§3 直线的方程，直线、平面间的相关位置
3.1 直线的方程
图2.4
一个点和一个非零向量可以决定一条直线.取一个仿射标架[O；d1，d2，d3]，已知点M0（x0，y0，z0）T，非零向量υ（X,Y，Z）T，如图2.4所示.现在来求经过点M0且方向向量为υ的直线l的方程.
点M（x,y，z）T在直线l上的充分必要条件是
与υ共线，即
其中t是实数.设M0，M的定位向量分别用r0，r表示，则由上式得
r=r0+tυ.（3.1）
（3.1）式称为直线的向量式参数方程，其中t称为参数，它可以取任意实数.参数t的几何意义是：点M在直线l上的仿射标架[M0；υ]中的坐标.
将（3.1）式用坐标写出，得
（3.2）式称为直线的参数方程，其中参数t可取任意实数.
下面消去参数t.因为υ≠0，不妨设X≠0，则得
如果Y≠0，则得
如果Y=0，则得y-y0=0.对于非零实数a，由于0c=0，∀c∈R，因此0c≠a，∀c∈R，从而a/0不存在；而0/0可以等于任意实数c.于是，如果规定分母为零时就表示分子也为零，则当Y=0时，（3.3）式仍然成立，并且此时（3.3）式左端的x可以取任意实数.
同理可得
因而有
（3.5）式称为直线l的标准方程（或点向式方程），它实际上是两个方程（3.3）和（3.4）的联立方程组.标准方程中的（X,Y，Z）T称为直线l的方向系数，它是l的方向向量υ的坐标.由于对任意非零实数k,kυ也是l的方向向量，所以（kX,kY,kZ）T也是l的方向系数.
如果已知直线l上两点M1（x1，y1，z1）T,M2（x2，y2，z2）T，则为l的一个方向向量，从而得l的方程为
（3.6）式称为直线l的两点式方程.
任意一条直线可以看成某两个相交平面的交线.设直线l是相交平面π1和π2的交线，πi的方程为
Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2，
它们的一次项系数不成比例，则
是直线l的方程，称为l的普通方程.
由直线l的标准方程（3.5）可写出它的普通方程.若X≠0，则（3.5）式可写成
（3.8）式就是l的普通方程，其中第一个方程表示平行于或经过z轴的平面，第二个方程表示平行于或经过y轴的平面.对于X=0，而Y≠0（或Z≠0）的情况，可类似讨论.
由直线l的普通方程（3.7）可写出l的标准方程.先找直线l上的一个点M0.如果
则令z=0.这时去解x,y的一次方程组，可求得唯一的一个解x=x0，y=y0.于是M0（x0，y0，0）T在l上.再找l的一个方向向量υ（X,Y，Z）T.因为υ平行于πi（i=1，2），所以有
令
则
所以坐标为
的向量υ与πi（i=1，2）平行.由于π1与π2方程中的一次项系数不成比例，所以（3.9）中的三个行列式不全为零（根据第一章的命题2.3）.这说明υ≠0，于是坐标为（3.9）的向量υ就是l的一个方向向量.有了l上的一个点M0和它的一个方向向量υ，就可以立即写出它的标准方程.
由于直角坐标系是特殊的仿射坐标系，所以上述一切结论在直角坐标系中都成立.利用右手直角坐标系的特殊性，由直线的普通方程写出它的标准方程时，求l的方向向量υ可以更加直观：因为υ⊥ni，其中ni是πi（i=1，2）的法向量，所以可以取υ=n1×n2.由于ni的坐标是（Ai，Bi，Ci）T，所以υ=n1×n2的坐标就是（3.9）.
3.2 两条直线的相关位置
在仿射坐标系中，设直线li经过点Mi（xi，yi，zi）T，方向向量为υi（Xi，Yi，Zi）T，i=1，2.
l1与l2平行的充分必要条件是υ1与υ2共线，但M
与υ1不共线，即存在实数λ，使得υ2=λυ1，但对一切实数μ，都有
l1与l2重合的充分必要条件是υ1，υ2，
共线，即存在实数λ，μ，使得
l1与l2相交充分必要条件是
，υ1，υ2共面，且υ1与υ2不共线，即
且对一切实数λ，都有υ2≠λυ1.
l1与l2异面的充分必要条件是
，υ1，υ2不共面，即Δ≠0.
3.3 直线和平面的相关位置
在仿射坐标系中，设直线l经过点M0（x0，y0，z0）T，一个方向向量为υ（X,Y，Z）T，平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0.
l与π平行的充分必要条件是υ与π平行，且M0不在π上，即
AX+BY+CZ=0，且 Ax0+By0+Cz0+D≠0.
l在平面π上的充分必要条件是υ与π平行，且M0在π上，即
AX+BY+CZ=0，且 Ax0+By0+Cz0+D=0.
l与π相交的充分必要条件是υ与π不平行，即
AX+BY+CZ≠0.
此时，将l的参数方程
代入π的方程中，得
A（x0+tX）+B（y0+tY）+C（z0+tZ）+D=0.
解得
再代回到l的参数方程中，可求出l与π的交点的坐标.
3.4 例
例3.1 设在直角坐标系中，直线l的点向式方程为
求经过l且平行于z轴的平面π的方程以及l在Oxy平面上的投影的方程，并且画图.
解 因为l的普通方程是
其中第一个方程表示的平面就是经过l且平行于z轴的平面，因此所求平面π的方程为
l在Oxy平面上的投影l1是平面π与Oxy平面的交线，所以l1的方程是
图2.5
为了画平面π，先求出它与x轴的交点（1，0，0）T及与y轴的交点
为了画直线l，先求出l与Oxy平面的交点
及与Ozx平面的交点（1，0，1）T.画出的图形如图2.5所示.
例3.2 在仿射坐标系中，求经过点M0（0，0，-2）T，与平面
π1：3x-y+2z-1=0
平行，且与直线
相交的直线l的方程.
解法一 先求l的一个方向向量υ（X,Y，Z）T.因为l经过点M0，且l与l1相交，所以有
即
X+Y-2Z=0.
又因为l与π1平行，所以有
3X-Y+2Z=0.
联立上述两个方程解得
X=0，Y=2Z.
令Z=1，得Y=2，所以l的方程为
解法二 l在经过点M0且与平面π1平行的平面π2上，设π2的方程为
3x-y+2z+D=0.
将M0的坐标代入，求得D=4，所以π2的方程为
3x-y+2z+4=0.
l又在经过点M0及直线l1的平面π3上，π3的方程为
即
x+y-2z-4=0.
因为l是π2与π3的交线，所以l的方程为
解法三 设l与l1的交点为M2（x2，y2，z2）T.因为M2在l1上，又
与π1平行，所以有
解之，得M2的坐标为
，因此l的方程为
即
习题 2.3
1.在给定仿射坐标系中，求下列直线的方程：
（1）经过点（-2，3，5）T，方向系数为（-1，3，4）T；
（2）经过点（0，3，1）T和（-1，2，7）T.
2.在给定的直角坐标系中，求下列直线的方程：
（1）经过点（-1，2，9）T，垂直于平面3x+2y-z-5=0；
（2）经过点（2，4，-1）T，与三根坐标轴夹角相等.
3.将下列直线的普通方程化成标准方程：
4.在给定的直角坐标系中，求下列直线在Oxy平面上的投影，并画图：
5.判断下列各对直线的位置：
6.求直线与平面的交点：
7.求直线
与z轴相交的条件.
8.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的方程：
（1）经过直线l1，且平行于直线l2，其中l1，l2的方程分别是
（2）经过直线
且在y轴和z轴上有相同的非零截距；
（3）经过两平面
π1：4x-y+3z-1=0 和 π2：x+5y-z+2=0的交线，且经过点（1，1，1）T.
9.在给定的直角坐标系中，求下列平面方程：
（1）与平面π1：6x-2y+3z+15=0平行，且这两个平面与点（0，-2，-1）T等距；
（2）经过z轴，且与平面2x+y√-5z-7=0交成60°角；
（3）经过点（2，0，-3）T，且垂直于两平面
π1：x-2y+4z-7=0 和 π2：3x+5y-2z+1=0.
10.在给定的仿射坐标系中，求下列直线的方程：
（1）经过点（1，0，-1）T，且平行于直线
（2）经过点（11，9，0）T，且与直线l1和l2均相交，其中l1，l2的方程分别是
（3）平行于向量（8，7，1）T，且与直线l1和l2均相交，其中l1，l2的方程分别是
11.在给定的直角坐标系中，求下列直线的方程：
（1）经过点（2，-1，3）T，与直线
相交且垂直（简称正交）；
（2）经过点（4，2，-3）T，平行于平面x+y+z-10=0，且与直线
垂直；
（3）从点（2，-3，-1）T引向直线
的垂线；
（4）经过点M0，且与直线r=r1+tυ正交.
12.在△ABC中，设P,Q，R分别是直线AB,BC,CA上的点，且
证明：AQ,BR,CP共点的充分必要条件是λμν=1（注：若AQ,BR,CP彼此平行，则也认为它们有一个公共点.这在第七章§1中将详细讲）.
13.用坐标法证明切瓦定理：若三角形的三边依次被分割成
λ：μ，ν：λ，μ：ν，
其中λ，μ，ν均为正实数，则此三角形的顶点与对边分点的连线交于一点.
14.求出直线
和平面
π：Ax+By+Cz+D=0
平行或l在π上的条件.
*15.证明：如果直线
与直线
相交，那么
16.证明：任何与异面直线
和
其中λ，μ是不全为零的实数，λ′，μ′也是不全为零的实数.
17.证明：到三角形的三个顶点等距离的点的几何轨迹是一条直线.
*18.在直角坐标系中，给定点A（1，0，3）T和B（0，2，5）T以及直线
设A′，B′分别为A,B在l上的垂足，求|A′B′|以及A′，B′的坐标.
*19.在仿射坐标系中，求出经过点M0（x0，y0，z0）T，且与平面
πi：Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2
都平行的直线的方程.