能忽视现实生活中的这一方面。更确切地说，无论我们是否忽视这种不确定性，它都在那里。
因此，在现实生活中支持某个事物的论证不会像数学证明那样清晰，很明显，这就是分歧的来源之一。然而，逻辑论证应该与数学证明有很多共同之处，即使它们没有那么清晰明确。在现实生活中，一些围绕论证的分歧是不可避免的，因为它来源于对世界的真实的不确定性。但有些分歧是可以避免的，我们可以通过使用逻辑来避免这些分歧。这就是我们要关注的部分。
数学证明通常比普通生活中的典型论证更长，也更复杂。普通生活中的论证有一个问题，它们通常发生得非常快，所以没有足够的时间让人们形成一个复杂的论证。即使有充足的时间，注意力持续的时间也会变得非常短。如果你在一次重要的论证没有抓住重点，那么可能很多人都不会再关注你了。
相比之下，数学中一个简单的证明可能需要书写10页，花费一年的时间来构建。事实上，在写这本书的时候，我所做的筹备工作已经进行了11年，我的笔记已经超过了200页。作为一名数学家，我非常擅长规划冗长而复杂的证明。
对于日常生活中的争论而言，一个200页的论证确实太长了（尽管对于法律裁决而言可能并不罕见），然而280个字符太短了。解决日常生活中的问题并不简单，我们不能奢望在一句或者两句的论证中解决这些问题，或者直接通过直觉来做到这一点。我认为，建立、交流和遵循复杂逻辑论证的能力是聪慧、理性的人的一项重要技能。做数学证明就像运动员在非常高的海拔进行训练，这样，当他们回到气压正常的环境中时，就会感到做事更加容易了。但是，我们不是在训练自己的身体，而是在锻炼我们的逻辑思维，这些情况发生在抽象世界中。
抽象世界
大部分真实的对象并不依照逻辑来运作。如果你给小朋友一块饼干，然后再给一块，那么他会有多少饼干呢？可能会没有，因为他们会吃掉饼干。
为了进入一个逻辑能够完美运作的世界，我们会在数学中忘记一些与情景相关的细节。因此，我们不再考虑一块饼干和另一块饼干，只需要考虑“1+1”，忘记“饼干”。只要我们注意处理饼干的方式是否符合逻辑，“1+1”的结果就适用于饼干了。
逻辑是一个通过谨慎推理构建论证的过程。在复杂多变的普通生活中，我们可以尝试着这样做，因为正常生活中的事物在不同程度上是合乎逻辑的。我认为正常生活中的任何事物都不是完全合乎逻辑的。稍后我们将探讨事物是如何不符合逻辑的：或者因为情绪，或者因为我们有太多的数据要处理，或者因为太多数据的遗失，或者因为存在随机的因素。
因此，为了从逻辑上研究事物，我们必须忘记那些令人讨厌的、从逻辑上阻碍事物运作的细节。在小朋友和饼干的案例中，如果允许他们吃饼干，那么情况的发展将不会完全符合逻辑。因此，我们需要强加一个条件，即不允许他们吃饼干。在这种情况下，研究对象可能不是饼干，而是任何不可食用的事物，只要它们能被分割成离散的小块。它们只是“事物”，没有任何可辨识的特点。这就是数字1的含义：它是一个清晰可辨的“事物”的概念。
这一转变将我们从物质的真实世界带入想法的抽象世界。这会给我们带来什么呢？
抽象世界的优点
进入抽象世界，我们就处在一个所有事物行为均符合逻辑的地方。在抽象世界中，如果在完全相同的条件下一次又一次地计算“1+1”，我将始终得到2。（我可以改变条件，然后得到其他答案。但是接下来，在这些新条件下，我也总能得到相同的答案。）
人们说，精神错乱就是一遍又一遍地做着相同的事，却期待着不同的事情发生。我认为逻辑（或者至少是一部分逻辑）就是一遍又一遍地做着相同的事，期待着相同的事情发生。拿我的电脑来说，它有时也会让我精神错乱。我每天都做相同的事情，然而我的电脑会周期性地拒绝连接无线网络。我的电脑是不符合逻辑的。
抽象有一个很强大的功能，那就是当你忘记一些细节时，许多不同的情况就变得相同了。在抽象世界中，我可以把一个苹果和另一个苹果、一只熊和另一只熊、一名歌剧演员和另一名歌剧演员，以及所有这类情形都变成“1+1”。一旦发现不同的事物在某种程度上是相同的，我们就可以同时研究它们，这会更为高效。也就是说，我们可以研究它们的共同点，然后分别观察它们的不同之处。
我们可以在不同的情况之间找到许多联系，这可能是出人意料的。例如，我已经发现，在巴赫的钢琴前奏曲和我们编头发的方式之间存在某种联系。在不同情况之间寻找联系，能够帮助我们从不同的角度理解它们。但从根本上讲，这也是一种求同的行为。我们可以强调差异，也可以强调相似之处。无论是在数学里，还是在生活中，我都热衷于寻找事物间的相似之处。数学是一个在科学的不同部分之间寻找相似性的框架，而我的研究领域（范畴论）是一个在数学的不同部分之间寻找相似性的框架。在第六章，我们将展示从关系的角度思考的有效性。
在寻找事物之间的相似之处时，我们常常不得不放弃越来越多的外部细节，直到我们到达将事物结合在一起的深层结构。比如，从外表上看，我们每个人都并不完全相像。但是，如果我们将自己剥得只剩骨架，那么我们基本上是一样的。蜕去外壳，或者将争论归结为它的本质，有助于我们理解自己的想法，特别是有助于我们理解自己为什么不赞同其他人。
抽象世界有一个格外有用的特点，即在你想起它的时候，它就存在。如果你有一个想法，而且你想要实施它，那么你可以立即行动起来。你不需要出去购买它（或者请求你的父母为你购买它，或者请求你的资助机构给你钱去购买它）。我希望我的晚餐在我一想到它时就会出现。但是，晚餐不是抽象的，所以它不会出现。更严肃地说，这意味着我们可以用自己对世界的想法进行思想实验，遵循逻辑推理，然后观察将会发生什么，而不需要为了获得这些想法，去做那些真实的、可能不切实际的实验。
我们如何进入抽象世界？
进入抽象的、逻辑的世界是通往逻辑思维的第一步。当然，在正常生活中，我们可能不需要如此明确地去往那里，以便逻辑地思考周围的世界。但是当我们试图在某种情况下找到逻辑时，这个过程仍然存在。
最近，伦敦地铁推出了一个新体系。在这个体系中，站台的某些区域被涂上绿色的标记，指示车门将在那里开启。等候地铁的乘客按照指示站在绿色区域外，这样一来，那些想要下车的乘客就有空间下车，无须面对一排想要上车的人墙了。此举的目的是改善人流的移动，减少可怕的拥堵，特别是在高峰时段。
这对我而言是个好主意，却遭到一些普通上班族的强烈抗议。显然，这个体系让有些人感到不安。他们经过多年的通勤和研究，掌握了车门将会在哪里开启，而这些标记破坏了他们积攒下来的“竞争优势”。那些从未来过伦敦的游客，现在也有了同样的第一个登上地铁的机会，这让上班族们感到非常难过。
这些抱怨遭到了嘲笑，但我认为它提供了一个有趣的角度，让我们看到平权行动引起争议的一个方面：如果我们为那些弱势群体提供特别的帮助，那么某些没有获得这种帮助的人似乎会感到不公平。他们认为只有那些人得到帮助是不公平的。就像那些荒谬的、愤怒的上班族一样，他们很恼火自己失去了辛苦攒下的“竞争优势”，他们认为其他人也应该通过努力获得它。
这不是一个明确的数学案例，但是这种进行类比的方法是数学思维的本质。在数学思维中，我们把注意力集中在一个情境的重要特征上，以阐明这个情境，并与其他情境建立联系。事实上，数学作为一个整体，可以被考虑成类比的理论。在整本书中，我们都将使用类比来串联明显不相关的情境，并将在第十三章详细分析类比的作用。要想找到类比，我们需要剥离一些与当前思考无关的细节，找到在核心处令其运作的想法。这是一个抽象化的过程，也是我们进入抽象世界的方式。在抽象世界里，我们可以更容易、更有效地应用逻辑，并在一种情况下检验逻辑。
为了更好地执行这种抽象化，我们需要将固有的事物从偶然出现的事物中分离。逻辑上的解释来自事物深刻的、不变的含义，而不是来自事件的顺序或者个人的决定和品位。内在性意味着我们不应该依赖背景来理解事物。我们将看到，我们对语言的正常使用一直依赖于语境，因为同一个词在不同的语境中可能会有不同的意思。在正常语言中，人们不仅通过语境来评判事物，还会联系自己的经验来评判事物；而逻辑上的解释需要独立于个人的经验。
理解一个情境中内在的东西，需要我们从根本意义上理解事情为什么会发生。这与一遍又一遍地询问“为什么”有很大的关系，这就像小孩子一样，不仅仅满足于眼前肤浅的答案。首先，我们必须非常清楚地知道自己在讨论什么。正如我们将要看到的，逻辑论证旨在揭示事物的真正含义，为了做到这一点，你必须非常深刻地理解事物的含义。这通常看起来像是在做一个围绕定义的论证。如果你尝试对“你是否存在”进行讨论，那么你可能会发现，这个话题很快就会退化成关于“存在”的意义的讨论。通常，我可能会选择一个意味着我的确存在的定义，因为比起说“不，我不存在”，这是一个更有用的答案。
逻辑和生活
我已经断言，世界上没有事物是完全依照逻辑运作的。那么，我们如何在周围的世界里使用逻辑呢？数学论证和辩解都明确而有力，但是我们无法使用它们来得出有关人类世界的、完全明确的结论。我们可以试着用逻辑来构建关于真实世界的论证。但是，无论我们构建的论证多么明确，如果从模棱两可的概念开始，我们就会得到模棱两可的结果。我们可以使用非常安全的建筑技术，但是如果使用用聚苯乙烯制成的砖块，那么我们永远无法得到一个非常坚固的建筑。
然而，理解数学逻辑有助于我们理解歧义和分歧。它帮助我们理解分歧来自何处，是来自逻辑的不同用法，还是来自不同的构建单元。比如，两个人对医疗保险的意见不一致，他们可能对是否每个人都应该享有医疗保险有分歧，也可能对提供给每个人医疗保险的最佳方式有分歧。这是两种截然不同的分歧。
如果他们之间的分歧属于后者，那么他们可能正在使用不同的标准来评估医疗保险体系，例如政府的成本、个人的成本、覆盖率或者结果。也许在一种体系中，平均保费增加了，但是更多的人可以获得保险。或者，他们可能正在使用相同的标准来评价不同的体系，例如，评估个人成本，一种方式是查看保费，另一种方式是查看在任何治疗中人们需要实际支付的金额。而且，即使我们只专注于保费，也有不同的评估方式，例如查看平均值、中间值，或者社会最贫困阶层的成本。
如果两个人对如何解决问题意见不一致，那么他们可能对什么算是解决方案有分歧。或者说，他们虽然对什么算是解决方案意见一致，但是对如何执行解决方案存在分歧。我相信，理解逻辑可以通过帮助我们找到分歧的根源在哪里来消除分歧。
在本书的第一部分，我们剖析了逻辑作为建立论证的准则、数学的一部分，它到底是什么。在第二部分，我们将看到逻辑的局限性。在第三部分，我们将看到，鉴于这种局限性，认真对待我们的情绪是多么重要。
逻辑就像光源
我们所做的一切都是为了照亮这个世界。如果过度使用逻辑，我们就有超越这个目标的风险，还有可能让自己面临迂腐的指责。不幸的是，数学家和极具逻辑性的人常常被非数学家和缺乏逻辑性的人视为迂腐的人。在这里，我冒着让自己显得很迂腐（以及变得非常自指）的风险，试着阐明迂腐和精准之间的差异。我认为，这两者的不同之处就在于阐释。我认为迂腐是以精准为特征的，但是在阐明一种情形时，精准度超出了必要的范围。我们有足够的精准度来阐明事物，这就像在使用定义建立论证前，我们要先知道正确的定义一样。然而，当额外的精准度对我们没有帮助时，我们就称之为迂腐。
因此，从自指的角度来看，我对迂腐和精准的区分本身就是一个精准的例子，而不是迂腐的，因为我认为它阐明了情况。
当然，人们可能会对这两者间的分界线在哪里产生分歧。一个人的精准可能是另一个人的迂腐。这取决于某人对精准的追求程度，以及他们对模棱两可的容忍程度。
孩子在认知世界的过程中会遇到一个难点：如何处理语言的不确定性。他们更容易按照字面的意思待人接物，因为他们还没有学会使用情境来解释模棱两可之处，也没有培养出对细微差别的容忍（或者理解能力）。我的一个朋友讲述了一件趣事，她的小儿子正在吃一袋薯片，不一会儿小朋友说他吃饱了。我的朋友说：“你可以把薯片放在桌子上。”于是，小朋友听话地把薯片全倒在了桌子上。
作为成年人，为了适应生活，我们培养出了更加轻松地应对比喻性语言的能力，以及更加轻松地应对事物所需精准程度的能力。例如，你在测量东西时需要怎样的精确度。当称量用于制作蛋糕的白糖时，我知道如果少称10克左右不会有太大问题。然而，当称量用于制作马卡龙的白糖时，我知道此时用量非常重要，所以我会利用电子秤来称取最接近标准用量的质量。如果有人在确定麻醉剂的剂量，以使某人处于全身麻醉状态，我格外希望他们能得到极为精确的结果。事实上，我有一次非常不安的经历，我需要在全身麻醉的状态下做一个膝盖手术。当麻醉师发现我是一名数学家时，她用非常欢快的口吻说：“哦，我的数学真糟糕！”当时，我一点儿也兴奋不起来。
我承认，我常常发现自己会比其他人追求更高的精准度，而且确实有人指责我迂腐。但是我坚信，我只是单纯地想让情况更明朗一些。事实上，在实际生活中，我也更倾向于光亮。我喜欢书桌上明亮的灯光，也喜欢明亮的阳光，因为我喜欢把事物看得更清晰一些。在思考过程中，我也喜欢这样。有时，我们需要花费更长的时间来进行更全面的思考，撰写更大篇幅的解释，完成更多基础工作，以实现事物的精准度，但在如今这个充满花言巧语、模因和“扔麦”的世界里，这项工作常常是不受欢迎的。事实证明，说出有影响力的话往往比说出真话更重要。但是，应该存在一种方式，让我们在表达真相的同时不会牺牲影响力，在具备影响力的时候又不会牺牲真实性。在我们这个充满未知、情感、美好人类的复杂世界里，使用逻辑就是最好的方式。
在我的想象中，有一束明亮的灯光正在照向我们试图理解的事物。如果我们把光源紧靠事物，光线就会很充足，但是照亮的区域很小。如果我们把光源移到更远的地方，就能照亮很大一片区域，但是光线会变得不那么明亮。最终，如果我们把光源放得太远，光线就会变得太分散，我们就看不到任何东西。但是，如果我们把光源恰好放在自己正在学习的事物上，那么我们同样无法看到太多东西。
逻辑和抽象就像照亮事物的光源。当我们变得更加抽象时，光源就像从地面上升起一样。我们会看到更广阔的背景，但细节不再那么明显；然而，理解广阔的背景可以帮助我们理解细节。在所有的情况下，我们的目标都应该是各种形式的阐释。首先我们需要光源，然后我们可以决定让光照向哪里，以及如何去照亮那个地方。