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2.2 多项式的因式分解
所谓多项式的因式分解,就是把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积。它是乘积展开成多项式的逆过程。但是,不能再分的问题与所讨论的多项式系数的取值范围有关。
例如,讨论多项式
f(x)=x4-4
的分解。如果系数限制为有理数,那么f(x)可以分解成
f(x)=(x2-2)(x2+2)
如果系数限制为实数,那么f(x)还可以分解成
如果系数限制为复数,那么f(x)还可以进一步分解成
因此,多项式的因式分解必须明确系数的范围。在以下的讨论中,系数限制为有理数。
常见的也是最基本的因式分解公式为
因式分解的方法很多,如提取公因法、分组分解法、公式法、十字相乘法等。
MATLAB中,多项式的因式分解的命令是factor。factor(X)对符号表达式X作因式分解。
【例2.3】 将多项式f(x)=x4—4,作因式分解。
解:执行命令
或
得
这表明
x4-4=(x2-2)(x2+2)
【例2.4】 将多项式3ax+4by+4ay+3bx作因式分解。
解:执行命令
得
这表明
3ax+4by+4ay+3bx=(3x+4y)(a+b)