1.3 基于数理模型的金融发展对就业的影响
Pagano和Pica（2012）在已有研究文献的基础上，基于数理模型推导出金融发展对就业的影响。尤其是阐述了不同融资约束的企业对就业影响的差异性等。以下简单阐述此论文的理论。
1.3.1 金融发展对劳动力市场的影响
首先，此论文假定经济中有一个厂商和同质的企业，产品市场和劳动力市场是完全竞争的。企业生产利用了资本K和劳动L的C-D生产技术。则企业的产出为
其中θ是反映技术的参数，α∈（0，1）。给定技术参数和规模报酬参数，在没有融资约束情形下企业没有最优规模。假定单位资本的价格为1，工资记为W。这表明企业除了自有资本A外，可以从完全竞争的银行借到所需要的任何资金，为了简单起见，假定利率为0。
从银行借款的能力受限于道德风险问题：在偿还贷款之前，企业家先提取不多于1-λ倍的总利润Y-WL作为私人收益B，私人利益从银行而不是雇员的费用中提取。在法律的保护下，参数λ反映银行审查和掌控的能力，即测度了经济中的金融发展水平，它取决于中介机构的效率和法律制度的质量。
包括如下三个阶段（t=1，2，3）：
（1）融资阶段：企业家借入资金F，连同此论文的自有资产A，购买资本K；
（2）劳动力雇佣阶段：企业家雇佣工人数L；
（3）生产阶段：该公司产出为Y，工人得到工资收入为WL，企业家提取私人收益B，剩下的归银行所有。
具体地，在t=3时，即每个企业家得到最大化的私人收入B=（1-λ）（Y-WL），因为在过去的两个阶段，企业的投入选择得到了最优的收益。
在t=2时，企业家选择工人数L，使其个人收益B最大化，因为在可投资资源为A+F的融资阶段，资本K是给定的。企业家个人的最终收益必须超过他的初始资本A，这也是他投资的动力。因此，雇佣问题可以写作：
满足企业家参与的约束条件B≥A。将方程（1.18）中的Y代入方程（1.19）可得，最大化下的企业劳动力需求是资本和工资的函数：
企业家对应的私人收益为：
其中φ（W）表示单位资本的投资利润，是工资W的减函数：φ′（W）＜0。利用方程（1.21），约束条件
可以写作：
在t=1时，企业不亏本即可承诺收入
，为企业最大化银行贷款F。这些计算假定，企业在t=2时的最优雇佣由方程（1.20）给出，相应的收入为
。银行贷款F的盈亏平衡水平为：
这里，最优的劳动力需求量
由（1.23）所表述。因为φ′（W）＜0，企业的可承诺收入和外部资本F均为工资W的减函数。企业家可在超出自有资本A外投资，总的可用投资资源为F+A：
这约束意味着，企业可承诺每单位资本的报酬为λφ（W）。于是出现以下两种情况。
（1）如果λφ（W）≥1，银行愿意给企业借任意数额的资金：约束条件方程（1.24）不成立，比如，企业没有融资约束。在这种情形下，企业的资本，就业和产出不依赖于企业家的自有资本A和金融发展水平λ。
（2）如果λφ（W）＜1，即1单位的投资产生少于1单位的可承诺收入，因此融资约束方程（1.24）成立。也就是说，它决定了企业的资本存量：
它是W的减函数：工资越高投资收益φ（W）越少，收紧了公司配给的约束。假定工资的下门限为
，即企业支付的工资是不低于它的：
如果工资低于这个水平，企业将受益于银行不再有信贷配给。但是当
时，融资约束将起作用。
然而，工资不能高于企业家愿意生产的约束方程（1.22），
，否则将阻碍投资。这些条件要求φ（W）≥1，也就是说，只有工资低到一定程度，投资才是可行的。这是非常直观的：除非1单位的投资能得到不少于1单位的收益，企业家才愿意投资；这个条件转化为工资的上门限
，即企业家投资，W不能超过：
因此，企业对资本的限制性需求为：
这里
由方程（1.25）给出。和企业需求对应的劳动力需求为：
也就是说，当工资超过门限值
时，劳动力需求为0，因此投资是不可行的；当工资等于上门限值
时，劳动力需求是正值但不确定，是工资的减函数。直观地，越高的劳动力成本，越低的企业可承诺收入，导致越紧的融资约束和越低的劳动力需求。当工资接近下门限值
时，劳动力的需求趋于无穷大。
在给定工资水平W下：越高的金融发展水平λ，越多的限制性资本存量
。这将导致强劲的劳动力需求：银行对借贷者而言，缺少可利用的良机，宁愿借给每个可承诺收入的企业更多的资金，使得企业可以更多地投资和雇用更多的工人。
1.3.2 金融发展视角下的劳动力市场均衡
此论文假定劳动力供给是工资W的非递减函数Ls（W）。要求它和方程（1.29）中的限制性劳动力需求LDc相等，可得到均衡的劳动力数量L*和工资水平W*：
如果劳动力供给是工资水平的增函数，这个均衡点是存在且唯一的，使得所有企业在约束条件下是均衡的。如果劳动力供给在
条件下是完全弹性的也能得到相同的结论。
图1-5反映了金融发展水平从λ到λ′对劳动力市场的影响：劳动力需求曲线向右上方移动，在工资门限值
附近变得很平坦。因此，金融发展增加了均衡就业、产出和工资。
图1-5 金融市场发展对劳动力市场的影响：一个企业情形
需要注意的是，金融发展增加均衡工资归因于企业资本对劳动的替代，即资本集约度（W*/αθ）1/（1-α），从而增加劳动边际产出率（W*）和平均劳动生产率（W*/α）。由模型可得，金融发展不仅促进就业，而且提高劳动生产率。至于就业和生产率效应的分解取决于劳动力供给的弹性。越平坦的劳动力供给曲线，就业效应越大；越陡峭的曲线，对工资和生产率的影响越大。最后，在工资的劳动供给弹性εS中，就业是λ的增函数：
相反地，均衡工资对金融发展水平λ的弹性与工资的劳动供给弹性εS有关，即
基于该模型还可以分析，即提升企业i的盈利能力参数θi，对均衡就业的影响：
它随着金融发展水平λ的增加而增加。其经济含义解释为：在越发达的金融环境下，企业越能利用好投资环境，从而使就业和产出得到增加。
1.3.3 基于不同企业的金融发展对就业的影响分析
在包含多个同质公司所组成的一个行业的数理模型基础上，以下将扩展到异质性公司的情况，以此测度岗位在不同公司重新分配的程度。
这里假定经济中有两个企业H和L，除了企业H比企业L具有更高的收益能力（θH＞θL）外，两个企业还具有相同的C-D生产技术：
Y=θK1-αLα
其中θ是反映技术的参数，α∈（0，1）。给定技术参数和规模报酬参数，在没有融资约束情形下企业没有最优规模。假定单位资本的价格为1，工资记为W。这表明企业除了自有资本A外，可去从完全竞争的银行借到所需要的任何资金，为了简单起见，假定利率为0。
假定劳动力在企业间可以完全流动，这样可以假定工人有单一的工资。两个企业有不同的产品，卖不同的价格。假定θi（i=H，L）代表企业i总的生产率。YH和YL分别代表两个企业各自的收益，本书假定产品的价格是给定的。企业H和企业L在劳动力市场是完全竞争的，但产品市场不是完全竞争的。
企业i的劳动力需求为LDC，i：
其中
，为企业i的投资收益。如果工资高于如下门限值，企业i将没有劳动力雇佣：
相反地，当工资超过如下的最低门限值时，企业愿意吸纳任意数量的劳动力：
因为以上表达式均为θi的增函数，所以企业H的门限值都大于企业L的门限值：其中
意味着，在一些工资水平下，企业H能运行但企业L不能。而
意味着，在整个经济体中，企业H的劳动力需求的最低工资水平为
，企业L也不希望支付给工人的工资低于此水平。但事实上，这个最低工资可能会高于企业L能支付的工资水平。以上两式成立的条件是：
这要求λ足够大。其中当资本市场是完全（λ=1）时，由θH＞θL，则式（1.37）成立。因此，当市场足够发达时，通过劳动力市场的竞争，更具竞争力的企业将挤垮不具有竞争力的企业。直观地，随着λ的增大，银行更愿意借贷给具有竞争力的企业，促使企业能大量雇用工人，并且提高工资到这一个水平，即促使不具有竞争力的企业退出市场。
但是，如果将同样的逻辑应用到金融发展水平，使得工资水平落在区间
，这时两个企业都能正常运行。在此区间里，随着金融发展水平的提高，更多比例的资源分配给了具有较强竞争力的企业，实际上是排挤了缺少竞争力的企业（虽然不是使其完全倒闭）。具体地，假定λ足够低，使得均衡工资W*小于
，虽然企业L获得正的收益，但其劳动力需求曲线朝着减少的方向移动。在这个区间里，劳动力市场均衡时的劳动力总需求是各自劳动力需求（LDC，H+LDC，L），见图1-6中的劳动力需求曲线LS（W），即
图1-6 金融发展对劳动力市场的影响：两个企业情形
方程（1.38）表明，类似于在一个模型中，有两个企业的情形下，当金融发展水平从λ增加到λ′时，也会增加劳动力的需求。但是，金融发展对强竞争力企业的收益多于弱竞争力的企业。直观地，在劳动力市场上，面对大量的金融资源，强竞争力企业容易比弱竞争力企业出更高价。企业i（i=H，L）均衡就业，利用金融发展水平λ的函数来反映：
因此，两个企业就业的金融弹性之差反映它们的差异：
这个表达式是正的，因为以上两个括号的表达式均为正：首先，因为λφi（W*）/1-λφi（W*）是φi（W*）的增函数；其次，其余部分如果为负的话，则与λ增加使得总就业增加相矛盾。因此，金融发展水平的提升将更多地增加强竞争企业的就业，而且有可能使得弱竞争企业的就业缩减。如图1-6所示，当λ增加到λ″时，会导致均衡工资的增加，最终导致弱竞争力企业消失。虽然λ的增加减少了企业L的就业，但同时更多地增加了企业H的就业，于是总的均衡就业是增加的。因此，金融发展不仅仅是增加了总就业、劳动生产率和工资，还导致了就业在企业间的重新分配。这种金融发展的效应与已有文献Pica和Mora（2011）的结论是类似的。该论文认为，通过劳动力市场中公司的竞争，贸易导致资源配置趋向于更有效率的公司，而效率低的公司最终退出市场。
除了直接促使工作重新分配，通过生产率和价格的波动，金融发展改变企业的收益，进而放大了再分配。比如说，在两个企业中，对每个企业收益参数θi都是增加的，接着来看劳动力需求的收益弹性：
由于φH（W*）＞φL（W*），方程（1.41）表明：金融发展不仅使得盈利能力更大的企业H增加就业，而且金融发展水平λ的增加对就业增加的影响存在差异性。对不同盈利能力的企业，金融发展对其影响存在很大的区别，进而放大了就业的再分配。
在两企业模型中允许无约束企业。由上述分析可知，由于盈利能力的冲击，金融发展触动了或者放大了就业在企业间的再分配。但是没有考虑到现金流的冲击。这种情况下，金融发展有反作用，且具有稳定的影响。
假定企业基于相同的规模
，因为有不同的盈利能力，它们具有不同的融资机制：随着λ的增加，相对弱竞争力企业，强竞争力企业可以进入无约束机制。如表1-1所示，本书分三个区域来看。
表1-1 不同金融发展水平对应的融资约束
由表1-1可知，因为只有受融资约束影响的企业才会对现金冲击有影响，即在区域A，所有的企业都受影响；在区域B，只有企业L受影响；在区域C，所有的企业都不受影响。因此，当λ从区域B到区域C时，企业间的再分配受现金流冲击的效应减少到零。这有助于证明，金融发展的就业再分配不一定是增长的。因为通过减少一部分融资约束型企业，使得企业最终脱离对现金流冲击的依赖。
在以上分析中，劳动力假定是同质的，而且在两个企业之间是完全自由流动的。融资约束的减弱或者其他经济冲击能使得劳动力再分配。出于同样的原因，单一的工资存在于整个劳动力市场。如果工人不能自由地在两个企业间流动，即因为就业能力需要特定的行业和不可逆转的人力资本投资，从而企业间工资的差异性会出现在均衡状态，而且可以拓展到其他冲击。如果岗位保护措施增加了工人的企业间重新分配的阻力，以上现象同样可以发生。依据以上逻辑，这里的模型框架不适合于高度发展的金融体系。在实践中，更多的情形是介于二者之间，即劳动力既不是完全移动，也不是完全不移动：一些（尤其是年轻的）工人为了满足需要，可以通过再培训在企业间移动，因此金融冲击可能导致就业的再分配和工资的差异性增长。
1.3.4 对应的数理结论
在两个企业模型中，通过分析金融发展对两个企业影响的差异性，可得如下结论：第一，随着金融发展水平的提高，各个企业的容纳就业的能力有所增强，同时金融发展扩大了盈利能力对就业的影响；第二，金融发展产生就业再分配，导致强融资约束企业驱逐弱融资约束企业。