二 价值、生产价格估计的一般原理
（一）价值的估计
理论上，假定中间投入品的技术结构与产出品的技术结构一致，那么，商品的价值可以由一张实物投入产出表来得到，即
其中A为直接消耗系数矩阵，v为单位商品价值行向量，l为经由复杂还原系数调整之后的单位直接劳动投入行向量。等式（1）表示商品价值等于商品直接劳动投入（活劳动）和间接劳动投入（死劳动）之和，可以由直接劳动投入行向量右乘一个列昂惕夫逆矩阵得到。
在应用层面，上述方法受到了投入产出表编制本身的限制。目前绝大多数国家编制的投入产出表为价值表，即投入产出表所记录的产业间联系均以货币为单位，同时其劳动投入的直接含义指的是每个部门付出的劳动报酬而非以小时计量的劳动时间。
尽管在理论上，只要我们知道每个部门的单位产品价格，就能够将价值型投入产出表转化为实物型投入产出表，但是这一工作存在两方面的困难。第一，投入产出表中有不少部门并不存在物质形态上的产品，难以确定进行计量的物量单位，于是所谓单位产品价格根本就无从谈起。第二，即便是那些有着物质形态产品的部门，其依然是一个大类，包含在形态和功能上存在差异的多种产品。要找到一种对部门内所有产品都适用的物量单位，并统计其价格，无论是在理论上，还是在具体的统计操作上，都有较大的难度。不过正如列昂惕夫所指出的，这种转化并不是必要的，由价值表得到的技术关系表达的同样是物量意义上的技术关系（Tsoulfidis and Paitaridis，2006）。例如，从价值型投入产出表得到的直接消耗系数aij表示生产1美元j部门产品需要直接投入aij美元的i部门产品。1美元产出总会对应着一定的物理单位。例如，1吨铁的价格如果为1000美元，那么由价值表得到的消耗系数对应的产品物量单位就是1/1000吨。[5]尽管我们无从知晓由价值表得到的直接消耗系数矩阵确切的物量单位，但我们至少可以确定它一定对应着一种实物意义上的联系。
然而，上述理解为具体的应用带来便利同时也导致一些额外的问题。例如，在利用价值型投入产出表估计价值和生产价格时，得到的价值和生产价格对应的实际上是1单位货币价格的产出。换句话说，在对价值型投入产出表的分析中，每个部门产品的市场价格都始终为1，价格向量是一个全1向量。本文将在之后的内容中具体分析这一性质所带来的问题。
上述理解上的便利并不适用于对直接劳动投入时间的估计。研究目的本身决定了必须用物量单位来度量直接劳动投入。在目前的研究中，主要存在两种估算部门直接劳动投入时间的方法。
第一种方法由Shaikh（1984，1998，2016）最初提出，也是目前最为流行的一种方法。Shaikh假定部门间平均小时工资的差异反映了劳动强度和复杂程度的差别，即设复杂劳动还原系数hi为
其中，wi表示部门i的直接劳动投入的小时工资，w表示全社会的平均小时工资。不同性质的劳动在复杂程度上存在差别，同样时间的自然劳动投入可以代表不同的价值量。在经验上一般认为价值的单位是简单平均劳动，因此如果i部门劳动的复杂劳动还原系数为hi，则其li*小时的自然劳动投入实际上包含多倍的简单平均劳动，即hili*。孟捷、冯金华（2017）在最近的一篇文章中对复杂劳动还原问题进行了专门的研究。在这个问题上，他们认为工资差异并不会反映劳动复杂程度的差别。不过根据Shaikh的假定，i部门单位商品的活劳动所创造的新价值为
其中li*表示i部门单位商品中所直接投入的自然劳动时间，Wi表示i部门单位商品生产中的劳动成本。等式（3）表明，一旦假定小时工资差异反映了劳动强度和复杂程度的差别，单位商品中活劳动创造的价值可以由劳动成本直接除以社会平均小时工资得到，进而有
l为各部门活劳动创造的价值li构成的行向量。
等式（3）虽然为估计直接劳动提供了一种极为便利的方法，但在理论上存在根本的局限。在马克思主义经济学的理解中，工资是劳动力价值的表现，而劳动在复杂程度和强度上的差别关乎的是劳动所创造的价值，两者并没有直接联系。此外，假定工资水平完全反映劳动复杂程度，即假定资本家为工人1小时活劳动所支付的货币工资在不同部门是相等的，某种程度上相当于假定不同部门的剩余价值率相同，这种假设也缺乏明确的根据。
Shaikh这一估算直接劳动投入的方法在后续的应用中还有一些变形形式。例如，荣兆梓、陈旸（2014）通过将建筑行业选定为典型劳动部门，然后以建筑行业的就业人口为基础，经由投入产出表得到的直接劳动消耗系数换算得到其他部门的就业人数，以此作为直接劳动投入。这一方法与Shaikh的区别仅在于计算的量纲不同，本质上是一致的。
第二种估算直接劳动投入的方法是将各部门自然劳动投入时间（或就业人数）直接作为活劳动。这一方法在理论上的局限是显然的，因为它忽略了劳动在复杂程度和强度上的差别。Cockshott（2011）是这一方法主要的主张者。为这种方法辩护的一种理由是：尽管劳动确实存在质的差别，但是任何产品的生产都投入了多种其他产品，而这些作为中间投入的产品的生产中也投入了多种产品。产品生产中投入产出的完全联系对不同复杂程度和强度的劳动起到了一种平均化的作用，这样一来劳动在质上的差别就不再那么重要。
至于估算各部门的自然劳动投入时间存在很多方法，可以由部门的劳动报酬除以部门的平均工资得到（Cockshott et al.，1995），也可以由微观上的家庭支出数据估算，而如瑞典等有些国家本身就有对自然劳动投入时间的统计。
（二）生产价格的估计
对生产价格的估计涉及转形问题，不同学者基于不同的假定会有不同的解法。本文主要介绍基于斯拉法转形体系的方法。这一方法的特点是：第一，假设工资后付，即可变资本不包括在预付资本之中；第二，使用标准商品的净产出作为计价单位。根据是否考虑固定资本，该方法又可区分为流动资本模型和固定资本模型。本文并不涉及对转形问题的讨论，如果忽略不同方法背后对转形问题的不同理解，这些方法的数理结构是类似的，其区别并不影响本文的讨论。因此对于其他转形体系，我们只在本小节的末尾做简要说明。
对于n部门的投入产出结构，其生产价格行向量可以表示为
其中p表示生产价格行向量，w和r分别表示平均工资率和平均利润率，D为资本折旧系数矩阵，K为固定资本占有系数矩阵，U为各部门产能利用率构成的对角矩阵，T为各部门流动资本周转次数构成的对角矩阵。[6]从等式（5）可以看出，为什么Shaikh估计直接劳动投入的方法会流行，因为这一方法可以很好地与转形过程中要求统一工资率的假定结合起来。等式（5）的完全形式为
其中
等式（5）或等式（6）表示的联立方程组有n+2个未知数（n个生产价格、w及r）和n个独立方程，因此存在两个自由度。
紧接着定义标准商品Xs：
Xs实际上是矩阵H对应于主特征值1/R的主特征向量，其中R为等式（6）当工资率取零时的最大利润率，也是标准商品的净产出资本比。[7]进一步地，根据标准商品确定生产价格的量纲，即令
联立等式（6）、等式（7）、等式（8）可得利润工资曲线：
注意，此时的工资率w含义发生了一定的变化，实际上指的是原体系的总劳动成本占标准商品净产出pXs-pAXs的比重。例如，当r=0时，有p（0）Xs=wvXs=vXs，故w=1（Sraff，1960）。此时，由等式（6）可得生产价格向量p（0）=v。可见，经过等式（8）对生产价格量纲的处理，生产价格便可以直接与价值进行比较，且价值向量正好等于利润率为零时的生产价格向量。在等式（6）、等式（9）的基础上，再外生给定一个利润率r，即可得到生产价格向量p。
本文已经指出，根据不同的假定事实上可以有不同的估计生产价格的方法。例如，根据马克思的原意，工资是预付的，应该包含在预付资本当中，则等式（5）可改写为
其完全形式为
其中
此时利润工资曲线为：
其中
表示流动资本的社会平均周转次数。
另外，也可以不用标准商品的概念，由给定的实物工资向量来得到生产价格（Ochoa，1989）。为了保证两个“总量一致命题”的成立，荣兆梓和陈旸（2014）构造了转形的B体系。不过这些方法的数理结构基本类似，其区别并不影响本文的讨论，因此这里不再做过多的介绍。
（三）价值、生产价格和市场价格偏离程度的计算
用以上方法得到价值、生产价格之后，就可以将之与各部门商品的市场价格进行比较，观察它们各自的偏离程度。早期的研究（Shaikh，1984，1998；Ochoa，1989；Petrović，1987）通常使用二元回归的方法来测度价值、生产价格和市场价格两两之间回归的拟合优度或者皮尔逊相关系数。这里我们将看到之前提到的由价值型投入产出表估算价值、生产价格带来的问题。由于市场价格向量是全1向量，因此价值或生产价格与市场价格的皮尔逊相关系数实际上无法定义，直接二元回归的结果也必然表现为高度显著的常数项1。为避免这一问题，早期研究转而对各部门总价值、总生产价格和总产值之间进行两两回归。但正如很多批评者（Kliman，2002a，2002b；Díaz and Osuna，2005，2007）所指出的，这样得到的皮尔逊相关系数或者拟合优度是虚假的，此时pimxi、pixi、vixi的高相关性来自产量本身，而且得到的皮尔逊相关系数或拟合优度会受到各部门产品量纲的影响。更合理的方式是以各种度量向量之间距离的指标来说明价值、生产价格和市场价格两两之间的偏离程度。
对于价值和市场价格的比较，首先需要将价值向量转换为直接价格向量d（与价值成固定比例的价格），以统一量纲。令
其中xi表示i商品的产量，pim表示商品i的市场价格，vi表示商品i的价值，TMP表示社会总产品市场价格总额，即总产值，TV表示社会总产品的价值总额。
定义
进一步可定义直接价格为
设qi=pim/di，则常用的指标有以下两种。
偏离程度加权绝对均值（mean absolute weighted deviation）：
其中
。
欧几里得距离（Euclidean distance）：
其中
。
在下文给出的研究结果中，笔者更倾向于用偏离程度加权绝对均值（MAWD）来度量偏离程度。这主要是因为欧几里得距离绝对值大小的含义并不清晰。
对于生产价格和市场价格的比较，也需要对生产价格做一定的调整。[8]记TP=∑i=1npixi，μ*=TMP/TP，则在计算生产价格和市场价格偏离程度时，qi相应地变为qi=pim/（μ*pi）。