第二节 物不知数
※算题2 物不知数
难度等级：★★★★☆
思维训练方向：演绎思维
【原题】
今有物，不知其数。三､三数之，剩二；五､五数之，剩三；七､七数之，剩二。问物几何？(选自《孙子算经》26卷下)
【译文】
现有一些物品，不清楚它们的数量。三个三个地数，剩2个；五个五个地数，剩3个；七个七个地数，剩2个。问这些物品的总数是多少？
【解答】
《孙子算经》中的这道题目用简单的数学语言描述是：求一个数，它能够同时满足被3除余2，被5除余3，被7除余2这三个条件。
什么数能够被3除余2，被5除余3，被7除余2呢？古人探索出了解答这类题目的一般方法，它包括5个步骤：
①计算出被3除余2，且是5和7倍数的数。
②计算出被5除余3，且是3和7倍数的数。
③计算出被7除余2，且是3和5倍数的数。
④计算3､5､7的最小公倍数。
⑤将上面的三个数相加，减去(或者加上)3､5､7的公倍数。
其实前3个步骤中还各自包含着另外一个步骤——“求一”：要想求“被3除余2､且是5和7倍数的数”，只要先求出“被3除余1､且是5和7倍数的数”，然后将这个数乘以2就可以了。而要想计算出“被5除余3，且是3和7倍数的数”，只要先求出“被5除余1，且是3和7倍数的数”，然后再将这个数乘以3就可以了。求“被7除余2，且是3和5倍数的数”也是同理。也就是说，求除一个数“余x”的数，只要先求出“余1”的数，然后乘以x即可。
现在我们套用以上5个步骤来演算一下这道题：
①先求“被3除余1，且是5和7倍数的数”：5×7=35，35÷3=11余2，不符合条件，而35×2=70，70÷3=23……1，符合条件。再求“被3除余2，且是5和7倍数的数”：70×2=140，140便是我们最终要求的数。
②先求“被5除余1，且是3和7倍数的数”：3×7=21，21÷5=4……1，符合条件。再求“被5除余3，且是3和7倍数的数”：21×3=63，63便是我们要求的数。
③先求“被7除余1､且是3和5倍数的数”：3×5=15，15÷7=2……1，符合条件。在求“被7除余2､且是3和5倍数的数”：15×2=30，30便是我们要求的数。
④3､5､7的最小公倍数是：3×5×7=105。
⑤140+63+30=233，233-105×2=23，因为这道题目求的是“最小解”，所以减去105×2，3､5､7的最小公倍数无论扩大或缩小多少个整数倍，对结果都不会产生影响。
所以，23便是那个能够同时满足被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小的数。
提示：
《孙子算经》之所以能在中国古代众多数学研究著作中占有重要一席，这道题目起了举足轻重的作用，因为这道著名的“物不知数”题开创了世界数学领域“同余式”研究的先河。
※算题2 再操练
1.韩信点兵
难度等级：★★★★☆
思维训练方向：演绎思维
【原题】
汉代开国大将军韩信有一次带兵打仗，在册兵员人数是26641人。部队集合时他让战士们按照1～3，1～5，1～7三种方式报数，1～3报数时余1人，1～5报数时余3人，1～7报数时余4人。已知当时缺员人数少于100人，求韩信部队的实到人数和缺员人数。
【解答】
“物不知数”题出现后引起了人们极大的兴趣，后来又衍生出“秦王暗点兵”“韩信点兵”等经典题目，此题便是众多“韩信点兵”题中的一道。它的解答思路与上面的“物不知数”题相同。
解答“物不知数”题的关键是要先“求一”，也就是求“被某数除，余1的数”。对于3､5､7这几个数，古人很早便总结出了它们“求一”的规律：《孙子算经》有言：“凡三､三数之，剩一，则置七十；五，五数之，剩一，则置二十一；七､七数之，剩一，则置十五。”我国古代数学家程大位还把这一规律编成诗记录在他的数学名著《算法统宗》里：
三人同行七十稀，五数梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
“三人同行七十稀”是指：“被3除余1，且是5和7倍数的数”是70。
“五数梅花廿一枝”是指：“被5除余1，且是3和7倍数的数”是21。
“七子团圆正月半”是指：“被7除余1，且是3和5倍数的数”是15。
我们可以直接应用《孙子算经》和《算法统综》总结的规律，解答这道题目：
①1-3报数时余1人，就是求“被3除余1，且是5和7倍数的数”，这个数是70。
②1～5报数时余3人，就是求“被5除余3，且是3和7倍数的数”，这个数是21×3=63。
③1～7报数时余4人，就是求“被7除余4，且是3和5倍数的数”，这个数是15×4=60。
④3､5､7的最小公倍数是105。
⑤70+63+60=193，当我们求最小解时，用193减去3､5､7的公倍数，但是这道题目是要求军队的总人数，这个人数远远大于193，所以我们需要用193加上3､5､7的公倍数。因为军队本有26641人，缺勤人数不到100人，因此我们最终要求的数应该在26541到26641之间，估算一下193+105×251=26548人，是符合要求的。
因此，实到兵员26548人，缺员93人。
※算题2 拓展
1.物不知数2
难度等级：★★★★☆
思维训练方向：演绎思维
【原题】
七数剩一，八数剩二，九数剩三，文本总数几何？(选自《续古摘奇算法》)
【译文】
现有一些物品，不清楚它们的数量。七个七个地数，剩2个；八个八个地数，剩2个；九个九个地数，剩3个。问这些物品的总数。
【解答】
刚才，我们做了两道关于3､5､7的“物不知数”题。现在我们来做几道有关其他数字的题目。其实，不论数字如何变化和组合，解题的思路和方法都是一致的。对于这道题目：
①“七数剩一”的数是：8×9=72，72÷7=10……2，不符合要求；72×4=288，288÷7=41……1，符合要求。所以，“七数剩一”的数是288。
②求“八数剩二”先求“八数剩一”的数：7×9=63，63÷8=7……7，不符合要求；63×7=441，441÷8=55……1，符合要求。所以，“八数剩一”的数是441，“八数剩二”的数是441×2=882。
③求“九数剩三”先求“九数剩一”的数：7×8=56，56÷9=6……2，不符合要求；56×5=280，280÷9=31……1，符合要求。所以，“九数剩一”的数是280，“九数剩三”的数是280×3=840。
④7､8､9的最小公倍数是7×8×9=504。
⑤“本总数”的最小值是288+882+840-504×3=498。
因此，这些物品的总数是498。
2.韩信点兵2
难度等级：★★★★☆
思维训练方向：演绎思维
有兵一队，若列成每列5人纵队，末列1人；若列成6人纵队，则末列5人；若列成7人纵队，则末列4人；若列成11人纵队，则末列10人。求至少一共有多少兵？
这道题目实际是求解同时满足“被5除余1，被6除余5，被7除余4，被11除余10”的数。大家可以依据物不知数题的一般解法，参照上题列表计算，具体运算步骤就不在这里演示了。
这道题的最终答案是：2111人。
※头脑风暴：“另类”物不知数题
1.数橘树
难度等级：★★★☆☆
思维训练方向：分析思维
橘子丰收的季节，学校组织同学们到橘园采摘。橘园里大约有2000棵橘树。但是，同学们无论两两数､三三数､五五数还是七七数都余1棵，大家感到很奇怪，你能很快地算出这个橘园一共有多少棵橘树吗？
2.22岁的生日
难度等级：★★★☆☆
思维训练方向：分析思维
一个人出生于公历1978年1月1日，当天是个周日，那么在他过22岁生日那天是周几？
3.奇怪的三位数
难度等级：★★☆☆☆
思维训练方向：还原思维
有一个奇怪的三位数，减去7后正好被7除尽；减去8后正好被8除尽；减去9后正好被9除尽。你猜猜这个三位数是多少？
