第四节　数的特性

一、约数倍数

1.基本概念

一个数的最大约数是其本身，最小约数是1。若两个数有共同的约数，则这个约数称为它们的公约数，即“公用的约数”。一般来说，两个数的公约数不止一个，但是有限的，我们经常讨论其中最大的一个公约数，称为这两个数的最大公约数。

与公约数类似，两个数共同的倍数，称为公倍数。且这个公倍数不止一个，由于倍数可以无限大，所以我们把其中最小的一个公倍数，称为这两个数的最小公倍数。

2.如何求最大公约数和最小公倍数

(1)质因数分解法

把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如:求24和60的最大公约数。先分解质因数，得24 =2×2×2×3，60 =2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3 =12，所以，(24、60) =12。

把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如:求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6 =2×3，15 =3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有的质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5 =30，30里面既包含6的全部质因数2和3，也包含15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以，［6，15］=30。

(2)短除法

短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、18的最大公约数和求12、30、50的最小公倍数。

【例1】如图，街道XYZ在Y处拐弯，XY =1125米，YZ =855米，在街道一侧等距装路灯，要求X，Y，Z处各装一盏路灯，这条街道最少要安装多少盏路灯?(　)

A. 47　　　　B. 46　　　　C. 45　　　　D. 44

——2012年安徽省考第68题

【解析】C。需寻找最大公约数。1125和85的最大公约数为45，所以间隔最大为45，需要装(1125+855)÷ 45+1 =45盏。故选C。

【例2】世界石油价格上涨，导致油站供油不足。已知三辆油罐车分别运来吨油，农忙季节农用机车急需用油，为支援生产，把三罐油平均分成若干等份，每份尽可能多，每台农用机车一次凭车牌号领取一份油，则至少可满足(　)台农用机车的需求。

A. 125　　　　B. 138　　　　C. 151　　　　D. 163

——2015年深圳市考第50题

【解析】C。需寻找最大公约数。通分得，420、189、448的最大公约数为7，则每份油为吨，三罐油至少可分等份;因此，至少可以满足60+27+64 =151台农用机车的需求。故选C。

技巧点燃

如何求分数的最大公约数?

1.先将各数化成假分数的形式;如5可化成可化成可化成;

2.把各假分数进行通分;和通分之后分别为;

3.通分之后的分母做分母，各分子的最大公约数做分子，形成的分数即为这几个分数的最大公约数如，72做分母，420、189、448的最大公约数为7，7做分子，那么即为这几个分数的最大公约数。

【例3】A、B、C、D四人去羽毛球馆打球，A每隔5天去一次，B每隔11天去一次，C每隔17天去一次，D每隔29天去一次，5月18日，四个人恰好在羽毛球馆相遇，则下一次相遇时间为?(　)

A. 9月18日　　　　B. 10月14日　　　　C. 11月14日　　　　D. 12月18日

——2012年安徽省考第69题

【解析】C。需寻找最小公倍数。每隔5天即每6天，同理可知，需求出6、12、18、30的最小公倍数;由短除法可得其最小公倍数为180;因此，下一次相遇应是经过大约6个月，即在11月。故选C。

二、多位数问题

多位数问题，主要有两种考查形式:第一种就是数值的变形，比如说看错数字，或者将数字位次调换;第二种就是页码的问题，从用的数字的个数等来考查分析。对于第一种，我们可以设置未知数，拆分来考虑;对于第二种，就应该采用分类讨论来解答。

【例4】小明和小华计算甲、乙两个不同自然数的积(这两个自然数都比1大)。小明把较大的数字的个位数错看成了一个更大的数字，其计算结果为144，小华却把乘号看成了加号，其计算结果为28。问两个数的差为(　)。

A. 16　　　　B. 12　　　　C. 8　　　　D. 4

——2014年四川省考第64题

【解析】A。根据题意，假设这两个数字分别为x、y，且x的数值更大，则有x+ y =28，如果是A选项，那么x =22，y =6，由于小明错误计算之后得到的乘积为144，那么此时其中一个乘数为144÷6 =24，比22大，满足条件。故选A。

【例5】小张练习写数码，从1，2，3…连续写至1000多才停止。写完一数，共写了3201个数码。请问，小张写的最后一个数是多少?(　)

A. 1032　　　　B. 1056　　　　C. 1072　　　　D. 1077

——2014年天津市考第8题

【解析】D。根据题意以及选项，最后一个数字必然超过1000，那么在前999个数字里面，共出现9+(99－11+1)×2+(999－100+1)×3 =9+180+2700 =2889个数码，也就意味着四位数的数码有3201－2889 =201+111 =312，所以四位数的数字共有312÷4 =78个，那么最后一个数字就是1077。故选D。

三、余数问题★★★

余数问题的公式:被除数÷除数=商…余数(0≤余数＜除数) ;

余数问题恒等式:被除数=除数×商+余数，被除数＞余数×商;

同余定理:余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。在一个被除数有多个除数的情况下:

(1)若余数相同，则被除数为除数的最小公倍数的倍数再加上余数;

(2)若余数和各自除数的和相同，则被除数为除数的最小公倍数的倍数再加上和;

(3)若余数和各自除数的差相同，则被除数为除数的最小公倍数的倍数再减去差。

【例6】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少?(　)

A. 12　　　　B. 41　　　　C. 67　　　　D. 71

——2011年北京事业单位第26题

【解析】D。余数是11，根据余数的范围(0≤余数＜除数)，我们能够确定除数＞11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式:被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11 =71，因此被除数最小为71。故选D。

【例7】文具店的圆珠笔每支4元，签字笔每支6元，钢笔每支7元。甲、乙、丙三人带的钱数相等且都不超过100元，三人分别购买一种笔。已知甲买完圆珠笔后还剩15元，乙买完签字笔后还剩21元，丙买完钢笔后还剩17元。如果三人的钱相加，最多能买多少支笔?(　)

A. 60　　　　B. 65　　　　C. 72　　　　D. 87

——2014年河南省政法干警第41题

【解析】B。假设甲、乙、丙三人带的钱数都为x元(x＜100)，由题目条件知:“(x－15)是4的整倍数、(x－21)是6的整倍数、(x－17)是7的整倍数”，也可以说“(x－15+12)是4的整倍数、(x－21+18)是6的整倍数、(x－17+14)是7的整倍数”，即(x－3)是4、6、7的公倍数，由同余定理知: x =84n+3。题目求最多能买多少只笔，需让x取最大值，且买的笔单价最低，x最大取87，单价最低的为圆珠笔; 87×3÷4 =65……1，因此，三人的钱相加，最多能买的笔数为65支。故选B。

四、日期问题

日期问题考查的实际上是与我们生活息息相关的常识，涉及年、月、日的各类问题，着重考查大家的分析和推理能力，以及全面考虑问题的能力。

【例8】根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是(　)。

A.周一或周三　　B.周三或周日　　C.周一或周四　　D.周四或周日

——2013年国考第70题

【解析】D。因8月有31天，而工作日为22天，则休息日为9天。因周六、周日两天是在一起的，而最终休息日为单数，因此要么本月第一天为周日，要么本月最后一天(8月31日)为周六，即8月1日可能是周四，也可能是周日。故选D。

【例9】张先生在某个闰年中的生日是某个月的第四个也是最后一个星期五，他生日的前一个和后一个月正好也只有4个星期五。问当年的六一儿童节是星期几?(　)

A.星期一　　B.星期三　　C.星期五　　D.星期日

——2014年下半年联考－河南第43题

【解析】A。一个月至少有4个整周，连续三个月至少有12个整周，即12×7 =84天;由题目可知“连续的三个月内共有12个星期五”，即连续三个月的天数之和扣除84天后，剩下的天数最多只能有6天(这六天分别是星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四)，即连续三个月天数之和最多只能有90天，符合这一条件的连续三个月只能是2月(闰年，29天)、3月(31天)和4月(30天) ;因此，2月1日为周六，从2月1日到6月1日共29+31+30+31 =121天，121÷7 =17…2，星期六往后推2天，即星期一。故选A。

【例10】甲每工作5天休息周六周日2天，法定节假日如非周六周日也要加班。已知甲某年休息了106天，那么他下一年12月的第一个休息日是___。

A. 12月1日　　　　B. 12月2日　　　　C. 12月3日　　　　D. 12月4日

——2014年上海市考A卷第81题

【解析】A。我们知道一年或为365天或为366天，其中包含52个完整周。在这52个完整周中共可休息104天，而甲在该年休息了106天，说明该年共计366天且最后两天分别为周六、周日，亦即12月30日为周六、12月31日为周日。因此，下一年共365天且12月29日为周六。12月29日前推28天是12月1日，也是周六。因此，甲12月的第一个休息日是12月1日。故选A。

【例11】人们将1/10表示为1月10日，也有人将1/10表示为10月1日，这样一年中就有不少混淆不清的日期了，当然，8/15和15/8只能表示为8月15日，那么一年中像这样不会搞错的日期最多会有多少天?(　)

A. 221　　　　B. 222　　　　C. 216　　　　D. 234

——2009年安徽省考第12题

【解析】D。根据题干条件，可知每个月的前12天都是容易搞错的日期，像1月2日和2月1日都可以表示成1/2或者2/1，因此一年12个月共有12×12 = 144天是会搞错的日子，所以不会搞错的日期有365－144 = 221天。到此本题解答完毕，但是仔细想想，本题还有两处被忽略的地方，一是，前12个月中的12个特殊日期(1月1日、2月2日、3月3日……11月11日、12月12日)，无论怎么表示都不会搞错;二是，题目问“最多”，那么应该考虑2月29日这一天。因此，正确的结果应该是221+12+1 =234天。故选D。

技巧点燃

若日期问题中涉及“求最多”，则切记考虑闰年的2月29日这一特殊情况。

五、周期问题

若一串事物以T为周期，且A/T = N…a，那么第A项等同于第a项。

【例12】有68个数排成一排，除头尾两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和。经分析发现，这些数除以6所得的余数以12个数为周期重复出现。已知前两个数是0和1，则该数列最后一个数除以6的余数是(　)。

A. 2　　　　B. 3　　　　C. 4　　　　D. 5

——2013年广西事业单位第41题

【解析】D。因为“这些数除以6所得的余数以12个数为周期重复出现”，且68÷12 =5…8，那么最后一个数除以6的余数应与第8个数除以6的余数相同;又因为“每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和”，且“已知前两个数为0和1”，则前8个数为0、1、3、8、21、55、144、377。377÷6 =62…5。所以，该数列最后一个数除以6的余数是5。故选D。

【例13】三位采购员定期去某市场采购，小王每隔9天去一次，大刘每隔6天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在这里相会，下次相会将在星期几?(　)

A.星期一　　B.星期五　　C.星期二　　D.星期四

——2013年黔南州事业单位第40题

【解析】C。最小公倍数和星期问题的综合题。注意题目中的“每隔9天”实际上就是“每10天去一次”。所以下一次相遇的时间，就是10、7、8的最小公倍数的天数对应的星期数。10、7、8的最小公倍数为280，即第280天三人相会，280除以7余0，即下次相会还是星期二。故选C。

【秒杀技巧】本题也可由“大刘每隔6天去一次”推出:大刘总是在每周的同一天去采购，又根据题干，三人首次相会是在星期二，可以推出三人下次相会只可能是星期二，因为大刘总是固定在星期二这天去市场采购。

六、年龄问题

年龄问题的基础知识:

(1)每过N年，每个人都长了N岁;

(2)两个人的年龄差任何时候都是固定不变的;

(3)年龄倍数逐渐减小。

【例14】甲对乙说:当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说:当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。甲乙现在各有(　)。

A. 45岁，26岁　　　　B. 46岁，25岁　　　　C. 47岁，24岁　　　　D. 48岁，23岁

——2013年河南郑州事业单位第44题

【解析】B。设甲现在x岁，乙现在y岁，对题目分析可列下表:

因为两个人的年龄差在任何时候都不变，所以有: x－y = y－4 =67－x，解得x =46，y =25。故选B。

【秒杀技巧】根据我们上面得到的“x－y = y－4 =67－x”，我们可以知道“4，y，x，67”成等差数列，4与67相隔为63，长度为63被y、x平均分成了3段，每段长21，所以y =25，x =46。

【例15】一家四口人的年龄之和为149岁，其中外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄之和都是平方数，而父亲7年前的年龄正好是孩子年龄的6倍。问外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在几年前?(　)

A. 2　　　　B. 4　　　　C. 6　　　　D. 8

——2014年上半年联考－湖北第69题

【解析】D。由于外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄之和都是平方数，结合平方数知识点常用勾股数可知，这三个平方数应该是62、82和102，结合常识可知外公的年龄是64岁，母亲年龄是36岁，则父亲和孩子的年龄之和为149－100 =49岁;由于父亲7年前的年龄是孩子年龄的6倍，那么孩子现在的年龄就是(49－14)÷(6+1)+7 =12岁。设外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在x年前，则应为整数，只有选项D代入之后式子是整数。故选D。